Derivate di funzioni

Transcript

1 Derivate di funzioni Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 9 novembre 2015 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 1/ 121

2 Approssimazione Problema. Data una funzione f definita in un intorno di x 0, ci poniamo il problema di approssimarla localmente, cioè in un intorno sufficientemente piccolo di x 0, con una retta di equazione y = ax + b, passante per (x 0, f (x 0 )) e quindi tale che f (x 0 ) = ax 0 + b. Notazione. Dicendo che una funzione f è uguale a o(x c) intenderemo che lim x c f (x) x c = 0. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 2/ 121

3 Nota sugli o Nota. Osserviamo che se lim x x0 f (x) = 0, lim x x0 g(x) = 0 allora avevamo già visto che f = o(g) se f lim x x 0 g = 0. Con questa vecchia notazione, g(x) = x c e x 0 = c, scrivevamo f è uguale a o(x c) qualora lim x c f (x) x c = 0. proprio come nella definizione appena introdotta. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 3/ 121

4 Approssimazione Esempio La funzione sin(x) x è o(x) (cioè o(x 0)). Svolgimento. Da lim x 0 sin(x) x = 1 abbiamo che sin(x) x lim x 0 x e quindi sin(x) x è o(x). sin(x) x = lim lim x 0 x x 0 x = 1 1 = 0 Di conseguenza, sin(x) x = o(x) e quindi, con un abuso di notazione, sin(x) = x + o(x). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 4/ 121

5 Approssimazione x x 10 3 Figura : In alto. La funzione sin(x) in [ 2, 2] (in nero) e x (in rosso). In basso. L errore assoluto sin(x) x in un intorno di 0. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 5/ 121

6 Retta tangente al grafico di f in (x 0, f (x 0 )) Definizione (Retta tangente) Sia I un intervallo (anche illimitato), e x 0 sia interno ad I (cioè non sia un estremo di I ). Si dice che la retta passante per (x 0, f (x 0 )) y = f (x 0 ) + m(x x 0 ) è tangente al grafico di f in (x 0, f (x 0 )) se f (x) [f (x 0 ) + m(x x 0 )] = o(x x 0 ). Usando l abuso di notazione precedente, che tornerà utile, ciò si scrive pure f (x) = [f (x 0 ) + m(x x 0 )] + o(x x 0 ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 6/ 121

7 Approssimazione Nota. (1) Potrebbe dar fastidio l abuso di notazione. Vediamone la ragione. Quando scriviamo f (x) g(x) = o(x c) intendiamo che h(x) = f (x) g(x) (cioè f (x) = g(x) + h(x)) è una funzione tale che lim x c h(x)/(x c) = 0. Quindi, portando a secondo membro g(x) con intendiamo dire f (x) = g(x) + o(x c) f (x) = g(x) + h(x) con h(x) tale che lim x c h(x)/(x c) = 0. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 7/ 121

8 Approssimazione Teorema Se allora f (x) = o(x c) per x c lim f (x) = 0. x c Dimostrazione. (Facoltativa) f (x) Infatti, per definizione, lim x c = 0, dice che x c ovvero ɛ > 0, δ(ɛ) > 0 : x c < δ(ɛ) f (x)/(x c) < ɛ ɛ > 0, δ(ɛ) > 0 : x c < δ(ɛ) f (x) < ɛ x c e quindi, esiste un intorno di c per cui f (x) < ɛ x c e visto che x c 0 per x c, per il teorema del confronto, da deduciamo che f (x) 0 per x c. ɛ x c < f (x) < ɛ x c Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 8/ 121

9 Retta tangente al grafico di f in (x 0, f (x 0 )) Nota. Ricordando la definizione di o(x x 0 ) significa f (x) [f (x 0 ) + m(x x 0 )] = o(x x 0 ) f (x) [f (x 0 ) + m(x x 0 )] f (x) f (x 0 ) lim = lim m = 0 x x 0 x x 0 x x0 x x 0 cioè facilmente f (x) f (x 0 ) lim = m R. x x 0 x x 0 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 9/ 121

10 Derivata Definizione (Rapporto incrementale) La quantità f (x) f (x 0 ) x x 0 si chiama rapporto incrementale di f in x relativamente a x 0. Definizione (Derivabilità ) Sia I R un intervallo e sia f : I R R, con x 0 interno ad I. Diremo che f è derivabile in x 0 se esiste finito il limite f (x 0 ) = lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0. Tale limite f (x 0 ) viene chiamato derivata (prima) di f in x 0 e viene a volte indicato con df dx x 0 o Df (x 0 ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 10/ 121

11 Derivabilità : definizione alternativa Nota. Osserviamo che posto x = x 0 + h, abbiamo f f (x) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim = lim. x x0 x x 0 h 0 h Per questo motivo spesso si definisce f f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 11/ 121

12 Derivata, esempio 1 Esercizio Mostrare che la derivata prima di sin(x) in 0 vale 1. Svolgimento. Per quanto detto basta sia, per f (x) = sin(x) f (0) = f (0 + h) f (0) sin(h) sin(0) lim = lim h h 0 h 0 h = sin(h) lim = 1 h 0 h cosa nota per il limite notevole sin(x) lim = 1. x 0 x Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 12/ 121

13 Derivata, esempio non derivabile, 1 Esercizio La funzione 3 x non è derivabile in x 0 = 0. Traccia. Scrivendo il rapporto incrementale f (0 + h) f (0) h = 3 h h = h 2/3 ± con ± a seconda si tenda da destra o sinistra, rispettivamente. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 13/ 121

14 Derivata, esempio Figura : In alto. La funzione 3 x in [ 0.1, 0.1] (in blue). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 14/ 121

15 Derivata, esempio non derivabile, 2 Definizione (Punto angoloso) Se f (x f (x 0 + h) f (x 0 ) 0 ) = lim, h 0 h f +(x 0 ) = lim h 0 + f (x 0 + h) f (x 0 ) h sono finiti ma distinti, il punto x 0 si dice angoloso per f. Nota. In questo caso la funzione non risulta derivabile, si ha quando f +(x f (x 0 + h) f (x 0) f (x 0 + h) f (x 0) 0) = lim lim = f (x 0) h 0 + h h 0 h in quanto, come noto, implica che non esiste lim h 0 f (x 0 +h) f (x 0 ) h. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 15/ 121

16 Derivata, esempio non derivabile, 2 Esercizio La funzione f (x) = x ha un punto angoloso in x 0 = 0. Traccia. Si vede subito che h 0 h 0 h 0 1 = lim lim = lim = 1. h 0 + h h 0 h h 0 h e quindi il limite richiesto per essere derivabile in x 0 = 0 non esiste. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 16/ 121

