1. GRADO DI UN SISTEMA. METODI GENERALI DI RISOLUZIONE

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1 8 SISTEMI DI GRADO SUPERIORE AL. GRADO DI UN SISTEMA. METODI GENERALI DI RISOLUZIONE Si dice grado di un sistema il prodotto fra i gradi delle sue equaioni. + y ( grado) + y ( grado) sistema di 6 grado y ( grado) + ( grado) sistema di grado 6 ( grado) Va detto che a volte un sistema appare di grado n mentre in realtà il vero grado è inferiore. Ad esempio il sistema seguente: y 8 + y appare di grado ma un semplice passaggio mostra che è invece sostanialmente di grado. + y y 8 + y ( y) 8 + y y + y La problematicità dato un sistema di stabilire a priori quale sia il suo grado effettivo rende ardua l enunciaione per i sistemi di un teorema analogo a quello che è per le equaioni il Teorema Fondamentale dell Algebra. E possibile comunque affermare che un sistema di grado n non può avere più di n soluioni (eccettuati i casi in cui il sistema risulti indeterminato). E chiaro che questo discorso sul grado si può riferire esclusivamente a quei sistemi nei quali le equaioni in gioco sono tutte algebriche (ossia della forma polinomio ). Importante tener presente che quando si dice SOLUZIONE con riferimento a un sistema si intende: una COPPIA ORDINATA di numeri se il sistema ha due incognite; una TERNA ORDINATA di numeri se il sistema ha tre incognite; ecc. Il metodo più generale per la risoluione di un sistema è quello di sostituione; è possibile comunque applicare anche riduione ossia rimpiaare un equaione quando lo si ritenga conveniente con una combinaione lineare (NOTA) dell equaione stessa con una o più fra le altre. NOTA: combinaione lineare di due o più oggetti matematici (equaioni vettori ) è ciò che si ottiene sommandoli algebricamente dopo aver eventualmente moltiplicato ciascuno di essi per una costante numerica. Vedremo ora un paio di ESEMPI. Comunque lo vuoi un CONSIGLIO DA AMICO? DAVVERO UTILISSIMO? ALLA FINE della risoluione di un sistema FAI SEMPRE LA VERIFICA sostituendo nel sistema iniiale al posto delle singole incognite i valori rispettivamente trovati per controllare se TUTTE le uguagliane sono esatte. Metodo comodo rapido efficace per essere certi di aver fatto giusto o per scoprire che c è l errore!!!

2 9 y + y y+ ; ) y y y y ; ; 9 6 y y y + y+ y y + ± 9+ ± 6 ± 8 6 ; y + y y y y y / Il sistema assegnato che era di grado ammette dunque le soluioni: e y y / ) Il passaggio in cui si isola y è effettuabile solo supponendo ; y ( ) d ' altra parte una coppia ( y ) con non potrebbe verificare + y la condiione y quindi non potrebbe essere solu. del sistema y + 9 ; ; 9 ; 9 ; y ± ± ± 9 ± ( ) 9 9 ± ± y y y y ESERCIZI (sistemi di grado superiore al ) Vai alle correioni dei n. 9 y 8 + y + y ) ) ) + y y + + y + y + y 6 y 8) 9) ( )( + ) y + y 8 y+ 6 ) + y + y + y 9 ) y y y ) ) + y a( a ) 6 ) y y 6) ± ) y / ) 8) 9) y y / y y y ) y y a a ) y a + a y y+ y+ (sottrarre innanitutto membro a membro) y k + y k y 6 k + ) y k ) ) ) 6) Imp. (in ) ) y ) y + + y 88 y + y+ + y + y y b + ay ab + y a+ b / y / ( ) a b a a + a b b b a b y a+ b ( )

