Un pilinomio di grado n può essere scritto nella forma:

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1 ESAME DI MATURITA QUESITI DELLA SECONDA PROVA DI MATEMATICA - LICEO SCIENTIFICO TRADIZIONALE A cura di Alberto Bellato Soluzioni a cura di Studentville.it e Votailprof.it Attenzione: il contenuto del documento è fornito AS IS. Si declina ogni responsabilità per eventuali errori od imprecisioni contenute in esso. L uso delle informazioni contenute nel documento implica l assunzione di ogni responsabilità connessa. 1 Quesito 1 Un pilinomio di grado n può essere scritto nella forma: p n (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Per derivare il polinomio, poiché l operazione di derivazione è lineare, è sufficiente applicarla ad ogni addendo a i x i. Osservando il primo termine a n x n, avremo: La derivata seconda sarà: p n(x) = n a n x n 1 p m(x) = n(n 1) a n x n 2 E così via. Osserviamo che il coefficiente a n viene moltiplicato per il fattore n (n 1) (n 2)... Ma questa è proprio l espressione del fattoriale: 1

2 2 Quesito 2 La dimostrazione è presto ravvisata nella definizione della retta r. Giacché la retta giace perpendicolare al piano del triangolo ABC, è evidente che l angolo firmato dalla retta medesima con qualsiasi segmento giacente nel piano ABC sarà 90 gradi. Avremo dunque il triangolo PAB rettangolo in B e PBC rettangolo in B. Il triangolo PCA sarà rettangolo in A, poiché è ottenuto dal triangolo ABC mediante una omotetia lungo l asse AB. Chiarimento: L angolo in A non cambia poiché è stato unicamente allungato il lato AB, e giocoforza il lato CP, senza toccare l angolo in A. Quesito La funzione è f(x) = e x +1. Il coefficiente angolare della retta tangente è presto trovato calcolando la derivata prima della funzione. Avremo f (x) = e x. Imponiamo ora. f (x) = 2 e x = 2 x = 1 ln ( 2 ) 4 Quesito 4 lim x 4x sin( 1 x ) = lim x 4 ( sin( 1 1 x ) ) x = lim t 0 4 sin(t) t = 4 Dove si è sfruttato lim t 0 sin(t) t = 1 2

3 5 Quesito 5 Chiamiamo a l apotema del cono, r il raggio della circonferenza di base, e h l altezza. Osservando una sezione assiale del cono, possiamo scrivere: r 2 = a 2 h 2 Scriviamo l espressione del volume del cono: V = 1 r2 π h Giacché è necessario calcolare il volume del cono massimo, dobbiamo facilmente ricercare il valore di h che rende massimo il volume del cono. Si tratta di un problema di massimo e minimo applicato alla funzione V(h). Calcoliamo il massimo studiando la derivata della funzione: V (h) = π h (a2 h 2 ) = π (a2 h h ) V (h) = π (a2 h 2 ) Studiando il segno (omettiamo il calcolo per brevità) otteniamo il punto di massimo relativo in h = a. Il calcolo del volume per il valore di h appena trovato conduce al risultato: V = 252, 8 litri. Attenzione al passaggio da cm a litri! 6 Quesito 6 Il dominio della funzione y = cos(x) è determinato imponendo positivo l argomento della radice. Avremo: cos(x) 0 π 2 + 2kπ x π 2 + 2kπ

4 7 Quesito 7 Per imporre la continuità, è necessario imporre l uguaglianza dei limiti destro e sinistro della funzione in x=4. Calcoliamo il valore assunto dalla funzione in x=4: f(4) = (4) = 0 Imponiamo l uguaglianza col limite destro: k (4) = 0 16k 9 = 0 k = Quesito 8 Una progressione si dice aritmetica quando è costante la differenza fra elementi consecutivi. Dalle formule dei coefficienti binomiali si ottiene: ( ) n = n 1 (n 1)! 1 ( ) n = n 2 ( ) n = n (n 2)! 2 (n )! Si prosegue operando la differenza fra i membri consecutivi, scrivendo: ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n = n n 2 n 2 n 1 Si può semplificare il calcolo così: ( ) ( ) n n = 2 n n 2 4 ( ) n n 1

5 A questo punto vanno sviluppate le espressioni dei coefficienti binomiali, eseguendo le semplificazioni: (n!) (n (n ))! = 2 2! (n 2)! (n (n 2)!) (n 1)! (n (n 1))!! (n )! = 2 2! (n 2)! (n 1)! A questo punto l equazione va semplificata espandendo i singoli termini fattoriali. Per semplicità di esposizione omettiamo i passaggi, scrivendo il risultato finale: 9 Quesito 9 (n 2)(n 1) = 6 (n 2) n = 7 Per dimostrare il fatto che un triangolo siffatto non può esistere, possiamo ragionare sulla misura minima del lato AC, con le condizioni poste. Chiamiamo r la retta passante per B, sulla quale vogliamo individuare il vertice C. La misura minima del lato AC è ottenibile calcolando la distanza della retta r dal punto A; per definizione, il segmento AC sarà perpendicolare a r, e disegnando tale segmento avremo individuato un triangolo ABC rettangolo in C. Ora, la misura di AC si può trovare sfruttando le proprietà dei triangoli rettangoli, scrivendo brevemente AC = AB sen(0) 2, 12. Ecco che la misura risulta superiore al 2 imposto in precedenza. Il triangolo ricercato in partenza non può dunque esistere. In via alternativa,possiamo dire che una circonferenza di raggio 2 centrata in A non potrà mai toccare la retta r, ma la dimostrazione è leggermente più complessa. Per quanto riguarda il secondo punto, possiamo costruire il triangolo ed osservare il disegno: Il Teorema di Carnot fornisce: 5

6 AC 2 = CB 2 + AB 2 2CB AB cos(0) Con i dati in nostro possesso, otteniamo una equazione di secondo grado nella variabile CB. Avremo: 2 2 = x x cos(0) x 2 x + 5 = 0 Risolvendo l equazione di secondo grado otteniamo i due valori del lato CB: CB 1,2 = ± 7 2 6

7 10 Quesito 10 Giacché la rotazione avviene attorno all asse y, è conveniente modificare leggermente la funzione. L integrale di rotazione che stiamo calcolando è una sorta di ciotola con parete cilindrica, ottenibile sottraendo dal volume di un cilindro di raggio 4 ed altezza 2 il volume del solido di rotazione di f(x) = x 2 fra x=0 e x=2, attorno all asse x. Avremo, utilizzando il Teorema di Fubini: V = π [ ] 1 2 π [x 2 ] 2 dx = 2 π π x 4 dx = 2 π π x5 = 2π π = π 7