Lezione 3: Ancora sui vettori

Transcript

1 Lezione : Ancora sui vettori Norma Abbiamo detto che uno degli elementi che contraddistinguono un vettore è la sua lunghezza. Allora incominciamo a vedere i vantaggi della rappresentazione dei vettori usando le coordinate e usiamole per determinare la lunghezza ( di un dato vettore. x Se prendiamo un qualsiasi vettore del piano u = quanto varrà la sua lunghez- y za? y 0 v P=(x 0,y 0 O x 0 Figura 6: Quanto vale la lunghezza di questo vettore? Semplicemente sarà uguale alla distanza del punto P dall origine: lunghezza di u = dist (O, (x, y = x + y. Questa quantità nel linguaggio degli spazi vettoriali si chiama norma del vettore (e noi da ora in poi la chiameremo così e si indica con u (norma del vettore u Esempio 0 Se u = ( u = x y = x + y. (, allora u = 9 + = 0. È chiaro quindi che in modo del tutto analogo possiamo definire la norma di un vettore dello spazio u = OP, che non sarà altro che la lunghezza del segmento OP e quindi la distanza del punto P dall origine: 4

2 Lezione 5 x Se u è un vettore dello spazio, quindi u = y, la sua norma (la sua lunghezza è z x u = y = z Esempio La norma del vettore u = x + y + z. è data da u = = 6. Questa quantità appena definita per i vettori del piano e dello spazio (la norma verifica le seguenti proprietà: Proprietà della norma: u 0 per tutti i vettori u; u = 0 se e soltanto se u = 0 (vettore nullo; λu = λ u per tutti i vettori u e per qualsiasi numero reale λ; 4 u + v u + v (questa si chiama disuguaglianza triangolare. Le prime due proprietà sono evidenti se pensiamo alla definizione in termini delle componenti, ma sono anche ovvie se pensiamo al significato della norma. La proprietà dice che la lunghezza è un numero positivo e la dice che l unico vettore che ha lunghezza nulla è il vettore nullo, ciò quello che degenera in un punto. Proviamo a verificare la proprietà nel caso dei vettori del piano (per i vettori dello spazio la verifica è ovviamente del tutto analoga: ( λu = λx = (λx λy + (λy = λ (x + y = λ x + y = λ u. Notate che nel far uscire λ dalla radice abbiamo avuto l accortezza di mettere il modulo ( λ = λ. Per ciò che riguarda la proprietà 4, la si può verificare graficamente: lungo v v u+v lungo u u lungo v+u Figura 7: Disuguaglianza triangolare con i tre vettori u + v, u e v si può costruire un triangolo. La disuguaglianza triangolare ( triangolare appunto! dice semplicemente che in un triangolo la somma della lunghezza di due lati ( u + v è sempre maggiore della lunghezza del terzo

3 Lezione 6 lato ( u + v. E l uguaglianza c è solo se tutti i vettori sono paralleli (con lo stesso verso e il triangolo degenera in un segmento. Domanda: Come faccio a trovare un vettore parallelo al vettore u = che sia lungo (di norma? Se siamo fortunati, magari già u ha lunghezza. In quel caso sarebbe facile rispondere. Proviamo a calcolare la lunghezza di u: u = = 4. No! Siamo stati sfortunati, non ha lunghezza. E allora? Che si fa? Ma noi sappiamo modificare la lunghezza di un vettore lasciandone invariata la direzione. Basta moltiplicarlo per un scalare. Lo scalare giusto è ovviamente / 4, cosicchè il vettore risultante avrà lunghezza uguale a / 4 volte la lunghezza del vettore u, ossia. Il vettore che cercavamo è v = 4 u = ed è facile vericare (usando la definizione che questo vettore ha norma. Esercizio Trovare un vettore parallelo al vettore w = u v di lunghezza, dove ( u = ( 4 e v =. 6 Fate attenzione: questo esercizio non è più difficile di quelli che abbiamo fatto finora, semplicemente la domanda è meno diretta e per dare la risposta dobbiamo scomporla in domande intermedie alle quali sappiamo rispondere. Quindi il primo passo è determinare il vettore w. E questo lo sappiamo fare: ( w = ( 4 = 6 ( = (. Il secondo passo è quello di calcolarne la norma, per poter sapere come modificarlo per ottenere un vettore di lunghezza : w = quindi il vettore che cerchiamo è ( w = Definizione Un vettore di norma si chiama versore o vettore unitario. Le componenti di un versore si chiamano coseni direttori (se ci pensate...non sono niente altro che il coseno dell angolo che il versore forma rispettivamente con l asse x e con l asse y.

