Metodi statistici per le ricerche di mercato

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1 Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per la comunicazione d'impresa» Un grafico per studiare la relazione tra caratteri quantitativi: lo Scatter-Plot o Grafico di Dispersione Rappresenta la distribuzione unitaria doppia di 2 caratteri quantitativi Sull asse delle ascisse (X) e su quello delle ordinate (Y) sono riportati rispettivamente i valori numerici delle modalità assunti dalle due variabili rilevate su ogni u.s. L insieme di punti così ottenuto si chiama nuvola di punti e consente di studiare la dispersione delle u.s. e la loro somiglianza La forma della nuvola può suggerire l esistenza e la forma della relazione tra i due caratteri Rmer

2 Esempio Distribuzione Unitaria Doppia Unità Vendite Statistica Spesa per pubblicità su radio e TV V en d ite Scatter Plot Spesa per pubblicità radio e TV U.S Rmer Interdipendenza tra due caratteri quantitativi Si considera la distribuzione unitaria di 2 caratteri quantitativi X e Y Si analizza l associazione dei due caratteri attraverso l analisi dello scatter plot o mediante indici simmetrici che valutano la presenza di Concordanza: u.s. con valori piccoli (grandi) di un carattere presentano più frequentemente valori piccoli (grandi) dell altro carattere Discordanza: u.s. con valori piccoli (grandi) di un carattere possiedono più frequentemente valori grandi (piccoli) dell altro carattere 2

3 ...si puo analizzare l interdipendenza graficamente 1. Concordanza: nuvola allungata verso alto a destra 2. Discordanza: nuvola allungata verso alto a sinistra 3. Assenza di interdipendenza lineare: punti sparsi Interdipendenza tra due caratteri quantitativi Per misurare il legame che esiste tra due caratteri quantitativi si utilizza la covarianza, definita come la media dei prodotti degli scostamenti delle variabili X e Y dalle rispettive medie: xy n i 1 ( x M i ) ( y M ) x n i y Questo valore sarà : Nullo nel caso di indipendenza statistica Positivo in caso di concordanza perché al crescere della X anche la Y crescerà di conseguenza le differenze avranno lo stesso segno. Negativo in caso di discordanza, perché all aumentare della X corrisponderà una diminuzione della Y e viceversa. se dividiamo la covarianza per il prodotto delle deviazioni standard delle 2 variabili, otteniamo un valore standardizzato, che oscilla fra 1 e +1: il coefficiente di correlazione r di Pearson 3

4 IL Coefficiente di correlazione lineare di Bravais e Pearson è una misura della relazione lineare esistente tra due variabili ovvero una misura della l interdipendenza che esiste tra le due distribuzioni. r misura una relazione simmetrica di tipo lineare cha varia tra -1 e +1. Convenzionalmente: Esercizio Rappresentare graficamente la relazione tra vendite e spese per pubblicità. Che cosa si può dedurre? Calcolare il coefficiente di correlazione tra i due caratteri. 4

5 Step per calcolare il coefficiente di correlazione 1. Calcolare la media aritmetica di ciascun carattere 2. Calcolare per ciascuna modalità di ciascun carattere gli scarti dalla rispettiva media 3. Ottenere la covarianza Moltiplicare per ciascuna modalità gli scarti dei due caratteri ottenuti al punto 2. Sommare i prodotti così ottenuti. Dividere questa somma dei prodotti per il numero di unità statistiche. 4. Ottenere gli scarti quadratici medi Elevare al quadrato gli scarti dalla media di ciascuna modalità Sommare per ogni carattere i quadrati così ottenuti Dividere ciascuna di queste somme per il numero di unità statistiche per ottenere le varianze. Estrarre le radici quadrate per ottenere gli scarti quadratici medi- 5. Ottenere r 1. Dividere la covarianza (ottenuta al punto 3) per il prodotto degli FSSC scarti quadratici medi dei due caratteri (ottenuti al punto 4). Correlazione e relazione lineare 5