17 Derivata, esempio Figura : In alto. La funzione x in [ 0.1, 0.1] (in blue). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 17/ 121

18 Derivata, cuspide Definizione (Cuspide) Se uno tra f +(x 0 ) e f (x 0 ) vale + e l altro, il punto x 0 si dice cuspide per f. Nota. Tale funzione non risulta derivabile, si ha quando f +(x f (x 0 + h) f (x 0) f (x 0 + h) f (x 0) 0) = lim lim = f (x 0) h 0 + h h 0 h in quanto, come noto, implica che non esiste lim h 0 f (x 0 +h) f (x 0 ) h. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 18/ 121

19 Derivata, cuspide Esempio La funzione x ha una cuspide in x 0 = Figura : In alto. La funzione x in [ 0.1, 0.1]. Si noti che f (x 0 ) =, f +(x 0 ) = +. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 19/ 121

20 Derivabilità Definizione (Derivabilità in un intervallo) Sia I R un intervallo e sia f : I R R, derivabile per ogni x interno ad I. Diremo che f è derivabile in I e con f (x) intenderemo la funzione che ad x associa il valore della derivata nel punto x. Nota. A volte df dx (x) intenderemo una notazione alternativa a f (x), per definire la funzione che ad x associa il valore della derivata. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 20/ 121

21 Derivata, derivate sinistre e destre Definizione (Derivata destra) Sia [a, b] R un intervallo e sia a x 0 < b. Diremo che f è derivabile a destra in x 0 se esiste finito il limite destro lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 := f + (x 0 ) Definizione (Derivata sinistra) Sia [a, b] R un intervallo e sia a x 0 < b. Diremo che f è derivabile a sinistra in x 0 se esiste finito il limite sinistro lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 := f (x 0 ) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 21/ 121

22 Derivata, teorema sulla derivazione, dalle derivate sinistre e destre Teorema (Legame derivabilità e derivate destre e sinistre) Sia I R un intervallo aperto contenente x 0. La funzione f è derivabile in x 0 se e solo se esistono finite f (x 0 ), f + (x 0 ), f (x 0 ) = f + (x 0 ) = f (x 0 ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 22/ 121

23 Derivabilità e continuità Teorema (Legame derivabilità e continuità) Sia I R un intervallo aperto contenente x 0. Sia la funzione f derivabile in x 0. Allora la funzione è continua in x 0. Dimostrazione. Dalla definizione, f (x 0) = lim x x0 f (x) f (x 0) x x 0 f (x) f (x 0) f (x 0)(x x 0) lim = 0 x x0 x x 0 f (x) f (x 0) f (x 0)(x x 0) = o(x x 0) f (x) = f (x 0) + f (x 0)(x x 0) + o(x x 0) ed essendo f (x 0)(x x 0) 0, o(x x 0) 0, per x x 0, ricaviamo cioè f continua in x 0. lim f (x) = f (x x x 0) 0 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 23/ 121

24 Derivabilità e continuità Nota. Il teorema precedente di che la derivabilità di una funzione si studia solo nei punti in cui f è continua perchè dove è discontinua sicuramente non è derivabile. Nota. Ci sono funzioni continue che non sono derivabili, come ad esempio, la funzione f (x) = x che è ovunque continua ma non è derivabile in x 0 = 0. Si noti che, contro l intuito, esistono perfino funzioni continue ovunque e mai derivabili. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 24/ 121

25 Derivabilite delle funzioni elementari: monomi Teorema (Derivata di f (x) = x α.) La derivata di f (x) = x α è, internamente al dominio di f, { f 0, se α = 0 (x) = α x α 1, se α 0 Dimostrazione. se α = 0, x 0 0 abbiamo f (x 0 ) = lim h 0 (x 0 + h) 0 (x 0 ) 0 h 0 = lim h 0 h = 0. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 25/ 121

26 Derivabilità delle funzioni elementari: monomi se α 0, da (x 0 + h) α = (x 0 (1 + (h/x 0 ))) α = x α 0 (1 + (h/x 0 )) α necessariamente f (x 0 ) = lim h 0 (x 0 + h) α x α 0 h x0 α = lim (1 + (h/x 0)) α x0 α h 0 h ) α ) ((1 + h x0 1 x α 0 = lim h 0 h Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 26/ 121

27 Derivabilità delle funzioni elementari: monomi Dal limite notevole e (1 + t) α 1 lim t 0 t α 0 x f (x 0) = lim h 0 = α ( (1 + h x 0 ) α 1 posto t = h/x 0, necessariamente t 0 e ( ) α x 0 (1 + h x 0 ) α 1 x0 α ((1 + t) α 1) lim = lim h 0 h t 0 tx 0 α 1 = lim x 0 ((1 + t)α 1) t 0 t α 1 ((1 + t) α 1) = x 0 lim t 0 }{{ t } =α = αx α 1 0. h ) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 27/ 121

28 Derivabilità delle funzioni elementari: monomi se α 0, α 1, x 0 = 0 e ha senso considerare il limite per x 0 (pensare quanto differenti siano i casi x 2 e x!) (0 + h) α 0 α lim h 0 h = lim h 0 h α 1 che vale 0, come x α 1 per x = 0, se α > 1, mentre se α < 1 vale, come x α 1 per x = 0 (con abuso di notazione). se α 0, α 1, x 0 = 0 e ha senso considerare esclusivamente il limite per x 0 + (0 + h) α 0 α lim = lim h 0 + h hα 1 h 0 + che vale 0, come x α 1 per x = 0, se α > 1, mentre se α < 1 vale, come x α 1 per x = 0 (con abuso di notazione). se α = 1 e x 0 = 0 allora (0 + h) α 0 α h lim = lim h 0 h h 0 h = 1 come x 0 = 1 per x = 0, definendo 0 0 = 1. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 28/ 121

29 Derivabilità delle funzioni elementari: sin(x) Teorema (Derivata di f (x) = sin(x).) La derivata di f (x) = sin(x) è f (x) = cos(x). Dimostrazione. Osserviamo che da sin(x 0 + h) = sin(x 0 ) cos(h) + sin(h) cos(x 0 ) sin(x 0 + h) sin(x 0 ) lim h 0 h sin(x 0 ) cos(h) + sin(h) cos(x 0 ) sin(x 0 ) = lim h 0 h sin(x 0 )(cos(h) 1) + cos(x 0 ) sin(h) = lim h 0 h sin(x 0 )h(cos(h) 1) cos(x 0 ) sin(h) = lim h 0 h 2 + lim h 0 h = 0 ( 1/2) + cos(x 0 ) = cos(x 0 ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 29/ 121