4 Lezione 7 ( Esempio 4 In E ci sono due versori speciali, e 0 ( 0. L insieme formato da questi due vettori, per un motivo che capiremo presto, si chiama base canonica di ( 5 E. Vi faccio notare che un qualsiasi vettore, diciamo, si può ottenere usando i due vettori della base canonica, ossia ( 5 ( ( 0 = ci torneremo. È chiaro che, analogamente, anche i vettori 0 0,, sono speciali (si dice che formano la base canonica di E. Prodotto scalare Introduciamo un altra importante operazione tra vettori. Questa operazione che tra poco definiremo associa a due vettori un numero (uno scalare, contrariamente alle due operazioni definite finora il cui risultato è un vettore. Cerchiamo di capire con un esempio quali possone essere delle motivazioni per introdurre questa nuova operazione. Pensiamo di avere una situazione in cui delle forze (dei vettori agiscono su un oggetto che però è soggetto a dei vincoli (cioè non è libero di muoversi in qualsiasi direzione. Se noi vogliamo descrivere come agiscono queste forze, dobbiamo tener conto che i vettori che le rappresentano vengono deviati dai vincoli. Cercherò di essere un po meno generica: Esempio 5 Se un oggetto di massa m viene lasciato in caduta libera, su questo agirà una forza F = mg diretta lungo la direzione verticale e di intensità pari alla norma di F ( F. Figura 8: caduta libera Ora se però questo stesso oggetto è poggiato su un piano inclinato la velocità con cui cadrà sarà minore (così come la forza che agisce su di lui. Su questo agirà una forza, F, diretta nella direzione obligata dal vincolo, cioè quella del piano inclinato, e con un intensità che dovrà dipendere dall inclinazione del piano (è chiaro a tutti che

5 Lezione 8 Figura 9: vincolo più il piano è inclinato più è difficile tener fermo l oggetto. Vorremmo sapere però come dedurre la norma di F conoscendo quella di F. Se chiamiamo u il versore nella direzione del vincolo e α l angolo che u ha con F, la forza risultante dall azione del vincolo sarà data dalla proiezione di F lungo la direzione u: Figura 0: forza risultante e quindi si avrà F = F cosα. Notate che questo è coerente con l esperienza comune a tutti che gli oggetti poggiati su piani orizzontali stanno fermi (l angolo α è di 90 gradi e quindi il coseno è zero. L operazione che vogliamo definire, e che servirà in tanti altri contesti, è quella che in questa situazione associa ai vettori F e u il valore F. Definizione 6 Dati due vettori u e v il prodotto scalare tra questi vettori ( u,v è dato da u,v = u v cosα dove 0 α π è l angolo tra i due vettori. Notazione: Una notazione alternativa molto usata per il prodotto scalare è u v. Quindi se di due vettori conosciamo la lunghezza e l angolo tra i due possiamo calcolarne il prodotto scalare. Un altro esempio notevole dell uso del prodotto scalare è il calcolo del lavoro di una forza durante uno spostamento. Come tutti dovreste sapere, il lavoro compiuto da una forza è pari alla forza per lo spostamento. Ebbene, il per in questa affermazione non è altro che il prodotto scalare tra i vettori forza e spostamento.

6 Lezione 9 NOTA: Se due vettori sono ortogonali (perpendicolari il loro prodotto scalare è uguale a zero. E viceversa se per qualche ragione potessimo stabilire che il prodotto scalare tra due vettori dati è uguale a zero, possiamo dedurre che questi sono ortogonali! Ma c è un modo alternativo per calcolare il prodotto scalare tra due vettori? Se, per esempio ne conosco le coordinate, ce un modo per calcolarlo direttamente senza bisogno di stabilire qual è l angolo tra i due? Il teorema che segue ci dice come si può calcolare il prodotto scalare tra due vettori usando le componenti. ( ( x x Teorema 7 Se u = e v = sono due vettori di E y y, allora il loro prodotto scalare è dato anche da u,v = x x + y y x x Analogamene se invece u = y e v = y sono due vettori di E il loro z z prodotto scalare è u,v = x x + y y + z z Proof. Facciamo la dimostrazione nel caso dei vettori del piano. Il caso dei vettori dello spazio si fa analogamente. ( ( x x Fissiamo due vettori v = e u =. Per fare la dimostrazione ci basta un disegno e il teorema di Pitagora. Ecco il disegno y y P h u-v O Q P l l Figura : In questa figura abbiamo scelto v = OP e u = OP. Guardate la figura. Il lato P P è l ipotenusa del triangolo P QP e quindi per il Teorema di Pitagora si ha h + l = u v. ( Ma l = u l, mentre h = v l (sempre per il Teorema di Pitagora. Allora possiamo sostituire nella formula ( e otteniamo u v = v l + ( u l = v + u l u ( (notare che l ultima identità si ottiene svolgendo il quadrato tra parentesi e semplificando i termini uguali. A questo punto possiamo scrivere l usando l ipotenusa del