6 Correlazione e relazione lineare r=0,976 Le caratteristiche dei punti-unità espresse dalle due variabili (le due dimensioni del piano cartesiano) possono essere riassunte da una sola la retta. r=0,002 Non è possibile individuare una retta che riassuma le due variabili poiché esse sono indipendenti. Correlazione: esempi Tasso di attività delle donne Tasso di disoccupazione Tasso di disoccupazione giovanile Tasso di disoccupazione Min o r e n n i d e n u n cia ti p e r m in o r e n n i Tasso di disoccupazione Correlazioni tasso di disocc. Correlazione di Pearson Somma dei quadrati e dei prodotti incrociati Covarianza N Minorenni denunciati per 100 Tasso di Tasso di minorenni attività delle disoccupazion in età donne e giovanile anni -,897,976 -, , ,602-45,033-35, ,769-2,

7 Uso del software : la correlazione Analisi della dipendenza lineare tra due variabili quantitative L analisi della dipendenza è asimmetrica: date due variabili quantitative, X e Y, si è interessati a studiare se e in che misura la variabile Y (variabile dipendente ) sia influenzata dalla X (variabile indipendente). Scelta la variabile indipendente X e quella dipendente Y, la rappresentazione grafica della distribuzione unitaria doppia di tali variabili attraverso il grafico di dispersione, consente di individuare la eventuale relazione lineare tra X ed Y. Si è visto che è possibile tracciare una retta, detta interpolante, tra i punti dello scatterplot tale che si avvicini a tutti i punti riproducendo, con una certa approssimazione, la nuvola. 7

8 La funzione della retta La funzione di una retta è la seguente: Y= a+bx dove: a è l intercetta della retta sull asse delle ordinate Y, cioè è il punto in cui la retta interseca l asse Y e quindi è il valore di Y che corrisponde ad un valore di X=0; b è il coefficiente angolare della retta, cioè il valore che indica la sua inclinazione. Se b>0 la retta è ascendente, ossia inclinata dal basso a sinistra verso l alto a destra; se b<0 la retta è discendente, ossia inclinata dal basso a destra verso l alto a sinistra. Nello studio empirico della relazione di dipendenza lineare tra X ed Y l obiettivo è quello di individuare per ciascun punto P i un nuovo punto che sia il più vicino possibile al punto P i pur giacendo sulla retta che passa nella nuvola di punti. La funzione della retta interpolante La differenza tra il valore y i osservato e quello teorico è definito residuo La migliore retta individuabile è quella che rende minimi tali residui 8

9 La relazione lineare tra X e Y e la retta di regressione Come individuare questa retta? Secondo il metodo dei minimi quadrati la migliore retta è quella che rende minima la somma dei quadrati dei residui: questa retta viene chiamata retta di regressione. I. Mingo Come si calcola la retta di regressione: che cosa sono i parametri a e b? I. Mingo

10 Il coefficiente di regressione e il coefficiente di correlazione Come si interpreta Il coefficiente di regressione 10

11 Esercizio Riprendendo la tabella 5 dell esercizio precedente calcolare il coefficiente di regressione tra le vendite (variabile dipendente) e le spese in pubblicità (variabile indipendente), e l intercetta della retta di regressione. Scrivere l equazione della retta di regressione. b=20,03/16,81=1,19 a = M(Y) bm(x) a=10,83-(1,19*11,17)=-2,4623 y i = 2,46 + 1,19x i Valutare la bontà di adattamento della retta di regressione 11

12 Criterio per valutare la bontà di adattamento: il coefficiente di determinazione R 2 Come si interpreta R 2 12

13 Uso del software: regressione Uso del software:output beta=b * DSx/DSy): È un coefficiente indipendente dalle unità di x e y, poiché le variabili indipendenti sono espresse in forma standardizzata (Z-score) - Nella regressione lineare bivariata corrisponde alla r di Pearson Ŷ i =-2,474 +1,192X i R 2 = /3908=0,879 R2 corretto tiene conto dei gradi di libertà del modello, cioè del numero di unità statistiche e del numero di variabili indipendenti (k) e si utilizza nella regressione multipla. gl k n-k+1 N-1 13

14 Esercizio A partire dall output seguente : Disegnare la retta di regressione tra Reddito del nucleo familiare e Costo di richiesta di indennizzo Qual è la correlazione tra le due variabili? Come si può valutare l adattamento della retta di regressione ai punti empirici? Utilizzando il modello lineare, quale sarà il costo di indennizzo medio a fronte di un reddito familiare pari a 91(in migliaia)? Esercizio In una popolazione statistica si è osservato che la relazione tra anni di istruzione (x) e reddito annuo (y) può essere espressa dalla relazione seguente: ŷ= x Se la deviazione standard di x=2 e quella di y=16000, qual è la correlazione tra le due variabili? calcolo 14