3 . SISTEMI SIMMETRICI Un sistema della forma + y s y p vien detto SISTEMA SIMMETRICO FONDAMENTALE. Eccone un esempio: + y y Si potrebbe tranquillamente risolvere per sostituione; tuttavia si osserva che il sistema richiede di trovare due numeri conoscendone la somma e il prodotto ( s p ) per cui volendo si può anche scegliere di determinare i due numeri in gioco impostando (vedi pag. 6) l equaione ausiliaria t st+ p (nella fattispecie t t ) e risolvendola. Le due soluioni che si troveranno saranno appunto i due numeri cercati. Nel nostro caso avremo t t t ± + ± quindi le soluioni del sistema saranno + + (con scrittura compatta: ± ) Osservaione: il sistema è simmetrico nel senso che in esso e y sono intercambiabili. Un sistema di equaioni in incognite si dice simmetrico ogniqualvolta si constati che il sistema resta invariato se si scambia formalmente la con la y ( se si rimpiaa ovunque con y e y a sua volta con ). Facciamo un altro esempio di sistema simmetrico. Prendiamo il sistema seguente: y+ y + y Se andiamo a scambiare formalmente con y ( y ) il sistema si muta in y y+ + che coincide ancora col sistema di partena! E evidente che se un sistema simmetrico ammette una data soluione α y β allora necessariamente ammetterà anche la soluione gemella β y α. Altre tipologie di sistemi simmetrici notevoli sono illustrate dagli esempi seguenti. Per ciascuna tipologia viene presentata una tecnica di risoluione specifica che risulta più rapida rispetto al (pur sempre applicabile) metodo di sostituione.

4 ) + y (trovare due numeri conoscendo la loro somma e la somma dei loro quadrati) + y + y + y + y ( + y) y y y ; y 8; y Dunque applicando la più semplice fra le cosiddette" for mule di Waring"( pag.6) ci siamo ricondotti al sistema simmetrico fondamentale + y y che possiamo risolvere ad esempiocon la tecnica appresa dell ' equaione ausiliaria oppure data la semplicità dei numeri in gioco anche " amente": y 6 ) (trovare due numeri conoscendo il loro prodotto e la somma dei loro quadrati) + y 69 y 6 y 6 ( + y) y 69 ( + y) 69; ( + y) 89; + y ± Ci siamo ricondotti dunque alla coppia di sistemi simmetrici fondamentali y 6 y 6 ; + y + y che possiamo risolvere con la tecnica specifica o anche " a mente" ottenendo ; ESERCIZI (sistemi simmetrici) Vai alle correioni dei n. 9 6 ) + y ) + y 8 + y + y ) 6 + y + y ( ) + y 6) ) + y + y ( ) 6 y y 8 y 6 y + y + y 8) 9) + ) y 8 + ) y + ) 6 y + y y y a y a + y (formule ) + y ( a + b ) ) ) + di Waring 6) + y y a a+ + y pag. 6 ) + y ) y y ) 8 y y 8 ) 6) imp. (in ) ) y y 8) y y y y 9) y y ) y y + + ) ) y y y y 8 8 ) a± b y a b ) a a y a y y y a ) + + 6) / y /

5 . SISTEMI DI GRADO SUPERIORE AL CON TRE O PIU INCOGNITE ) + y+ y y + + y y + isolo un' incognita dall ' equaione più semplice y + + y + e vado poi a sostituire nelle altre due equaioni... ( y+ ) y+ ( y+ ) + y y+ y +... le quali formeranno un " sotto sistema" + y + y + + y y + y + con un' incognita in meno y+ y dopodiché risolvo per sostituione il sotto sistema y + + y y y y+ y y 9y y+ 9y y + + ; y+ y 8y + y 9 ; ; + y y y ; y ± y y y y + y+ + y+ + y y Ma ecco una variante più efficace del procedimento risolutivo: + y+ y y + + y y + isolo un' incognita da una delle equaioni più semplici y + + y + e sostituisco nell ' altra equaione semplice y + + y non toccando per ora l ' equaione più complicata y +... lavoro sempre sulle prime due equaion iconlobiettivo ' y + di esprimere due delle incognite in funione dell ' incognita rimanente... y + + y y+ y y + + y y y y+ y y y + y + y + + y

