Facoltá di Economia: correzione prova scritta di STATISTICA 1, Mod. 1.

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1 Facoltá di Economia: correzione prova scritta di STATISTICA 1, Mod. 1. Esercizio A. La seguente tabella riporta la serie delle variazioni percentuali annue dei prezzi, distintamente per alcuni settori merceologici (dati ISTAT) Settori Alimentare Abbigliamento Abitazione A.1 Ricostruire la serie dei numeri indici a base 1996 per il settore alimentare: Settori Variazioni relative Indici a base mobile Indici a base fissa (1996) La serie a base mobile é stata ottenuta partendo dalla serie delle variazioni relative aggiungendo 1. La serie a base fissa (1996) é stata ottenuta sostituendo il primo termine della serie stessa con 1, ed i successivi con il prodotto di ciascun termine per tutti quelli che lo precedono. A.2 Ricostruire la serie dei numeri indici a base 1996 per il settore abbigliamento: Si procede come sopra. Settori Variazioni relative Indici a base mobile Indici a base fissa (1996) A.3 Supponendo che, per una data famiglia, nel 1999, la ripartizione percentuale della spesa nei tre settori sia stata la seguente: Alim. 40%, Abbigl. 25%, e Abit. 35%, calcolare la variazione media dei prezzi dal 1999 al 2000 per questa famiglia mediante Laspayres; A.4 Supponendo che, per una data famiglia, nel 1999, la ripartizione percentuale della spesa nei tre settori sia stata la seguente: Alim. 40%, Abbigl. 25%, e Abit. 35%, calcolare la variazione media dei prezzi dal 1998 al 1999 per questa famiglia mediante Paasche: Alimentare Abbigliamento Abitazione Totali 1999I w I 2000 w I w 1999 / 1998 I

2 p bl t = ti q bi pbi q bi = = , 100 p bp t = P ti q ti pbi q ti = 100 = Esercizio B. La seguente tabella riporta il tasso di occupazione (pari a occupati/forze di lavoro per 100) ed il totale delle forze di lavoro (in migliaia) in alcune regioni Regioni Agricoltura Industria Servizi Forze Lavoro Toscana Umbria Marche B.1 Calcolare il tasso medio di occupazione in agricoltura nelle tre regioni: ( ) ( ) ( ) M (agr.) = = , che corrisponde al %. B.2 Calcolare il tasso medio di occupazione nell industria nelle tre regioni: ( ) ( ) ( ) M (ind.) = = , che corrisponde al %. B.3 Considerando le regioni come X e la condizione occupazionale come Y, calcolare il numero di disoccupati in Toscana nell ipotesi di indipendenza; B.4 Considerando le regioni come X e la condizione occupazionale come Y, calcolare il numero di disoccupati in Umbria nell ipotesi di indipendenza: Regioni Occupati Disoccupati Forze Lavoro Toscana Umbria Marche Totali Il numero dei disoccupati per ciascuna regione é stato calcolato a partire dalla tabella di osservazioni iniziali, sommando i tassi di occupazione settoriali per riga, deducendo per differenza a 100 il tasso di disoccupazione, ed infine moltiplicando per il rispettivo numero delle forze di lavoro. In generale, le frequenze teoriche nel caso di indipendenza (indicate con n ij), si ottengono sulla base della relazione seguente: n ij = n ion oj, ( i, j), n

3 in cui n io e n oj indicano, rispettivamente, i totali riga e colonna (che costituiscono anche le frequenze delle due distribuzioni marginali). In particolare, nel caso di indipendenza, i disoccupati nelle due regioni ammontano a: Uind. tosc. = = 87, Uind. umb. = = 20. Le frequenze teoriche ed osservate sono state, ove necessario, approssimate per eccesso o per difetto al numero intero piú prossimo. Esercizio C. La seguente tabella riporta la distribuzione delle grandi imprese tessili secondo l ammontare degli investimenti (valori in miliardi di euro) Classi di investimento Frequenze X i (Investimenti) Y (i) (Fatturato) C.1 Ponendo gli investimenti come X ed il fatturato come Y, calcolare la dipendenza in media sapendo che la devianza totale di Y é pari a 870 mila: Classi di investimento Y (i) ȳ i n io (ȳi ȳ) 2 n io Totali ȳ = 13.64; D y = ; S m = (ȳ i ȳ) 2 n io = ; i η 2 = S m Dy = = C.2 Ponendo gli investimenti come X ed il fatturato come Y, determinare la retta di regressione: Classi di investimento (x i x i ) n io (x i x i )ȳ i (x i x i )ȳ i n io (x i x i ) 2 n io Totali

4 Inoltre: x = 0.51; D x = ; C xy = (x i x)(y j ȳ)n ij = i x iȳ i n io n xȳ = ij Per determinare i due coefficienti della retta di regressione: β 1 = C xy D x = = 12.65; β 0 = ȳ β 1 x = = Esercizio D. La seguente tabella riporta i numeri indici della produzione agraria e forestale per gruppi di prodotti dal 1978 al 1981 (Base: 1970=100) Gruppi di prodotti Coltivazioni agricole Allevamenti Trattando gli anni come X e ponendo l origine nel 1970, D.1 Si interpoli la serie riferita alle coltivazioni agricole mediante il metodo dei minimi quadrati, utilizzando la funzione y = β 0 + β 1 x; si determini la quota di devianza della produzione forestale non spiegata dal trend temporale: Si tratta di una funzione non lineare nella variabile indipendente. Con la funzione y = β 0 + β 1 x, si ha che y = g(v) = v é l operazione di radice, la cui inversa é rappresentata dall elevamento al quadrato, v = h(y) = y 2. Dopo aver individuato g(v) ed h(y), si puo applicare la trasformazione di seguito indicata: v i = h(y i ) = β 0 + β 1 x i, ( i); v i = y 2 i. Ovvero, la funzione originale si riduce ad una retta dopo aver applicato un opportuna trasformazione della variabile dipendente. In questa forma, il problema puo essere risolto sfruttando l analogia con il caso lineare (retta): R L = min (v i v i ) 2 = min (β 0 + β 1 x i v i ) 2. x i Totali y i v i = yi (v i v) (x i x) Π

5 Riassumendo: x = 7.6; v = ; D x = 77.20; C xv = β 1 = ; β 0 = v β 1 x = = ; r 2 = C2 xv D xd v = ; R L = 1 S L = 1 dev.tot. r2 =