30 Derivabilità delle funzioni elementari: cos(x) Teorema (Derivata di f (x) = cos(x).) La derivata di f (x) = cos(x) è f (x) = sin(x). Dimostrazione. (Facoltativa) Osserviamo che da cos(x 0 + h) = cos(x 0) cos(h) sin(h) sin(x 0) cos(x 0 + h) cos(x 0) lim h 0 h cos(x 0) cos(h) sin(h) sin(x 0) cos(x 0) = lim h 0 h cos(x 0) (cos(h) 1) sin(h) sin(x 0) = lim h 0 h = cos(x 0) lim h h 0 }{{} 1 cos(h) sin(h) lim sin(x 0) 0 } h {{ 2 h 0 } h 1/2 }{{} 1 = 0 sin(x 0) = sin(x 0). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 30/ 121

31 Derivabilità delle funzioni elementari: e x Teorema (Derivata di f (x) = e x.) La derivata di f (x) = e x è f (x) = e x. Dimostrazione. Osserviamo che da lim h 0 e h 1 h = 1 e x0+h e x 0 lim h 0 h e x0 e h e x0 = lim h 0 h = lim e x0 eh 1 h 0 }{{ h } 1 = e x 0. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 31/ 121

32 Derivabilità delle funzioni elementari: a x Teorema (Derivata di f (x) = a x.) Per a 1, la derivata di f (x) = a x è f (x) = a x log(a). Dimostrazione. Osserviamo che da lim h 0 a h 1 h = log(a) a x0+h a x 0 lim h 0 h a x0 a h a x0 = lim h 0 h = lim a x0 ah 1 h 0 }{{ h } log(a) = a x 0 log(a). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 32/ 121

33 Derivabilità delle funzioni elementari: a x Nota. Abbiamo visto che se a 1, la derivata di f (x) = a x è f (x) = a x log(a). Nel caso particolare di a = e abbiamo che se f (x) = e x f (x) = e x log(e) = e x come affermava il teorema precedente a quello appena mostrato. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 33/ 121

34 Algebra delle derivate Teorema Siano f, g : I R R derivabili in x 0 interno ad I. Allora f + g è derivabile in x 0 e (f + g) (x 0) = f (x 0) + g (x 0); se c R allora c f è derivabile in x 0 f g è derivabile in x 0 e (c f ) (x 0) = c f (x 0); (f g) (x 0) = f (x 0)g(x 0) + f (x 0)g (x 0); se g(x 0) 0 allora f /g è derivabile in x 0 e (f /g) (x 0) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) g 2 (x 0 ) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 34/ 121

35 Algebra delle derivate. Esempi. Esempio Abbiamo visto che D sin(x) = cos(x), che Dx 3 = 3x 2 e che De x = e x. Di conseguenza D(x 3 ) = 3x 2 + cos(x), D(2 x 3 ) = 2 D(x 3 ) = 2 3 x 2 = 6 x 2 D(x 3 sin(x)) = 3x 2 sin(x) + x 3 cos(x) ( ) e x D = ex sin(x) e x cos(x) sin(x) sin 2 = e x sin(x) cos(x) (x) sin 2 (x) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 35/ 121

36 Algebra delle derivate: tan(x), cot(x) Teorema (Derivata di f (x) = tan(x)) Se f (x) = tan(x) allora, per x (π/2) + kπ, k Z, f (x) = 1 + tan 2 (x). Dimostrazione. Dall algebra delle derivate sopra esposta e cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 Teorema d dx tan(x) = d sin(x) dx cos(x) = cos2 (x) + sin 2 (x) cos 2 (x) 1 = cos 2 (x) = 1 + tan2 (x) Se f (x) = cot(x) := (cos(x)/ sin(x)) allora, per x kπ, k Z, f (x) = 1 + cot 2 (x). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 36/ 121

37 Derivazione di funzioni composte Teorema (Derivata di funzioni composte) Sia I un intervallo e supponiamo che f : I R R sia derivabile nell interno di I, g : J R R sia derivabile nell interno di J, f (I ) J. Allora g f è derivabile e vale (g f ) (x) = g (f (x)) f (x). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 37/ 121

38 Derivazione di funzioni composte Esempio Calcolare la derivata di h(x) = cos(x) utilizzando la derivata di una funzione composta. Svolgimento. La funzione h(x) = cos(x) = sin(π/2 x) è la composta di g(y) = sin(y) e f (x) = π/2 x. Quindi dalla regola appena vista, visto che g (y) = cos(y) e f (x) = 0 1 = 1, ricaviamo h (x) = g (f (x)) f (x) = ( 1) cos(π/2 x) = sin(x). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 38/ 121

39 Derivazione di funzioni composte Esempio Calcolare la derivata di h(x) = e sin(x). Svolgimento. La funzione h(x) = e sin(x) è la composta di g(x) = e x e f (x) = sin(x). Quindi dalla regola appena vista, visto che g (x) = e x e f (x) = cos(x), ricaviamo h (x) = g (f (x)) f (x) = e sin(x) cos(x). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 39/ 121

40 Derivazione della funzione inversa Teorema (Derivata della funzione inversa) Sia I un intervallo e supponiamo che f : I R R sia derivabile in x 0 appartenente all interno di I, f (x 0 ) 0. Allora f 1 è derivabile in y 0 = f (x 0 ) ed è (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 40/ 121

41 Derivazione della funzione inversa Traccia. Basta applicare il teorema della funzione composta e ricordare che, derivando ambo i membri di f 1 (f (x)) = x visto che D(f 1 (f (x))) = (f 1 ) (f (x)) f (x); Dx = 1, deduciamo che (f 1 ) (f (x)) f (x) = 1 (f 1 ) (f (x)) = 1 f (x) da cui posto y = f (x), abbiamo x = f 1 (y) e quindi (f 1 ) (y) = 1/f (x) = 1/f (f 1 (y)). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 41/ 121

42 Derivazione della funzione inversa: arcsin(x) Teorema (Derivata di arcsin(x)) Se f (x) = arcsin(x) allora f (x) = 1 1 x 2. Traccia. Posto f (x) = sin(x), abbiamo per il precedente teorema, visto che sin(x) = cos(x), che d d dx dx arcsin(y) = 1 cos(arcsin(y)). Osserviamo poi che essendo arcsin(y) [ π/2, π/2], sicuramente cos(arcsin(y)) 0 in quanto cos(τ) 0 per τ [ π/2, π/2] e quindi da sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 abbiamo cos(arcsin(y)) = 1 sin 2 (arcsin(y)). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 42/ 121