6 y y e solo dopo aver raggiunto questo obiettivo sostituisco nella tera equaione ottenendo direttamente un' equaione con una sola incognita y y y y y y y y+ y y y y+ + y ; + + ;... y ± y y y y + y y + cioè y y ESERCIZI Vai alle correioni degli esercii dispari fino al ) Vuoi un CONSIGLIO DA AMICO? DAVVERO UTILISSIMO? Alla fine della risoluione di un sistema FAI SEMPRE LA VERIFICA sostituendo nel sistema iniiale al posto delle singole incognite i valori rispettivamente trovati. TUTTE le equaioni dovranno trasformarsi in uguagliane vere altrimenti c è qualcosa che non va. ) + y y + + y ) + y+ t t + t y+ 6 ) + y+ y + y 6 y + y 6) + + y ) y 8) + y y + y 9 ( ) + ( + ) + y ) 9) y y y 8 + y+ + t y + t y + t y + t ) y + y+ y y 6 ) y y+ 6 + y ) + y y t t y ) + y 9 y / y y+ 6 + y+ 9 a b ) + y + ) ( + ) 6) a c + ) + y+ + y + y + + a b c ) y y 6) ) ) / y 9/ y ) / y y 9 ) ) y y ) y t y y 9 9 y y / y / y 9/ ) 8) ) y y t t 6) a a b b c c y t + y+ t + y + + y+ t 6 y y y y ) ) 8) ) 9) ab + cd + a+ b c a b + c a b d y / y y / / t t / y y y y y y t t 8) a a b b c c d d

7 . SISTEMI RISOLUBILI CON ARTIFICI VARI O FATTORIZZAZIONI ) y + y 6y 6 + La prima equaione è caratteriata dal blocco y. Poniamo dunque y e determineremo i valori di y. y y y y ; ± y y y + y y y ; ± + ± + y + + Le soluioni reali del sistema dato sono dunque le tre coppie : ± ( ) soluione " doppia" ; ( ); ( + + ) y y +... y imp. in ) + y+ y + y y ) Questo è un sistema nel quale è possibile far comparire esclusivamente i due blocchi + y y + y + y ( y) y + + y ( + y) y ( + y) y + y 6y + y + y y + y y + y y + y s s p s p y p s p ( p ) p / ( p p+ ) p ;... p p p / s p s p /6 /6 y y / + y + y / 6 y ± y y y Se fattoriiamo il primo membro + + y della prima equaione potremo speare il sistema dato ( + y)( y) in una coppia di sistemi più semplici. + + y + y y + + y + + y y y y y+ y ; y 6 y + y+ y y y y ± 6 y y y 6 y 6 y y 6 y 6 y 6 y y ESERCIZI Correioni + y + ) y + + y y + y+ a ) y ( y + ) y + y 6) + y y + y 6 ) y 6 y 8 ) y y a+ ( a )/ ) y a y (a+ 6) / a (a+ 9)/ 6) ± ± ± 6 ) y y y / 6 y 6 y y 6 / / /

8 . ESERCIZI SUI SISTEMI DI GRADO SUP. AL Correioni (numeri dispari) ( y ) + y y+ a+ b 8) 9) ) ) + y y+ y ( + y) ( y) + a + ab+ b 8 ) y u v+ + v a y+ ) ) b ) ( ) y v u a a b b y + + y / + y + 6) ) 8) y + y y 6 9) y / y 6y y + y + y y + y ) ) + ) ) y + y + y 6/ + y + y+ a+ b+ c y ab + ) y + ) a c 6) y ) ac y 9 ab + ac + bc + y bc a+ b+ c y y 8) 9) ( + y ) 6y y y + y / + / y 6 ) ) + y + y y + y / + / y 8 + y 6 y + y 9 y t ) ) y ) ) 6) y + y 6 9 y 9 y t + y + y+ 9 + y + + y ) 8) 9) ( y)( y) y ) y + y + + y + y 6 + y ) Una radice quadrata del numero complesso a+ bi è un altro numero complesso c+ di tale che ( c+ di) a+ bi. Ma l uguagliana ( c+ di) a+ bi equivale a c d+ cdi a+ bi e sarà dunque verificata qualora i due coefficienti REALI cd soddisfino il sistema c d a. cd b Ciò premesso determina le radici quadrate di: I) 8 96i II) + i (troverai valori brutti! ) 8 8) ( ) ) NON ACC. 6) ) ± 9) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ) ± ( ) ) ( ) 8) / / ) ( / ) ( / ) ( / ) ( /) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 6) 8) ( ) ( ) 9) ( ) ( ) ) ( ) ( ) () 6) ) ( ) 8) 8 ( ) ) ) ( 6) ( 6) ) ) ( ) ( ) ( ) 9) impossibile (in ) ) ( ) ( ) ) ( ) ± ) 6 ) ( ) ) I) 8 6 i 8 + 6i ± da cui ± ± 9) y ± 8 ) II) + + i ± soluioni ( ± ± ) + i Problemi geometrici da risolvere con un sistema di grado superiore al primo: pagine 6 e