15 Numero di variabili e tipi di regressione La regressione multipla I modelli di regressione multipla rappresentano una estensione della regressione bivariata, si utilizzano nei casi in cui la variabile quantitativa dipendente Y è espressa in funzione di più variabili quantitative, definite regressori, che si suppongono indipendenti e di cui si vuole controllare l effetto su quella dipendente. Le variabili devono essere del seguente tipo: variabile dipendente (Y): quantitativa variabili indipendenti (X 1, X 2 X k ): quantitative o dicotomiche. In presenza di due variabili indipendenti si ottiene un piano di regressione In presenza di più di due variabili indipendenti si ottiene un iperpiano. 15

16 La relazione lineare nel caso di più di due variabili Y i = a + b 1 X i1 + b 2 X i2 + b p X ip + ε i = k b p p 1 a ip la variabile osservata Y, nell individuo i-esimo, viene espressa in funzione di p regressori; il parametro a, detto intercetta o costante, è il valore assunto da Y quando tutti i p regressori considerati sono pari a zero, i parametri b p esprimono la variazione media di Y dovuta da ogni variazione unitaria di ciascuno regressore tenendo costanti tutti gli altri. Ogni coefficiente b p esprime l effetto lineare di ogni variabile X p al netto degli effetti delle altre variabili incluse nel modello. Il parametro ε rappresenta l errore che si commette nel predire il valore effettivo di Y mediante il modello lineare adottato. La regressione multipla Si tratta di individuare il migliore iperpiano possibile cioè quello che più si approssima ai valori osservati e dunque che rende minime le differenze tra i valori che il modello ci consente di predire e i valori empirici. Ŷ i = a + b 1 X i1 + b 2 X i2 + b k X ik i 2 k 2 ˆ 2 [ a b )] min i i p 1 p ip 16

17 I coefficienti di regressione parziali ogni coefficiente di regressione b k tra la variabile dipendente e ciascuna variabile indipendente esprime la variazione media del valore della variabile dipendente prodotta da ogni variazione unitaria di ogni regressore, tenendo costanti i valori assunti da tutti gli altri. mediante questo controllo possiamo separare gli effetti netti esercitati da ogni variabile indipendente X k da quelli esercitati dagli altri regressori; Questi coefficienti vengono definiti parziali, perché tengono anche conto dell interdipendenza tra i regressori e della dipendenza della variabile dipendente anche da tutti gli altri regressori inclusi nel modello. Per due regressori: Regressione multipla : usa del software 17

18 R è la correlazione multipla: rappresenta il gradi di associazione globale tra la variabile dipendente e quelle indipendenti. ŷ i = 25,630 +0,093x i1 1,418x i2 R-quadrato è il coefficiente di detrminazione F= (3834,363/2)/(73,637/141)=3671) Test F Si usa nell inferenza. Verifica se il valore campionario di R 2 è significativamente diverso da 0 F è uguale al rapporto tra la devianza media spiegata dalla regressione (media dei quadrati) e la devianza media residua.. Regressione multipla: la multicollinearità La multicollinearità rappresenta un problema per la corretta interpretazione dei coefficienti di regressione Consiste nella eventuale presenza di correlazione tra le variabili indipendenti. Si parla di collinearità perfetta quando tale correlazione è pari a 1, in tal caso l iperpiano di regressione non è univocamente identificabile, poiché è possibile individuare infinite superfici che si adattano ai dati empirici. Nella pratica di ricerca il caso più comune è quello della quasicollinearità) tanto da incidere sull accuratezza dei risultati della regressione: Tanto più elevata è la correlazione tra le variabili indipendenti tanto più instabili saranno i risultati e dunque più difficile stabilirne la significatività statistica. 18