43 Derivazione della funzione inversa: arcsin(x) Inoltre, poichè sin 2 (τ) := (sin(τ)) 2 e sin(arcsin(y)) = y, necessariamente sin 2 (arcsin(y)) := (sin(arcsin(y))) 2 = y 2. Assemblando i risultati cos(arcsin(y)) = 1 sin 2 (arcsin(y)); e ricaviamo sin 2 (arcsin(y)) := (sin(arcsin(y))) 2 = y 2. d dx arcsin(y) = 1 cos(arcsin(y)) = 1 1 sin 2 (arcsin(y)) = 1. 1 y 2 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 43/ 121

44 Lista di derivate Teorema Vale la seguente lista di derivate (nel dominio della funzione): f (x) f (x) nota x α α x α 1 α R e x e x a x (log a) (a x ) a > 0 sinh (x) cosh (x) cosh (x) sinh (x) log ( x ) 1/x log a ( x ) (1/x) log a (e) a R + \{0, 1} sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) tan(x) 1 + tan 2 (x) arcsin(x) (1 x 2 ) 1/2 arccos(x) (1 x 2 ) 1/2 arctan(x) (1 + x 2 ) 1 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 44/ 121

45 Derivazione della funzione inversa: log(x) Teorema (Derivata di log(x)) Mostrare che d dx log a(x) = 1 x log a Dimostrazione. Ricordato che log a a x = x, che d dx ax = (log(a)) a x, dal teorema della funzione inversa e a log a (x) = x, d dx log a(x) = 1 (log(a)) a log a (x) = 1 (log(a))x. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 45/ 121

46 Massimi e minimi relativi Definizione (Minimo locale) Sia f : I R R, con I intervallo. Diremo che x 0 I è un minimo relativo (o locale) per f se esiste un intorno U di x 0 tale che f (x) f (x 0 ), per ogni x U. Definizione (Massimo locale) Sia f : I R R, con I intervallo. Diremo che x 0 I è un massimo relativo (o locale) per f se esiste un intorno U di x 0 tale che f (x) f (x 0 ), per ogni x U. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 46/ 121

47 Massimi e minimi assoluti Definizione (Minimo assoluto) Sia f : I R R, con I intervallo. Diremo che x 0 I è un minimo assoluto (o globale) per f se Definizione (Massimo assoluto) f (x) f (x 0 ), per ogni x I. Sia f : I R R, con I intervallo. Diremo che x 0 I è un massimo assoluto (o globale) per f se f (x) f (x 0 ), per ogni x I. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 47/ 121

48 Massimi e minimi assoluti Nota. Se x 0 è un minimo assoluto allora è anche un minimo relativo. Se x 0 è un massimo assoluto allora è anche un massimo relativo. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 48/ 121

49 Massimi e minimi relativi e zeri di f Teorema (Fermat (1637)) Sia I un intervallo e f : I R sia derivabile in x 0 interno ad I. Allora se x 0 è un punto di minimo relativo o massimo relativo per f sia ha che f (x 0 ) = 0. Svolgimento. Dalla derivabilità deduciamo che f (x) f (x 0 ) lim := f (x 0 ). x x 0 x x 0 Se x 0 è un minimo relativo, esiste un intorno U I tale che f (x 0 ) f (x) per ogni x U, cioè f (x) f (x 0 ) 0 per ogni x U. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 49/ 121

50 Massimi e minimi relativi e zeri di f In particolare se x > x 0 allora x x 0 > 0 e quindi f (x) f (x 0 ) x x 0 0 per ogni x U, x > x 0 e quindi per il teorema di permanenza del segno f (x) f (x 0 ) lim 0. x x + x x 0 0 Se invece x < x 0 allora x x 0 < 0 e quindi f (x) f (x 0 ) x x 0 0 per ogni x U, x < x 0 da cui per il teorema di permanenza del segno lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 0. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 50/ 121

51 Massimi e minimi relativi e zeri di f Siccome la derivata in x 0 esiste, necessariamente 0 lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 = lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 0 e quindi f (x) f (x 0 ) lim = lim x x 0 x x 0 x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 = lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 = 0. Con la stessa tecnica si dimostra l asserto nel caso x 0 sia un massimo relativo. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 51/ 121

52 Massimi e minimi relativi e zeri di f Definizione (Estremi) I massimi e minimi locali e globali di una funzione si chiamano estremi di f. Nota. Gli estremi possono essere anche in punti nei quali f non è continua o non derivabile! Definizione (Punto critico o stazionario) Sia I un intervallo e f : I R sia derivabile in x 0 interno ad I. Diremo che x 0 è un punto critico o stazionario per f se f (x 0 ) = 0. Nota. Non tutti i punti stazionari sono estremi. La funzione f (x) = x 3 ha un punto stazionario in x 0 = 0 che però non è estremo. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 52/ 121

53 Massimi e minimi relativi e zeri di f. Punti critici Figura : La funzione x 3 in [ 1, 1] (in alto) e la sua derivata (in basso). Evidentemente non ha un punto estremo in 0, tuttavia si annulla la derivata. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 53/ 121

54 Massimi e minimi relativi e zeri di f. Punti critici. Teorema Sia I un intervallo e f : I R e supponiamo che x 0 sia un minimo o un massimo relativo per f. Allora vale una delle seguenti: x 0 è un punto critico per f ; x 0 non è interno a I (è un estremo, anche ± se l intervallo è illimitato); f non è derivabile in x 0. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 54/ 121

55 Massimi e minimi relativi e zeri di f. Punti critici Figura : La funzione x 1 in [ 3, 3] (in nero) e la sua derivata (in rosso), qualora esistente. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 55/ 121

56 Teorema di Rolle. Teorema (Weierstrass (1860)) Sia f : [a, b] R continua in [a, b]; < a < b < + Allora esiste f ha un minimo e un massimo assoluto in [a, b]. Teorema (Rolle (1691)) Sia f : [a, b] R, con < a < b < + e supponiamo f continua in [a, b]; f derivabile in (a, b); f sia tale che f (a) = f (b). Allora esiste ξ (a, b) tale che f (ξ) = 0. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 56/ 121

57 Teorema di Rolle. Dimostrazione. Se f è costante in [a, b], il teorema è ovvio. Se f non è costante, certamente è continua in quanto persino derivabile. Per il teorema di Weierstrass, essendo < a < b < +, ha un massimo e minimo in [a, b] e quindi esistono x 1, x 2 [a, b] tali che f (x 1 ) f (x) f (x 2 ), per ogni x [a, b]. Siccome f (a) = f (b) e f non è costante, necessariamente o x 1 (a, b) o x 2 (a, b) e quindi per il Teorema di Fermat, o f (x 1 ) = 0 o f (x 2 ) = 0 con x 1 (a, b) o x 2 (a, b). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 57/ 121

58 Teorema di Rolle Figura : La funzione sin(x) in [0, π] (in nero) e la sua derivata (in rosso). Evidentemente è applicabile il teorema di Rolle e in effetti la derivata si annulla in almeno un punto (cioè π/ ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 58/ 121

