Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Statistica. Antonio Azzollini

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1 Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Statistica Antonio Azzollini Anno accademico 2017/2018

2 Distribuzione condizionata Un grafico a mosaico è una rappresentazione grafica che consente di esaminare l associazione fra due variabili qualitative. Genere NO SI Totale 38,04% 17,79% 55,83% 19,02% 25,15% 44,17% Totale 57,06% 42,94% 100% Passo1: quadrato di lato 1 Passo2: suddividere l area del quadrato in due rettangoli di aree proporzionali alle percentuali di una delle distribuzioni marginali. Ad esempio la variabile occhiali 57,06% & 42,94% no si

3 Distribuzione condizionata Passo3: suddividere l area di ogni rettangolo in base alle distribuzioni condizionate. Ad esempio, la regione NO di area proporzionale al 57,6% viene suddivisa in due regioni, Maschi & Femmine di area proporzionale a 66,7% & 33,33%. occhiali femmine NO SI maschi 66,67% 41,43% 33,33% 58,57% no si genere no si Totale 100% 100% La forma del grafico a mosaico non cambia di molto se la stessa costruzione viene fatta partendo dalla variabile Genere. Come si legge il grafico? maschi femmine

4 Distribuzione condizionata Passo3: suddividere l area di ogni rettangolo in base alle distribuzioni condizionate. Ad esempio, la regione NO di area proporzionale al 57,6% viene suddivisa in due regioni, Maschi & Femmine di area proporzionale a 66,7% & 33,33%. occhiali femmine NO SI maschi 66,67%% 41,43%% 33,33%% 58,57%% occhiali genere no si Totale 100%% 100%% La forma del grafico a mosaico non cambia di molto se la stessa costruzione viene fatta partendo dalla variabile Genere. Come si legge il grafico? Tanto più la griglia si avvicina ad una croce tanto più le due variabili sono indipendenti. maschi femmine

5 Se un carattere non ha alcuna influenza sull altro e viceversa allora si dice che i due caratteri sono indipendenti.

6 Se un carattere non ha alcuna influenza sull altro e viceversa allora si dice che i due caratteri sono indipendenti. In assenza di indipendenza si parla di connessione fra i due caratteri. Le due variabili tendono ad influenzarsi reciprocamente e tra di loro esiste una relazione.

7 Se un carattere non ha alcuna influenza sull altro e viceversa allora si dice che i due caratteri sono indipendenti. In assenza di indipendenza si parla di connessione fra i due caratteri. Le due variabili tendono ad influenzarsi reciprocamente e tra di loro esiste una relazione. In termini statistici si riconosce che una variabile X è indipendente da una variabile Y quando le distribuzioni condizionate di Y sono uguali per ogni modalità (o classi di modalità) di X, cioè hanno le stesse frequenze relative (percentuali). Esempio. Consideriamo due caratteri X come nella seguente tabella: ed Y le cui modalità si comportano X /Y X x 1 x 2 x 3 Y y 1 y 2 y 3 y

8 X /Y X x 1 x 2 x 3 Y y 1 y 2 y 3 y X C è indipendenza f (X) f (X y 1 ) f (X y 2 ) f (X y 3 ) f (X y 4 ) x 1 x 2 x 3 40/120= 0,33 50/120= 0,42 30/120= 0,25 12/36= 0,33 15/36= 0,42 9/36= 0,25 4/12= 0,33 5/12= 0,42 3/12= 0,25 16/48= 0,33 20/48= 0,42 12/48= 0,25 8/24= 0,33 10/24= 0,42 6/24= 0,25 Totale 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

9 Nella tabella precedente abbiamo osservato che la modalità del carattere X non è in alcun modo influenzata dalla modalità del carattere Y. Se invece avessimo avuto una tabella come quella qua sotto dove le frequenze relative del carattere X dipendono chiaramente dalle modalità del carattere Y concluderemmo che i due caratteri non sono indipendenti. X x 1 x 2 x 3 Non c è indipendenza f (X y 1 ) f (X y 2 ) f (X y 3 ) f (X y 4 ) 0,80 0,05 0,05 0,40 0,10 0,85 0,05 0,30 0,10 0,10 0,90 0,30 Totale 1,00 1,00 1,00 1,00

10 163 persone: 55,83% maschi, 44,17% femmine. Frequenza assoluta Genere NO SI Totale Totale Tabella delle frequenze relative condizionate Genere NO SI Totale 55,83% 55,83% 55,83% 44,17% 44,17% 44,17% Totale 100% 100% 100% Se i caratteri fossero indipendenti produrrebbero una tabella come questa,

11 163 persone: 55,83% maschi, 44,17% femmine. Frequenza assoluta Genere NO SI Totale Totale Tabella delle frequenze relative condizionate Genere NO SI Totale 55,83% 55,83% 55,83% 44,17% 44,17% 44,17% Totale 100% 100% 100% Se i caratteri fossero indipendenti produrrebbero una tabella come questa, ma così non è

12 163 persone: 55,83% maschi, 44,17% femmine. Frequenza assoluta Genere NO SI Totale Totale Tabella delle frequenze relative condizionate Genere NO SI Totale 66,67% 41,43% 55,83% 33,33% 58,57% 44,17% Totale 100% 100% 100% E infatti producono una tabella come questa.