19 Come individuare la multicollinearità 1. Analizzare il coefficiente correlazione bivariato tra le variabili indipendenti a due a due accertando che non sia molto elevato e che non sia maggiore di quello calcolato tra ciascuna delle variabili indipendenti e quella dipendente. 2. Utilizzare gli indici di Tolleranza (tolerance) e VIF (Variance inflaction factor o fattore di accrescimento della varianza). Il primo indice T i = (1-R i ²), in cui R i ² è il coefficiente di determinazione nella regressione della variabile indipendente i-esima sugli altri regressori misura la quantità di varianza di questa variabile che non è spiegata dalle altre variabili indipendenti. Se T i = 1 la collinearietà non esiste; viceversa se T i = 0 allora si è in presenza del problema della collinearità perfetta. Il secondo indice VIF i = 1/ T i costituisce il reciproco di T i, pertanto in caso di multicollinearità il suo valore aumenta perché il denominatore si approssima allo zero. Uso del software 19

20 La Tolleranza *100 è la percentuale della varianza di un dato regressore che non può essere spiegato dall altro regressore. I valori della Tolleranza mostrano che solo il 12% della varianza di ciascun regressore non può essere spiegata dall altro, mentre l 88%può essere spiegata dall altro. L Un fattore di inflazione della varianza (VIF) maggiore di 2 è di solito considerato problematico. In tabella VIF=8,36! Pertanto tra i due regressori esiste collinearità. E opportuno eliminare il regressore meno significativo per il modello. Analisi della dipendenza tra un carattere quantitativo e uno qualitativo L analisi della dipendenza tra due caratteri X e Y, di cui il primo qualitativo e l altro quantitativo, può essere compiuta confrontando i valori medi del carattere quantitativo calcolati nell ambito di ciascuna delle modalità assunte dal carattere qualitativo. Tali valori si definiscono medie condizionate. Si segue un approccio asimmetrico: Si ipotizza che siano le diverse modalità del carattere qualitativo ad influire sui valori che in media il carattere quantitativo assume sulle unità statistiche: si parlerà allora di dipendenza o indipendenza in media di Y da X. Diremo che: Y è indipendente in media da X se i valori medi di Y condizionatamente alle K modalità di X, non variano, cioè: Y è dipendente in media da X se le medie condizionate di Y rispetto a X non sono tutte uguali. Tanto maggiore è la variabilità di tali medie tanto più forte è la dipendenza tra i due caratteri. 20

21 Esempio La spesa media mensile per un determinato prodotto è di euro 42,93. Si evidenziano spese medie differenti a seconda della posizione nella professione degli acquirenti. Spesa media per il prodotto BB per categoria occupazionale degli intervistati. Occupazione Spesa media mensile Freq. Assoluta Varianza di Dirigente 59, ,51 Impiegato 41, ,48 Commerciante 33, ,04 Agricoltore 36, ,8 Artigiano 41, ,41 Operaio 31, ,90 Totale 42, ,76 Si può concludere che sulla spesa per il prodotto BB influisca la categoria occupazionale? L indice è ottenuto rapportandola variabilità spiegata. Indice per misurare la forza di associazione: Eta quadrato L indice eta quadrato rapporta la variabilità spiegata ossia la parte della variabilità totale di Y riprodotta dalle medie condizionate, alla varianza totale di Y. con Variabilità Variabilità totale di Y riprodotta dalle medie condizionate Varianza totale di Y Può assumere valori compresi tra 0 e 1. Tra questi due estremi, i valori di eta quadrato possono essere interpretati come la proporzione della variabilità di un carattere imputabile alle differenti categorie di un altro. 21

22 La varianza delle medie della spesa media (M(Y X)) spiegata dalle categorie occupazionali (X) può essere calcolata nel modo seguente: Eta sarà: In questo caso possiamo dunque concludere che il 57% circa della variabilità della spesa media per il prodotto BB dipende dalla categoria occupazionale dei clienti. 22

23 Uso del software: Valori medi per sottogruppi di popolazione. Confronta medie Uso del software :output La variabilità riprodotta dalle medie condizionate è prossima allo 0% I livelli di soddisfazione riguardanti i due items considerati non si diversificano significativamente tra maschi e femmine. 23

24 Esercizio Il premio ramo vita medio erogato da un assicurazione è di 827 mila euro. Si evidenziano premi differenti a seconda delle ripartizioni delle agenzie. Sapendo che la varianza del premio è di , si può concludere che ci sia una relazione tra ammontare medio del premio e ripartizione geografica? Premi ramo vita Ripartizioni Media N nord-ovest nord-est centro sud isole Totale