59 Teorema di Lagrange. Teorema (Lagrange (1797)) Sia f : [a, b] R, con < a < b < + e supponiamo f continua in [a, b]; f derivabile in (a, b). Allora esiste ξ (a, b) tale che f (ξ) = f (b) f (a) b a. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 59/ 121

60 Teorema di Lagrange. Dimostrazione. Sia g(x) = f (x) f (b) f (a) (x a). b a La funzione g è continua in [a, b] e derivabile in (a, b) essendo tali f (b) f (a) f e b a (x a), e valendo l algebra delle funzioni continue e derivabili lo è pure g. Inoltre g(a) = f (a), g(b) = f (a) e quindi, per il teorema di Rolle esiste ξ (a, b) tale che 0 = g (ξ) = f (x) cioè per cui f (b) f (a) b a d dx (x a) = f (x) f f (b) f (a) (ξ) =. b a Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 60/ 121 f (b) f (a) b a

61 Teorema di Lagrange Figura : La funzione sin(x) + cos(x) in [0, (5/3)π] (in nero), la sua derivata f (b) f (a) (in rosso) con sovrapposta la retta di equazione y = = b a Evidentemente è applicabile il teorema di Lagrange e in effetti la derivata interseca la retta in verde in almeno un punto. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 61/ 121 f ((5/3)π) f (0) (5/3)π.

62 Teorema di Cauchy. Teorema (Cauchy) Siano f, g : [a, b] R, entrambe continue in [a, b] e derivabili in (a, b) con g(a) g(b) e g 0. Allora esiste ξ (a, b) tale che f (ξ) f (b) f (a) g = (ξ) g(b) g(a) Dimostrazione. Si verifica facilmente che h(x) = f (x)(g(b) g(a)) g(x)(f (b) f (a)) è continua in [a, b] e derivabile in (a, b) essendo tali f e g. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 62/ 121

63 Teorema di Cauchy. Inoltre, da h(x) = f (x)(g(b) g(a)) g(x)(f (b) f (a)), h(a) = f (a)(g(b) g(a)) g(a)(f (b) f (a)) = f (a)g(b) g(a)f (b), h(b) = f (b)(g(b) g(a)) g(b)(f (b) f (a)) = f (b)g(a) + f (a)g(b). Per il teorema di Rolle, da h(a) = h(b), esiste ξ (a, b) tale che 0 = h (ξ) = f (ξ)(g(b) g(a)) g (ξ)(f (b) f (a)) cioè per cui f (ξ) f (b) f (a) = g (ξ) g(b) g(a). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 63/ 121

64 Derivate prime e monotonia. Teorema Supponiamo I sia un intervallo e f : I R f sia derivabile in I Allora f crescente in I se e solo se f (x) 0 per ogni x I. f decrescente in I se e solo se f (x) 0 per ogni x I. f strettamente crescente in I, se f (x) > 0 per ogni x I. f strettamente decrescente in I, se f (x) < 0 per ogni x I. Nota. Si noti che il se e solo se vale solo nel caso crescente e decrescente. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 64/ 121

65 Derivate prime e monotonia. Dimostrazione. ( ) Siano x 1, x 2 I, x 1 < x 2, arbitrariamente scelti. Per il teorema di Lagrange esiste ξ (x 1, x 2 ) tale che f (x 2 ) f (x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ). Se f (x) > 0 per ogni x I allora in particolare lo è in ξ, ed essendo x 1 < x 2 f (x 2 ) f (x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ) > 0 e vista l arbitrarietà della scelta x 1, x 2 I, x 1 < x 2, deduciamo che f è strettamente crescente. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 65/ 121

66 Derivate prime e monotonia. f (x) < 0 per ogni x I allora in particolare lo è in ξ, ed essendo x 1 < x 2 f (x 2 ) f (x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ) < 0 e vista l arbitrarietà della scelta x 1, x 2 I, x 1 < x 2, deduciamo che f è strettamente decrescente. La dimostrazione per f crescente o decrescente, è simile. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 66/ 121

67 Derivate prime e monotonia. Dimostrazione facoltativa. ( ) Viceversa, se se f è crescente in I, allora f (x) f (x 0 ) x x 0 0, x, x 0 I in quanto se x > x 0 allora f (x) > f (x 0 ) e quindi x x 0 > 0, f (x) f (x 0 ) > 0; se x < x 0 allora f (x) < f (x 0 ) e quindi x x 0 < 0, f (x) f (x 0 ) < 0. e quindi per il teorema di permanenza del segno f (x 0 ) = lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 0 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 67/ 121

68 Derivate prime e monotonia. se f è decrescente in I, allora f (x) f (x 0 ) x x 0 0, x, x 0 I in quanto se x > x 0 allora f (x) < f (x 0 ) e quindi x x 0 > 0, f (x) f (x 0 ) < 0; se x < x 0 allora f (x) > f (x 0 ) e quindi x x 0 < 0, f (x) f (x 0 ) > 0. e quindi per il teorema di permanenza del segno f (x 0 ) = lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 0 e quindi vista l arbitrarietà di x 0 è negativa in I. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 68/ 121

69 Derivate prime e monotonia, esercizio 1. Esercizio Mostrare che la funzione f (x) = x 3 è strettamente crescente in R. Svolgimento. Da f (x) = 3x 2 0 è crescente in R. Osserviamo che per ogni x 0 è strettamente crescente, in quanto f (x) = 3x 2 > 0 per x 0. Quindi siccome f (x) non è strettamente positiva al più in un insieme numerabile di punti, la funzione f (x) = x 3 è strettamente crescente in R. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 69/ 121

70 Derivate prime e monotonia, esercizio 2. Esercizio Determinare dove è crescente o decrescente f (x) = e x x. Svolgimento. Da f (x) = e x 1, essendo il logaritmo una funzione crescente, e x 1 > 0 e x > 1 x > log(1) = 0, e quindi è strettamente crescente per x > 0, altrimenti strettamente decrescente. Si deduce che x = 0 è un punto di minimo. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 70/ 121

71 Derivate prime e monotonia, esercizio Figura : Il grafico di e x x in [ 2, 2]. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 71/ 121

72 Derivate prime e monotonia, esercizio 3. Esercizio Determinare dove è crescente o decrescente f (x) x2 +1 x+1. Svolgimento. Osserviamo per prima cosa che il dominio della funzione è D = R\{ 1} e che in D la funzione è continua. Da f (x) = 2x (x + 1) (x 2 + 1) 1 (x + 1) 2 = x 2 + 2x 1 (x + 1) 2, visto che il denominatore è sempre positivo in D, f (x) > 0 per x D se e solo se x 2 + 2x 1 > 0. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 72/ 121

