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1 same di Teoria dei Segnali Ing. Informatica, lettronica e Telecomunicazioni 8 settembre 6 sercizio Si consideri di dover ordinare i nomi di 5 persone, indicate come,,, ed. Nell ordinamento di devono rispettare i seguenti vincoli:. deve sempre precedere ;. non può essere primo; 3. non può essere secondo. ssumendo che tutte le sequenze (ordinate) possibili siano equiprobabili, qual è la probabilità che una sequenza abbia come primo nome? Siccome tutte le sequenze ordinate sono equiprobabili, l esperimento di interesse può essere caratterizzato con uno spazio campione uniforme e la probabilità di un qualsiasi evento si può scrivere come il rapporto fra il numero di casi favorevoli a quell evento ed il numero di casi totale. Iniziamo con il determinare il numero di casi totale, cioè il numero di possibili sequenze ordinate. Per fare questo costruiamo l albero delle scelte relativo all esperimento in questione. Tale albero è mostrato in Figura, e la sua struttura si deriva come segue, procedendo per livelli di profondità crescente (le foglie corrispondono al livello 5). Sottoalbero regolare (4! foglie) Livello di profondità Figura : lbero delle scelte per ordinamento delle parole nell sercizio. livello le scelte possibili sono, e. Infatti: (i) non può essere scelto, perchè questo sarebbe in contrasto con il secondo vincolo; (ii) non può essere scelto, in quanto dovrebbe seguirlo e questo violerebbe il primo vincolo. Nel caso in cui la lettera scelta sia, tutti i vincoli sono rispettati, e di conseguenza il sottoalbero che parte da è pieno, cioè avrà 4! foglie (principio di analisi combinatoria). Notando che, per motivi di simmetria, i due sottoalberi che si sviluppano da e devono avere lo stesso numero di foglie, allora nel seguito ci concentriamo solo sul sottoalbero che si sviluppa da. livello non possono essere scelti e, in quanto (i) scegliendo si violerebbe il terzo vincolo, mentre (ii) scegliendo si violerebbe, successivamente, il primo vincolo. Quindi, a livello si hanno foglie. livello 3, non è possibile scegliere, siccome si violerebbe il primo vincolo ai livelli successivi. Rimangono quindi 4 foglie.

2 livello 4, non è possibile selezionare in quei sottoalberi dove non è ancora stato scelto. Sopravvivono 6 foglie. Tale numero di foglie si conserva anche a livello 5. Riassumendo, siccome il sottoalbero che parte da a livello ha 4! = 4 foglie e ognuno dei due sottoalberi che partono da e a livello hanno 6 foglie, il numero totale di foglie è 36. Siccome il numero di sottosequenze con al primo posto corrisponde al numero di foglie del sottoalbero che si sviluppa da a livello, si può concludere che la probabilità cercata è 4 36 = 3. sercizio on riferimento a Figura, scelto un punto a caso P sulla circonferenza di raggio unitario, si ricavi la funzione densità di probabilità (PF) della variabile aleatoria Y = lunghezza della corda tra il punto P ed il punto di coordinate (, ). P Y θ Figura : Punto P sulla circonferenza di raggio unitario e corda, di lunghezza Y, fra il punto P ed il punto della circoferenza sul semiasse positivo di nell sercizio. Indicando con θ l angolo, in senso antiorario rispetto al semiasse positivo orizzontale, il punto P ha coordinate (cos Θ, sin Θ), dove Θ è una variabile uniformemente distribuita in [ π, π). La variabile aleatoria Y può essere espressa come segue: Y = ( cosθ) + sin θ = cosθ cosθ = = sinx dove X Θ/ e si è utilizzata una nota proprietà trigonometrica. Ovviamente X è una variabile aleatoria uniformemente distribuita in [ π/, π/). Per determinare le statistiche di Y analizziamo la trasformazione Y = g(x) dove g() sin. Se < o >, l equzione = g() non ha soluzioni, e quindi f Y () =. Se < <, l equazione = g() presenta le due soluzioni, = ±asin(/). Siccome ( g (, ) = cos, = sin, = ) segue che f Y () = = i= f X ( i ) g ( i ) /π ( ) = π ( ). Il grafico di f Y () è mostrato in Figura 3 sercizio 3 Nel piano (, ) è assegnato il dominio indicato in Figura 4. Si consideri una coppia di variabili aleatorie X e Y con densità di probabilità congiunta costante sul dominio e nulla altrove.. eterminare le funzioni densità di probabilità marginali f X () ed f Y (), e tracciarne il grafico.. Verificare se X e Y sono indipendenti oppure no.

3 4 3.5 f Y () Figura 3: PF di Y nell sercizio Figura 4: ominio della funzione densità di probabilità congiunta delle due variabili aleatorie X e Y nell sercizio alcolare ov[x, Y ]. Per costruzione, la PF congiunta di X ed Y può essere espressa come segue: se (, ) f XY (, ) = rea() altrove se (, ) = altrove. eterminiamo per prima la PF di X. Per simmetria, siccome possiamo concludere che f X ( ) = f X (), limitiamoci a studiare il comportamento di f X () per > : f X () = per < < e > 3; f X () = f X () = 3 d = ( )/ per < < ; d = (3 )/ per < < 3. La PF di X si può quindi scrivere, in modo compatto, come segue: < < f X () = 3 < < 3 altrove ed il suo grafico è mostrato in Figura 5. Per quanto riguarda la PF di Y, questa è non nulla solo se < <, nel qual caso si ha, sfruttando la simmetria della PF congiunta: 3 f Y () = d = ( ). + 3

4 .7.6 f X () Figura 5: PF di X nell sercizio 3. La PF di Y è mostrata in Figura 6..5 f Y () Figura 6: PF di Y nell sercizio 3. ssendo f X ()f Y () f XY (, ), segue che X ed Y non sono indipendenti.. Ricordiamo preliminarmente che ov[x, Y ] = [XY ] [X][Y ] = [XY ] dove, nel secondo passaggio, si è sfruttato il fatto che la PF di X è pari, e quindi [X] =. Si ha: ov[x, Y ] = [XY ] = dd. () ssendo il dominio pari e la funzione integranda (cioè ) dispari, segue immediatamente che l integrale ad ultimo membro di () è zero, cioè ov[x, Y ] =. Si conclude quindi che X ed Y sono incorrelate. 4

5 sercizio 4 Siano date due variabili aleatorie X ep() ed Y ep() indipendenti. Si consideri Z = X + Y, e si calcoli [Z] e Var[Z]. Per linearità dell operatore valor medio, si ha: [Z] = [X ] + [Y ]. Ricordiamo che la funzione generatrice dei momenti (MGF) di una variabile aleatoria esponenziale a parametro µ è data da µ/(µ s). i conseguenza, la derivata n-ma di tale MGF si può scrivere come φ (n) (s) = n!µ (µ s). Per il teorema dei momenti, n+ si ha: essendo il parametro di X. ssendo [Y ] = /, segue che dove ssendo X ed Y indipendenti, si ha: La varianza cercata è quindi: [X ] = φ () X () = µ = [Z] = + = 5. Var[Z] = Var[X ] + Var[Y ] Var[Y ] = [Y ] ([Y ]) = φ () Y () [φ() Y ()] = ( ) = 4 Var[X ] = [X 4 ] ([X ]) = φ (4) X () [φ() X ()] = 4! = 4 4 =. Var[Z] = + 4 =