Funzioni di probabilità per variabili casuali discrete e continue

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1 Funzioni di probabilità per variabili casuali discrete e continue Prof.ssa Antonella Bitetto Facoltà di Economia Aziendale, Dipartimento di Management Università degli Studi di Torino PER USO DIDATTICO INTERNO AA 2018/2019

2 Variabile casuale La variabile casuale è la rappresentazione numerica dell esito di un esperimento casuale. Sono determinate in base alla «funzione» che associa un possibile evento dello spazio campionario S all insieme dei numeri reali R : X (ω): S R w 1 P(x) R w2 w 3 w 4 2

3 Variabili casuali discrete e continue Le variabili casuali si distinguono in discrete e continue. Le variabili casuali discrete assumono un numero finito o per lo più un infinità numerabile di valori. Sono esempi di variabili casuali discrete il numero di volte che esce un numero pari al lancio di un dado, quante volte occorre lanciare una moneta prima che esca testa, il numero di pezzi difettosi di una linea di produzione, il numero di reclami ricevuti da una ditta. Le variabili casuali continue possono assumere tutti i valori di un intervallo limitato o illimitato di numeri reali. Sono esempi di variabili casuali continue il peso di una linea di produzione di biscotti, la durata di un lotto di batterie, la percentuale di pezzi difettosi di una produzione di lampadine. 3

4 Distribuzione di probabilità delle v c discrete Una variabile casuale discreta è definita quando è nota la sua funzione di probabilità, P(x). Una variabile casuale discreta è definita dall insieme di valori che può assumere con le rispettive probabilità: X x 1 x 2 x 3 x i P(X=x) p 1 p 2 p 3 p i dove P(x) segue le proprietà della probabilità e quindi: 0 p i 1 e Σ p i =1 P(x) x 1 x 2 x i 4

5 Funzione di ripartizione delle v c discrete Una descrizione alternativa della funzione di probabilità di una variabile discreta è data dalla funzione di ripartizione. Data una variabile casuale X i, la funzione mette in relazione i valori di x i rispetto alle relative probabilità cumulate: F(x) = Σ p i È una funzione non decrescente con valori compresi 0 p i 1. P(x) X 5

6 Probabilità per v.c. continue La funzione di densità ƒ(x) assolve un compito simile a quello che per le v.c discrete svolge la funzione di probabilità P(x). Questo concetto si può chiarire meglio riferendosi all istogramma di probabilità. Supponiamo che un v.c. continua assuma tutti i possibili valori nell intervallo [a, b] e di procedere a suddividere tali valori in n intervalli sufficientemente piccoli. In questo modo è possibile disegnare un istogramma con colonne le cui basi rappresentano i limiti di classe. Le aree delle barre corrispondono alla frequenza con cui i valori della variabile si presenta in ciascuna classe. Quando il numero dei valori tende ad infinito e l ampiezza delle classi tende a 0, il poligono di frequenza assume la forma di una curva e l area sottesa non si calcola più come area del rettangolo ma come integrale della curva. a=80; b=

7 Funzione di densità delle v c continue Una variabile casuale si dice «continua» se può assumere qualsiasi valore dell intervallo con cui è definita. Alle v. c. continue è associata una funzione di densità ƒ(x) tale che la probabilità che x appartenga all intervallo [a, b] è pari a: P (a x b) = a b ƒ(x) dx ƒ(x) indica in quale misura si modifica la probabilità di x al variare dell intervallo considerato ma è nulla per uno specifico valore di x: P(X =x)=0. P(x) a b 7

8 Funzione di ripartizione delle v c continue Anche in questo caso le v.c. continue possono essere espresse in termini di probabilità cumulata ricompresa in un intervallo di valori [a, b]. Alle v. c. continue è associata una funzione di densità ƒ(x) tale che la probabilità che x appartenga all intervallo [a, b] è pari a: P (x a) = 0 a ƒ(x) dx P(x) X 8