7 Lezione 0 triangolo rettangolo P OP e l angolo α. Infatti, per definizione di cosα otteniamo che l = v cosα e quindi sostituendo in ( otteniamo ossia u v = v + u v u cosα (x x + (y y == x + y + x + y v,u,. Svolgendo i quadrati e semplificando i termini comuni (questo potete farlo da soli, si ottiene l identità richiesta, cioè v,u = x x + y y. L ho fatta lunga, ma questa è finalmente la fine della dimostrazione. ( Esempio 8., ( ( 0., = (., ( 6 = 0 ( = + 6 = 5 Domanda: cosa posso dire dell angolo tra i vettori di questo esempio conoscendo il loro prodotto scalare? Se mi ricordo come si definisce il prodotto scalare in termini delle norme e dell angolo compreso (ossia in termini geometrici, posso dedurre che se il prodotto scalare è positivo, negativo o nullo, tale sarà il coseno dell angolo tra i due vettori. Quindi nei tre casi l angolo sarà:. ACUTO (il coseno è positivo sugli angoli minori di 90 gradi. OTTUSO (il coseno è negativo sugli angoli maggiori di 90 gradi. RETTO!! (il coseno è nullo se l angolo è di 90 gradi Domanda: dato un vettore v come faccio a trovare un vettore ad esso ortogonale? Per il momento siamo in grado di dare una risposta a questa domanda se il vettore v è in un riferimento cartesiano del piano, mentre nel caso dello spazio il problema è evidentemente più complicato. È chiaro infatti che se assegno una direzione sul piano ci sarà una sola altra direzione ad essa ortogonale, mentre se sono nello spazio ci sono infinite direzioni ortogonali ad una data e quindi sarà meno facile caratterizzarle. In altri termini data una retta del piano c è una sola retta ad essa ortogonale, mentre nello spazio le rette ortogonali a una data retta sono infinite, tutte quelle appartenenti al piano ortogonale alla retta (ma questo lo vedremo poi... Torniamo all ortogonalità sul piano: Esempio 9 Prendiamo il vettore v = ( e cerchiamo un vettore u = ( x0 esso ortogonale. Se vogliamo che siano ortogonali dobbiamo imporre che il loro prodotto scalare sia nullo ( ( x0, = x 0 + y 0 = 0. y 0 y 0 ad

8 Lezione Cerco x 0 e y 0 in modo che questa equazione (lineare sia vericata, come faccio? Osservate: x 0 + y 0 = 0 x 0 = y 0 x 0 = y 0 quindi ho infinite soluzioni di questo problema, tutte le coppie del tipo ( y 0, y 0. Ogni volta che fisso a mio piacimento un valore per y 0 determino automaticamente x 0 in modo che sia verificata l equazione. Ma come?... avevamo detto che la soluzione (visto che siamo nel piano sarebbe stata unica! Ma osservate un altra cosa: tutte le coppie che troviamo sono tutte proporzionali, e quindi i vettori corrispondenti sono tutti paralleli (ricordate come agisce la moltiplicazione di un vettore per uno scalare? Non gli cambia la direzione, cambia solo lunghezza e eventuamente verso. Comunque... Per esempio possiamo scegliere y 0 = e otteniamo di conseguenza x 0 =. Quindi ( è ortogonale a ( Nota: Un modo facile per ottenere un vettore ortogonale a un dato vettore del piano è quello di invertire l ordine delle componenti e cambiare di segno una delle due. Attenzione: Non cercate di inventarvi un meccanismo simile per determinare un vettore ortogonale a uno dato nello spazio. So che è una tentazione, ma non funziona. ( Esempio 0 Determiniamo un vettore ortogonale al vettore. Invertiamo l ordine delle componenti e cambiamo di segno a una: per esempio, ma anche. 7 ( ( 7 7 Verifica: ( 7 ( 7 ( 7, = + = 0 Ok!, ( 7 = = 0 Ok! Facciamo un ultimo esempio: Esempio Calcoliamo il prodotto scalare tra i vettori dello spazio e 4 e poi ancora tra e 0. Si ha, 4 = = 0 e,! 0 = + = 0. Quindi i vettori 4 e 0 sono entrambi ortogonali al vettore, ma non è facile individuare cosa li caratterizza, cosa hanno in comune.,

9 Lezione Per concludere questa parte sul prodotto scalare vediamo quali proprietà verifica questa operazione: Proprietà del prodotto scalare u,u 0 per tutti i vettori u; u,u = 0 se e soltanto se u = 0 (vettore nullo; u, v = v, u (il prodotto scalare è simmetrico; 4 λu,v = λ u,v = u, λv ; 5 u,v + w = u,v + u,w. Tutte queste proprietà sono di verifica immediata usando la caratterizzazione del prodotto scalare in termini delle componenti. E altrettanto facilmente si verifica anche che u,u = u. Concludo facendovi notare, che se definisco, in analogia con quanto fatto finora, il prodotto scalare tra le quaterne (abbiamo detto che anche loro sono un esempio di spazio vettoriale come u v u u, v v = u v + u v + u v + u 4 v 4, u 4 v 4 anche questa operazione verifica le proprietà elencate sopra.