13 163 persone: 55,83% maschi, 44,17% femmine. 93 0, Frequenza relativa di chi non indossa occhiali Distribuzione congiunta se indipendenti 93 0, = 31,85 Genere NO SI 31,85% 23,98% 25,20% 18,97% Totale 57,05% 42,95% Distribuzione congiunta effettiva Distribuzione marginale del carattere occhiali Genere NO SI 38,04% 17,79% 19,02% 25,15% Totale 57,06% 42,94%

14 163 persone: 55,83% maschi, 44,17% femmine. 93 0, Frequenza relativa di chi non indossa occhiali Frequenza relativa dei maschi 93 0, = 31,85 Distribuzione congiunta se indipendenti Genere NO SI 31,85% 23,98% 25,20% 18,97% Totale 57,05% 42,95% Distribuzione congiunta effettiva Distribuzione marginale del carattere occhiali Genere NO SI 38,04% 17,79% 19,02% 25,15% Totale 57,06% 42,94%

15 163 persone: 55,83% maschi, 44,17% femmine. 93 0, Frequenza relativa di chi non indossa occhiali Frequenza relativa dei maschi 93 0, = 31,85 Frequenza relativa percentuale dei maschi che non indossano occhiali Distribuzione congiunta effettiva Distribuzione congiunta se indipendenti Genere NO SI 31,85% 23,98% 25,20% 18,97% Totale 57,05% 42,95% Distribuzione marginale del carattere occhiali Genere NO SI 38,04% 17,79% 19,02% 25,15% Totale 57,06% 42,94%

16 163 persone: 55,83% maschi, 44,17% femmine. Distribuzione congiunta se indipendenti 93 0, = 31,85 Genere NO SI 31,85% 23,98% 25,20% 18,97% Totale 57,05% 42,95% Distribuzione congiunta effettiva Genere NO SI 38,04% 17,79% 19,02% 25,15% Totale 57,06% 42,94% Vediamo le frequenze assolute confrontate con quelle che sarebbero state se indipendenti.

17 163 persone: 55,83% maschi, 44,17% femmine Frequenza relativa dei maschi Frequenza assoluta se indipendenti Genere NO SI = 51,92 ˆn 11 = 51,92 ˆn 12 = 39,08 ˆn 21 = 41,08 ˆn 22 = 30,92 Frequenza assoluta effettiva Genere NO SI Totale Totale

18 163 persone: 55,83% maschi, 44,17% femmine. Ora calcoliamo le differenze fra le frequenze assolute effettive e quelle ipotetiche. Genere NO SI 62 51,92 = 10, ,08 = 10, ,08 = 10, ,92 = 10,08 Le differenze così calcolate vanno normalizzate alle frequenze assolute ipotetiche ˆn ij e poi sommate al quadrato moltiplicando ciascuna di esse per il relativo peso dato da ˆn ij. c 11 = 10,08 51,92, c 12 = 10,08 39,08, c 21 = 10,08 41,08, c 22 = 10,08 30,92 C r = r s j=1 Otteniamo l espressione c ij2 ˆn ij dove 0 C r nmin r 1, s 1 i=1 { } r = numero di righe, s = numero di colonne, n = popolazione totale

19 Indice di connessione di Cramer L indice di connessione di Cramer è un indice relativo, che varia fra 0 & 1, ottenuto mediante la seguente espressione: C r * = r i=1 c j=1 ij2 ˆn ij nmin r 1, s 1 s { } Nell esempio appena visto si ha C r * = 0,25, ossia un modesto livello di connessione C r * = 0 i caratteri X & Y sono sconnessi. Tanto più C r * si avvicina a 1, maggiore è la dipendenza tra X & Y.

20 Indice di connessione di Cramer Si ha la perfetta dipendenza quando la tabella delle frequenze assolute (tabella di contingenza) si presenta come una matrice diagonale. Frequenza assoluta Genere NO SI Totale Totale In tal caso poniamo

21 Indice di connessione di Cramer Frequenza assoluta Genere NO SI Totale Totale Distribuzione se indipendenti Genere NO SI ˆn 11 = 51,92 ˆn 12 = 40, ,92 = 40, ,07 = 40, ,92 = 40,07 c 11 = 40,07 51,92 c 12 = 40,07 40,07 c 21 = 40,07 40,07 c 22 = 40,07 30,92 ˆn 21 = 40,07 ˆn 22 = 30,92 C r = r s j=1 c ij2 ˆn ij = 163 i=1