9 Valore Atteso e Varianza di una variabile casuale Le caratteristiche delle variabili casuali possono essere sintetizzate da indici analoghi nel loro significato a quelli utilizzati in statistica descrittiva per un collettivo di osservazioni. L indice di posizione che si può ricavare per le v.c., nota la funzione di probabilità, è il valore atteso, E [x]. Il valore atteso è concettualmente equiparabile a quello di media in statistica descrittiva : E [x] = media v.c. discreta: E [x] = Σ x i p i v. c. continua: + E [x] = ƒ(x) dx La varianza di una v. c. indica i gradi di dispersione intorno al valore atteso: v.c. discreta: V [x] = Σ (x i - µ ) 2 p i o V [x] = Σ (x i 2 p i ) - µ 2 v. c. continua: + V [x] = (xi µ ) 2 ƒ(x) dx 9

10 Valore Atteso di una funzione di variabile casuale e combinazione lineare La funzione Y = g (X) di una variabile casuale è a sua volta una v.c. con cui condivide la proprietà di calcolare il valore atteso e la sua dispersione intorno ad esso. Un caso particolare è il caso in cui Y= g (X) = ax + b. Questa trasformazione prende il nome di combinazione lineare. In questo caso E(Y) = a(x) + b V (Y) = a 2 Σ (X-μ) 2 p i = a 2 σ 2 10

11 Variabili casuali standardizzate In alcune circostanze può essere utile trasformare la variabile casuale in un numero puro che prende il nome di variabile casuale standardizzata z. Z = X µ σ Un a variabile casuale standardizzata ha sempre media nulla e varianza unitaria: E [Z] = 0 V [Z] = 1 Tali proprietà risultano importanti al fine di derivare il valore della probabilità di var. casuali continue con una distribuzione normale (vedi in seguito). 11

12 Funzioni di probabilità delle variabili casuali discrete Esistono vari tipi di funzione che associano gli eventi dello spazio campionario discreti ai numeri reali R. Alle v.c. discrete dicotomiche si applica la distribuzione Binomiale. 12

13 Distribuzioni Binomiale Consideriamo un esperimento aleatorio dicotomico articolato in n prove indipendenti e con probabilità costante, per esempio il lancio di una moneta che ha un esito dicotomico (T o C). La probabilità di avere x eventi favorevoli (p.e. «T») sarà pertanto la costante π, mentre gli insuccessi hanno la probabilità complementare 1- π. Pertanto possiamo rappresentare la distribuzione di probabilità della sequenza come : π 1 π 2 π i π n x 1-π 1 1-π 2 1 π i 1-π n n-x Ƒ (x) è data dal prodotto delle combinazioni semplici di ordine n,x, dove: n è il numero di prove e x in numero di eventi favorevoli. nc x va quindi moltiplicato per il prodotto della probabilità della variabile casuale X (π x ) e del suo complemento (1 - π n-x ). 13

14 Funzione di probabilità di v. c. ~ Binomiale La probabilità di una v.c. ~ b è: b (X=x ) = n C x π x (1- π) n-x Nella funzione di probabilità P(x) ~b (X=x ), X e la variabile casuale ed n il numero di prove. È una distribuzione di probabilità perché sono valide le condizioni: ƒ(x) 0 per ogni valore reale di X. Ciò si deduce dal fatto che n e π sono positivi per cui n C x, π x, (1- π) n-x sono anch essi positivi. Σƒ(x) = 1. Anche questo è dimostrabile in quanto Σ n C x π x (1- π) n-x = [(1- π) + π ] n = 1 n =1 14

15 Esempio applicazione ~ Binomiale Un venditore sa che per ogni visita al domicilio la probabilità di acquisto del cliente è di 0,35 (π). Se il venditore ha in programma 5 visite al domicilio che probabilità ha di vendere i prodotti. Calcolare la probabilità dei prodotti venduti da un minimo di 0 a un massimo di 5, se si ipotizza che possa vendere 1 prodotto a visita. P (X =0) = 5! 0!5! 0,350 (1-0,35) 5 =0,116 P (X =1) = 5! 1!5! 0,351 (1-0,35) 4 =0,312 P (X =2) = 5! 2!5! 0,352 (1-0,35) 3 =0,181 P (X =3) = 5! 3!5! 0,353 (1-0,35) 2 =0,049 P (X =4) = 5! 3!5! 0,354 (1-0,35) 1 =0,049 P (X =5) = 5! 5!o! 0,355 (1-0,35) 0 =0,005 15