73 Derivate prime e monotonia, esercizio 3. Vediamo quindi quando x 2 + 2x 1 > 0. Visto che x 2 + 2x 1 = 0 se e solo se x = ( 2 ± 4 + 4)/2 cioè x = 1 ± 2. Considerato che x 1 = 1 2 = , x 2 = = deduciamo che f (x) > 0, cioè strettamente crescente, se e solo se x (, 1 2) (1 + 2, + ), f (x) = 0 in x 1 = 1 2, x 2 = 1 + 2, negli altri punti di D, cioè x ( 1 2, 1 + 2)\{ 1}, abbiamo f (x) < 0, cioè strettamente decrescente. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 73/ 121

74 Derivate prime e monotonia, esercizio Figura : Il grafico di (x 2 + 1)/(x + 1) in [ 4, 4]. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 74/ 121

75 Derivate prime e monotonia, esempio. Teorema Supponiamo I sia un intervallo, f : I R continua. Allora è invertibile in Im(f ) se e soltanto se è strettamente monotona. Esempio La funzione f (x) = x 3 1 : R R è continua, strettamente monotona (lo è x 3 e quindi anche x 3 1). Quindi è invertibile. In effetti f 1 (y) = 3 y + 1. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 75/ 121

76 Derivate prime e monotonia, esercizio. Esempio Data f (x) = x + sin (x), dimostrare che f è invertibile; calcolare (f 1 ) ( 3π 2 1). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 76/ 121

77 Asintoti orizzontali. Definizione (Asintoto orizzontale) La retta y = y 0 è un asintoto orizzontale per f a + se lim x + f (x) = y 0. Definizione (Asintoto verticale) La retta y = y 0 è un asintoto orizzontale per f a se lim x f (x) = y 0. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 77/ 121

78 Asintoti verticali. Definizione (Asintoto verticale per f a sinistra di x 0 ) La retta x = x 0 è un asintoto verticale per f a sinistra di x 0 se lim x x f (x) = + o lim 0 x x f (x) =. 0 Definizione (Asintoto verticale per f a destra di x 0 ) La retta x = x 0 è un asintoto verticale per f a destra di x 0 se lim x x + f (x) = + o lim 0 x x + f (x) =. 0 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 78/ 121

79 Asintoti obliqui. Definizione (Asintoto obliquo a + ) La retta y = mx + q (m 0) è in asintoto obliquo per f a + se e f (x) lim = m x + x lim f (x) mx = q. x + Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 79/ 121

80 Asintoti obliqui. Definizione (Asintoto obliquo a ) La retta y = mx + q (m 0) è in asintoto obliquo per f a se e f (x) lim = m x x lim f (x) mx = q. x Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 80/ 121

81 Asintoti. 10 x x Figura : Il grafico di tre curve e loro asintoti. In alto, 1/x (in blue) e y = 0 (in verde). La curva ha un asintoto verticale in 0 e un asintoto orizzontale y = 0 a +. In centro, (x + 1)/x (in blue) e y = 1 (in verde). La curva ha un asintoto verticale in 0 e un asintoto orizzontale y = 1 a +. In basso, x (in blue) e y = x (in verde). La curva ha un asintoto obliquo y = x a +. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 81/ 121

82 Asintoti, esempio. Esempio Si determinino i possibili asintoti della funzione f (x) = x Svolgimento. Si osservi che la funzione è continua in [0, + ) e quindi non ha asintoti verticali. Inoltre x = + lim x + e quindi è possibile abbia un asintoto obliquo a +. Non ha asintoto orizzontale, altrimenti il limite sarebbe finito. Se esiste un asintoto obliquo y = mx + q, allora esiste finito m = lim x + x x Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 82/ 121

83 Asintoti, esempio. Raccogliendo x, m = lim x + Ora, razionalizzando x x x 1 + (1/x = lim 2 ) = 1. x + x q = lim x x = x + = lim x + x x 2 x x = x lim ( x x) x x + x x 1 x x = 0. lim x + Quindi y = x è un asintoto obliquo per f (x) = x a +. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 83/ 121

84 Derivate successive (di ordine superiore). Definizione (Derivata seconda) Sia f : I R, con I intervallo di R. Supponiamo che esista f e sia derivabile in I. La funzione f = (f ) si chiama derivata seconda di f. Nota. A volte si scrive f = d 2 dx 2 f x = d 2 dx 2 f (x). In alternativa si pone f (2) = f Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 84/ 121

85 Derivate successive (di ordine superiore). Definizione (Derivata k-sima) Sia f : I R, con I intervallo di R. Supponiamo che f (k 1) esista, f (k 1) sia derivabile in I, per k 2. La funzione f (k) = (f (k 1) ) si chiama derivata k-sima di f. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 85/ 121

86 Derivate successive (di ordine superiore), esercizio. Esercizio Calcolare le derivate successive di f (x) = x n. Svolgimento. f (2) (x) = 0 se n = 0, altrimenti f (1) (x) = nx n 1 ; f (2) (x) = 0 se n 1, altrimenti f (2) (x) = n(n 1)x n 2 ; f (3) (x) = 0 se n 2, altrimenti f (3) (x) = n(n 1)(n 2)x n 3 ; f (k) (x) = 0 se n k 1, altrimenti f (k) (x) = n(n 1)(n 2)... (n k + 1)x n k ; Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 86/ 121

87 Derivate successive (di ordine superiore), esercizio. Esercizio Calcolare le derivate successive di f (x) = sin(x). Svolgimento. f (1) (x) = cos(x); f (2) (x) = sin(x); f (3) (x) = cos(x); f (4) (x) = sin(x);...; Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 87/ 121

88 Funzioni convesse e funzioni concave. Definizione (Funzione convessa) Sia f : I R con I intervallo. Diremo che f è convessa se per ogni x, y I, t [0, 1] si ha f ((1 t)x + ty) (1 t)f (x) + tf (y). Definizione (Funzione concava) Sia f : I R con I intervallo. Diremo che f è concava se per ogni x, y I, t [0, 1] si ha f ((1 t)x + ty) (1 t)f (x) + tf (y). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 88/ 121

89 Funzioni convesse e funzioni concave. Definizione (Funzione strettamente convessa) Sia f : I R con I intervallo. Diremo che f è strettamente convessa se per ogni x, y I, t [0, 1] si ha f ((1 t)x + ty) < (1 t)f (x) + tf (y). Definizione (Funzione strettamente concava) Sia f : I R con I intervallo. Diremo che f è strettamente concava se per ogni x, y I, t [0, 1] si ha f ((1 t)x + ty) > (1 t)f (x) + tf (y). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 89/ 121