16 Distribuzione v.c. Bernoulliana Un esperimento casuale con un esito dicotomico ed una sola sequenza di esperimenti (n=1), ha una distribuzione di probabilità P(X) che prende il nome di distribuzione di Bernoulli. In questo caso P(X=x) dipende solo da π, in quanto essendoci una sola prova esiste anche un unica sequenza come risultato dell esperimento.. X ~ Bern: P X = x = π x (1- π) n-x 16

17 Valore atteso di una v.c. Bernoulliana e Binomiale Data una v.c. X ~ Bern: P X = 0 = 1- π Da cui e P X = 1 = π E(x ~ Bern) = 0 (1- π) + 1 π = π Data una v.c. X ~ Bin, con parametri n e π, può essere rappresentata come la somma di X i v. c. bernoulliane indipendenti, con la stessa probabilità costante π: E(X ~ Bin ) = E [ X 1 + X X i ]= n π i 17

18 Esempio calcolo del valore atteso e della varianza di una v.c. con ~ Binomiale Un venditore sa che per ogni visita al domicilio la probabilità di acquisto del cliente è di 0,35 (π). Se il venditore ha in programma 5 visite al domicilio qual è la probabilità media di vendita e la sua variabilità. E(x) = n π = 5 0,35 = 1,75 V(X) = n π ( 1 - π ) = 5 0,35 0,65 =1,

19 Varianza di una v.c. Bernoulliana e Binomiale Data una v.c. X ~ Bern: P X = 0 = 1- π e P X = 1 = π, V(X ~ Bern) = (0 - π) 2 (1 π) + 1 π 2 π = π 1 π Data una v.c. X ~ Bin, con parametri n e π, può essere rappresentata come la somma di n X i var casuali bernoulliane indipendenti, per cui V(X ~ Bin ) = V [ X 1 + V X i ] = n π 1 π 19

20 Distribuzione ipergeometrica La distribuzione binomiale ipotizza che gli elementi siano estratti in modo indipendente, con probabilità di estrazione del singolo elemento costante per tutti gli esperimenti. In molte situazioni in cui si estrae da spazi campionari piccoli (p.e. estrarre 5 soggetti da un gruppo di 25) tali condizioni sono difficilmente soddisfatte per cui è meglio ricorrere alla distribuzione ipergeometrica. Questo tipo di funzione di probabilità evita infatti che le probabilità siano distorte dal fatto che un soggetto o un elemento venga estratto due volte (e quindi vengano violati gli assunti di indipendenza e probabilità costante). 20

21 Distribuzione ipergeometrica La distribuzione ipergeometrica si deriva dalla definizione di combinazione applicata alle seguenti componenti della distribuzione: 1. Combinazioni dei casi «favorevoli» (o della casistica d interesse p.e pezzi F difettosi), F; x = F! x!(f x)! 2. Combinazioni dei casi «non favorevoli» ( che non hanno caratteristiche d interesse p.e. pezzi non difettosi), N F; N F N F! = n x x!(f x)! 3. Combinazioni tra tutti i possibili elementi dello spazio campionario, N ; N n = N! n!(n n)! P (X =x) = F x N F n x N n 21

22 Distribuzione Normale La distribuzione normale, come suggerisce il nome è una distribuzione molto ricorrente in natura: in molte circostanze si verifica che i valori osservati assumano una probabilità massima intorno al valore medio. Questo accade per pesi, altezze, distanze e molte altre misure. La distribuzione normale è un modello idoneo a rappresentare questi fenomeni perché presenta una densità massima di probabilità intorno al valore centrale e decresce in modo simmetrico nelle code, assumendo la nota forma a campana. σ 22

23 Funzione di densità di probabilità di v. c. continue con ~ Normale Una variabile casuale continua X, che assume valori nell insieme dei numeri reali R, è «normale» se la sua funzione di densità è: Ƒ (x ~n) = 1 e x μ 2 π σ 2 2 σ 2 2 Dove: μ : la media della v.c. X σ : lo scarto quadratico medio della v.c. X x : valore dalla v. c. continua ricompreso tra < x < + e : costante, base dei logaritmi naturali approssimata a π : costante, rapporto tra circonferenza e diametro approssimata a

24 Proprietà della funzione di densità Normale La ~ N assume sempre valori positivi ed è asintotica ovvero tende a 0 per lim -> + o lim -> -. È una ~ unimodale simmetrica rispetto alla media μ, con la caratteristica forma a «campana». Presenta un massimo assoluto in corrispondenza di μ Media, Mediana e Moda coincidono Presenta due flessi in corrispondenza di x= μ - σ e x= μ + σ Il valore medio μ e lo scarto quadratico medio σ determinano la forma della distribuzione. 24

25 Errori casuali i e ~ Normale L errore casuale è definito come scarto dalla media ( i = x - ). Gauss ha osservato come i valori delle v.c. continue, al crescere delle osservazioni tendono a collocarsi intorno alla media mentre l ampiezza degli errori casuali i si riduce. e a collocarsi nelle code, per effetto della riduzione della dispersione. Per v.c. continue - < x i < +, il 75% dei valori di x i è incluso nell'intervallo x σ x (dove σ x è lo scarto quadratico medio) e il 95% nell'intervallo x 2σ x. f(x) ±1 deviazione standard 0.03 ± 2 deviazioni standard x = concentrazione di glucosio (mg/dl) 25

26 Distribuzione di una v.c. continua con ~ N standardizzata È possibile derivare la probabilità di intervalli di una v. c. X ~ N, ovvero il valore integrale dell area sottesa alla distribuzione, trasformando x in z, anch essa v.c. ~ N. z = x μ x σ 2 da cui x = μ x + z σ 2 z è un numero puro e dà origine ad una ~ N con le seguenti proprietà: -media «nulla» (µ Z =0); -scarto quadratico medio «unitario» (σ Z =1); -funzione densità di probabilità: Ƒ (z ~n) = 1 2 π ez = =1 GAUSSIANA STANDARD

27 Distribuzione Funzione di Ripartizione di z : F(z*) L area sottesa alla curva della ~ N standard si può calcolare come integrale definito - e z* per F(z ~ N), funzione di ripartizione della normale standardizzata. z = N) F(z ~ a F z a dz F(z) 1 0,8 0,6 0,4 0, centile 75 centile deviata gaussiana standard z 27

28 Tavola della ƒ(z) di ripartizione z*

29 Utilizzo tavole ƒ(z) di ripartizione: valori positivi di z Per valori positivi di z (superiori alla media e quindi > 0) il valore di probabilità riportato sulla tavola si riferisce all area da - a z. ƒ(z) P(Z z) P(Z z) = 1 -z µ=0 z 29

30 Esempio utilizzo tavole ƒ(z) di ripartizione per valori positivi di z Il peso di una confezione di biscotti ha una ~ N con μ x = 350 grammi e σ x = 5 gr. Calcolare la probabilità che un pacco di biscotti pesi meno di 360 grammi. P( x 360)= P (z ) = P (z 2) = 0,9772 La probabilità che un pacco pesi meno di 360 grammi è pari al 98% 30

31 Utilizzo tavole ƒ(z) di ripartizione: valori negativi di z Per valori negativi di z (al di sotto della media e quindi < 0) il valore di probabilità riportato sulla tavola si riferisce all area da z a +. ƒ(z) P(Z - z) = 1 z con z < 0 P(Z - z) -z µ=0 31