90 Funzioni convesse e funzioni concave Figura : Il grafico di una funzione convessa (in nero, sopra) e il grafico di una funzione concava (in nero, sotto). In entrambe, il segmento che unisce due punti del grafico. In un caso è sopra la curva, nell altro è sotto. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 90/ 121

91 Funzioni convesse e funzioni concave. Teorema Sia f : I R, con I chiuso. Se f è concava o convessa, allora f è continua in I. Teorema Sia f : I R, con I chiuso. Se f è convessa, allora f è derivabile nell interno di I a meno di un insieme finito o numerabile di punti X ; la funzione f, ove definita, è monotona crescente. Se f è concava, allora f è derivabile nell interno di I a meno di un insieme finito o numerabile di punti X ; la funzione f, ove definita, è monotona decrescente. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 91/ 121

92 Funzioni convesse e funzioni concave. Teorema Sia f : I R, con I aperto. Si supponga f, f : I R. Allora: f è convessa se e solo se f (x) 0, per ogni x I ; f è strettamente convessa se e solo se f (x) > 0, per ogni x I ; f è concava se e solo se f (x) 0, per ogni x I ; f è strettamente concava se e solo se f (x) < 0, per ogni x I ; Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 92/ 121

93 Funzioni convesse e funzioni concave: flessi. Definizione (Flesso) Sia f : (a, b) R. Un punto x 0 (a, b) si dice di flesso per f se Teorema f (x 0 ) R per ogni intorno arbitrariamente piccolo di x 0, la funzione f cambia concavità. Sia f : (a, b) R. Supponiamo f sia derivabile due volte in (a, b) e x 0 (a, b) sia di flesso. Allora f (2) (x 0 ) = 0. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 93/ 121

94 Funzioni convesse e funzioni concave: flessi Figura : La funzione x 5 in [ 1, 1] (in alto) e la sua derivata (in basso). Evidentemente ha un punto di flesso in x 0 = 0. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 94/ 121

95 Funzioni convesse e funzioni concave: nota. Teorema Se f : (a, b) R è strettamente convessa e derivabile in (a, b) allora ha al più un punto stazionario e questo sarà un minimo globale. Teorema Se f : (a, b) R è strettamente concava e derivabile in (a, b) allora ha al più un punto stazionario e questo sarà un massimo globale. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 95/ 121

96 Funzioni convesse e funzioni concave: esempio. Esempio La funzione f (x) = e x è derivabile due volte ed è f (2) (x) = e x > 0. Quindi è strettamente convessa in R. Esempio La funzione f (x) = log(x) è derivabile due volte ed è f (2) (x) = (1/x 2 ) < 0. Quindi è strettamente concava nel suo insieme di definizione R + \0. Esempio Dire dove, al variare di α R, la funzione f (x) = x α, è derivabile due volte, stabilendone la concavità o convessità. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 96/ 121

97 Teorema di de l Hopital. Teorema (de l Hopital (1696)) Siano f, g : I R R, con I = (a, b) intervallo aperto. Si supponga che f, g siano entrambe derivabili in I ; valga una delle seguenti 1 lim x a + f (x) = lim x a + g(x) = 0; 2 lim x a + f (x) = lim x a + g(x) = ; 3 lim x a + f (x) = lim x a + g(x) = + ; sia lim f (x) x a + g (x) = L, L R. Allora f (x) lim x a + g(x) = L. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 97/ 121

98 Teorema di de l Hopital. Dimostrazione facoltativa. Mostriamo esclusivamente il caso lim x a + f (x) = lim x a + g(x) = 0. Siano Le funzioni ˆf, ĝ sono continue in [a, b); derivabili in (a, b); { f (x), x (a, b) ˆf (x) = 0, x = a. { g(x), x (a, b) ĝ(x) = 0, x = a. lim x a + f (x) g(x) = lim x a + ˆf (x) ĝ(x) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 98/ 121

99 Teorema di de l Hopital. Osserviamo che ˆf (x) ĝ(x) = ˆf (x) 0 ĝ(x) 0 = ˆf (x) ˆf (a) ĝ(x) ĝ(x). Fissato x [a, b), si ha che ˆf (x), ĝ(x) sono continue in [a, x] e derivabili in (a, x). Dal teorema di Cauchy, esiste ξ(x) (a, x) tale che ˆf (x) ˆf (a) ĝ(x) ĝ(a) = ˆf (ξ(x)) ĝ (ξ(x)) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 99/ 121

100 Teorema di de l Hopital. Quindi f (x) lim x a + g(x) = ˆf (x) lim x a + ĝ(x) = ˆf (x) ˆf (a) lim x a + ĝ(x) ĝ(a) = lim ˆf (ξ(x)) x a + ĝ (ξ(x)). (1) Osserviamo ora che se x a +, pure ξ(x) a + poichè ˆf ξ(x) (a, x). Inoltre lim (t) t a + ĝ (t) = lim t a f (t) + g (t). Posto t = ξ(x), si ha quindi che t a + da cui f (x) lim x a + g(x) = lim x a + ˆf (ξ(x)) ĝ (ξ(x)) = lim t a + ˆf (t) ĝ (t) = lim t a + f (t) g (t). come volevasi dimostrare. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 100/ 121

101 Teorema di de l Hopital, esempio. Esempio Calcolare 1 cos 2 (x) lim x 0 x Svolgimento. E una forma indeterminata del tipo 0/0. Usando la regola de l Hopital 1 cos(x) sin(x) cos(x) lim x 0 x 2 = lim = lim = 1 x 0 2x x (2) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 101/ 121

102 Esercizi Esercizi Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 102/ 121

103 Derivata, esercizio Esercizio Mostrare che la derivata prima di log(x) in x 0 > 0 vale 1/x 0. Traccia. Ricordiamo che Dalle proprietà dei logaritmi log(1 + y) lim 1. y 0 y log(x + h) log(x) h = = log((x + h)/x) h log(1 + (h/x)) 1/x (h/x)x Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 103/ 121

104 Derivazione: esercizi Esercizio Calcolare le derivate di f (x) = a sin (x) ; ( ) f (x) = cos x+1 x 3 +2 f (x) = sin(x)+e1/x + log(x); x 2 cos(x) f (x) = x x (nota che f (x) x x x 1 )!! f (x) = (tan(x)) x/(x+1) ; Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 104/ 121

105 Esercizi di ricapitolazione. Esercizio La funzione f (x) = 1 x è ovunque derivabile nel suo dominio? La funzione f (x) = 3 x è ovunque derivabile? Mostrare, conoscendo l algebra dei limiti, teoremi e le principali derivate, che se f (x) = 1/ sin(x) allora f (x) = cos(x)/ sin 2 (x); f (x) = 3x 2 + e x sin(x) + (1/log(x)) allora f (x) = 6x + e x sin(x) + e x cos(x) 1/(x(log(x)) 2 ); f (x) = sin(x 2 ) allora f (x) = 2x cos(x 2 ); f (x) = e x allora f (x) = e x ; f (x) = sinh(x) = (e x e x )/2 allora f (x) = cosh(x) = (e x + e x )/2; f (x) = cosh(x) = (e x + e x )/2 allora f (x) = sinh(x) = (e x e x )/2; f (x) = 2 log(cos(x 2 )) allora f (x) = 4x sin(x 2 ) cos(x 2 ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 105/ 121

106 Esercizi di ricapitolazione. Esercizio Mostrare, conoscendo l algebra dei limiti, teoremi e le principali derivate, che f (x) = x x allora f (x) = x x (log(x) + 1) (sugg. f (x) g (x) = e g(x) log(f (x)) ); f (x) = (sin(x)) sin(x) + sin(sin(x)) allora f (x) = (sin(x)) sin(x) (cos(x) log(sin(x))+cos(x))+cos(sin(x)) cos(x); f (x) = arccos(x) allora f (x) = 1/(1 x 2 ) 1/2 se x ( 1, 1); f (x) = arctan(x) allora f (x) = 1/(1 + x 2 ) 1/2 ; g(x) = sinh(x), la sua inversa è f (y) = settsenh(y) e allora f (y) = 1/ 1 + y 2 (sugg. se y = sinh(x) allora cosh(x) = 1 + y 2 ); g(x) = cosh(x), la sua inversa è f (y) = settcosh(y) e allora f (y) = 1/ Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci 1 e Alvise + ysommariva 2. Introduzione 106/ 121

107 Esercizi di ricapitolazione. Esercizio Mostrare che sin(x) è continua ma non è derivabile in x = kπ, per k Z. Esercizio Dire in quali punti sono continue e/o derivabili le seguenti funzioni f (x) = x 3 ; e x 1 ; f (x) = { 1 + x 2, se x 0 (1 + x 2 ), se x < 0 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 107/ 121

108 Massimi e minimi relativi e zeri di f. Esercizi. Esercizio Calcolare i punti critici, massimi e minimi relativi e assoluti, di { x 2 1, se x 1 f (x) = (x 1) sin( 1 x 1 ), se x > 1 Esercizio Calcolare, al variare di β, γ, i punti critici, massimi e minimi relativi e assoluti, di { βx + γ, se x < π f (x) = sin(αx), se x π Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 108/ 121

109 Massimi e minimi relativi e zeri di f. Esercizi. Esercizio Calcolare, al variare di α, β, i punti critici, massimi e minimi relativi e assoluti, di { αx 2 + β, se x 0 f (x) = e 3x2 x 3 +x, se x > 0 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 109/ 121

110 Esercizi di ricapitolazione. Asintoti obliqui. Esercizio Calcolare i possibili asintoti di f (x) = log( e x 4 ) arctan(e x 5) log(4). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 110/ 121

111 Esercizi di ricapitolazione. Asintoti obliqui Figura : In alto. La funzione log( e x 4 ) arctan(e x 5) log(4) in [ 10, 10]. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 111/ 121

112 Esercizi di ricapitolazione. Teorema di de l Hopital. Esercizio Usando il Teorema de L Hopital, calcolare lim x 0 sin(x)/x; lim x 0 + e 1/x2 x = 0; lim x 0 (e x 1)/x; lim x 0 e x3 /(x 4 +x) cos(x) sin(x)(tan(x)) lim x 0 sin(x)+cos(x) e x (1/(x+1)) 1 = 2; lim x 0 e x (1+x+(1/2)x 2 ) x 2 lim x 0 x sin(x) x 3 lim x 0 + x 3/2 log(sin(x)) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 112/ 121

113 Studi di funzione, esercizio 1. Esercizio Sia Determinare il dominio di f ; f (x) = x 2 + x + 1 2x 1. determinare dove f è continua; determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti); determinare dove f è derivabile e calcolare f ; determinare gli intervalli di monotonia della funzione e eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 113/ 121

114 Studi di funzione, esercizio 2. Esercizio Sia Determinare il dominio di f ; ( ) x + 4 f (x) = log (x + 1) 2. determinare dove f è continua; determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti); determinare dove f è derivabile e calcolare f ; determinare gli intervalli di monotonia della funzione e eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 114/ 121

115 Studi di funzione, esercizio 3. Esercizio Sia Determinare il dominio di f ; f (x) = x + 2 e 1 (x+2). x determinare dove f è continua; determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti); determinare dove f è derivabile e calcolare f ; determinare gli intervalli di monotonia della funzione e eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 115/ 121

116 Studio di funzione: esercizio 4. Esercizio Sia f (x) = arcsin(x 2 4 x + 3). Si determini il dominio di f ; dove è positiva determinare dove f è continua; determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti); determinare dove f è derivabile e calcolare f ; determinare gli intervalli di monotonia della funzione e eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto. dove è concava o convessa. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 116/ 121

117 Studio di funzione: esercizio 5. Esercizio Sia f (x) = x log(x). Si determini il dominio di f ; dove è positiva determinare dove f è continua; determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti); determinare dove f è derivabile e calcolare f ; determinare gli intervalli di monotonia della funzione e eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto. dove è concava o convessa. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 117/ 121

118 Studio di funzione: esercizio 6. Esercizio Sia f (x) = 3 1/ sin(x). Si determini il dominio di f ; dove è positiva determinare dove f è continua; determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti); determinare dove f è derivabile e calcolare f ; determinare gli intervalli di monotonia della funzione e eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto. dove è concava o convessa. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 118/ 121

119 Studio di funzione: esercizio 7. Esercizio Sia f (x) = log(e x + e x ) + x. Si determini il dominio di f ; dove è positiva determinare dove f è continua; determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti); determinare dove f è derivabile e calcolare f ; determinare gli intervalli di monotonia della funzione e eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto. dove è concava o convessa. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 119/ 121

120 Studio di funzione: esercizio 8. Esercizio Sia Si determini il dominio di f ; dove è positiva f (x) = arcsin determinare dove f è continua; ( ) x 1. x + 3 determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti); determinare dove f è derivabile e calcolare f ; determinare gli intervalli di monotonia della funzione e eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto. dove è concava o convessa. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 120/ 121

121 Esercizi di ricapitolazione. Studi di funzione Esercizio Studiare le seguenti funzioni, al variare di α > 0, β R { e x 1 f (x) = x se x > 0 α 1 + βx + x 2 se x 0 { 1 cos(x α ) se x > 0 f (x) = x 2 β + x 2 se x 0 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 121/ 121