32 Esempio utilizzo tavole ƒ(z) di ripartizione per valori negativi di z Sulla base dello storico è stato osservato che i rendimenti di un titolo azionario in percentuale ha una ~ N con μ x = 6,5 e σ x = 3,5. Calcolare la probabilità che si abbia una perdita. P( x 0) = P ( (o 6,5)/3,5 z) = P (z - 1,86) = 1 0,9686 = 0,0314 La probabilità che il fondo azionario perda è del 3,14% 32

33 Utilizzo tavole ƒ(z) di ripartizione: intervallo di valori Definito un intervallo di valori di x, si trasformano in z e si verifica qual è la probabilità che x cada all interno, sopra o sotto i limiti dell intervallo. Nell immagine l ipotesi che si voglia conoscere la probablità all interno dell intervallo. ƒ(x) P(a X b) = ƒ( b µ σb ) [1- ƒ( a µ σa ) ] a µ b 33

34 Esempio utilizzo tavole ƒ(z) di ripartizione per un intervallo di valori (x 1 P x 2 ) Una ditta che produce lampadine, la cui durata è ~ N, ha una μ x = 1200 ore di durata e σ x =250 ore di durata. Calcolare la probabilità che la durata sia compresa tra 900 e 1300 ore. P( 900 < x 1300)= P (( )/250 < z < ( )/250) = = P (-1,2 <z < 0,4) = = P(z > 0,4) - [1 - P (z < -1,2)] = 0,6554 ( ) = 0,6554 0,1151 =0,5404 P( 900 < x 1300) durata in ore delle lampadine è pari al 54,04% 34

35 Combinazione lineare di v. c. continue ~ N La funzione Y = g (X) di una variabile casuale è a sua volta una v. c. con cui Y, ottenuta come combinazione lineare di due v. c. X1 e X2. Se X1 e X2 sono indipendenti e con ~ N, anche per Y è possibile derivare il valore atteso E(Y), la varianza V(Y) e la probabilità, previa opportuna trasformazione in v. c. standardizzata z. DatoY = ax 1 + bx 2 con a e b costanti prefissate, E(Y) = a E(X 1 ) + b E(X 2 ) V (Y) = a 2 σ 2 x1 + b 2 σ 2 x2 + 2 ab Cov (X 1, X 2 ) La V(Y) si può anche calcolare a partire dalla correlazione, V (Y) = a 2 σ 2 x1 + b 2 σ 2 x2 + 2 ab Corr (X 1, X 2 ) 35

36 Esempio utilizzo della combinazione lineare di v. c. continue ~ N Il direttore commerciale di u azienda ha un portfolio con 20 azioni di tipo A e 30 di tipo B. I prezzi della azioni di tipo A e B hanno distribuzione normale con E(X a )=25 e V(X a )=81 mentre E(X b )=40 e V(X b )= 121. I prezzi delle azioni sono correlati negativamente con r=-40 e il direttore si chiede qual è la probabilità che il portfolio superi i 2000 euro. Svolgimento: il valore del portfolio è definito dalla combinazione Y = 20 X a + 30 X b Da cui: E(Y) = 20 E(X a )+ 30 E(X b )= 20x x40 = 1700 V(Y) = a 2 σ 2 a + b 2 σ 2 b + 2 ab Corr (X a, X b ) σ a σ b = = 20 2 x x x 20 x 30 x (-0,40)x 9 x 11 =

37 Calcolo probabilità di una combinazione lineare con ~ N Il direttore si chiede qual è la probabilità che il portfolio superi i 2000 euro pertanto il valore Yi=2000 va trasformato in z. Z y = Y i E(Y) = = σ y = 0,98 P(z y 2000) = P (1 z y ) = 0,1635 La probabilità che il portfolio superi i 2000 euro è pari allo 16,35%. 37

38 densità di probabilità Densità di probabilità Altre distribuzioni di v.c. continue Neofita : distribuzione uniforme Giocatore neofita 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Distanza in cm dal boccino Esperto : distribuzione esponenziale negativa Giocatore esperto 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, Distanza in cm dal boccino 16-17/04/2012 Elementi di calcolo delle probabilità 38