Note sui numeri complessi

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1 Note sui numeri complessi 1 Introduzione Queste note raccolgono alcune nozioni fondamentali sui numeri complessi. La trattazione non ha alcuna pretesa di completezza e si limita a richiamare gli elementi utili per la comprensione del testo nella maniera più semplice e funzionale possibile. Sinteticamente, i temi trattati sono: le forme e le rappresentazioni; le regole di calcolo; qualche proprietàdipolinomi, funzioni razionali ed equazioni polinomiali. 2 Definizioni preliminari e forma algebrica Un numero complesso z espresso in forma algebrica o cartesiana è definito dalla relazione z = a + jb 1 dove a e b sono numeri reali e j èl unità immaginaria definita dalla relazione j = 1 2 Si usa dire che a èlaparte reale di z, scrivendo a = Re z, eb èlaparte immaginaria omeglio il coefficiente dell unità immaginaria,scrivendo b = Im z. I numeri complessi possono essere rappresentati geometricamente sul piano complesso o di Gauss, cheèunpiano cartesiano ortogonale nel quale sull asse delle ascisse è riportata la parte reale e sull asse delle ordinate è riportata la parte immaginaria dei numeri stessi. Pertanto, gli assi sono detti, rispettivamene, asse reale e asse immaginario. Èchiaro che, sul piano complesso, al numero z corrispondono in modo biunivoco il punto P di ascissa a e ordinata b e anche il vettore OP spiccato dall origine O del piano e avente il secondo estremo in P. Inproposito, si veda la Figura 1. Facendo riferimento a tali rappresentazioni, si definisce modulo ρ di z, scrivendo ρ = z, ilmodulo di OP, cioèlaquantità non negativa ρ = a 2 + b 2

2 2 Note sui numeri complessi Figura 1 Numero complesso. Im b P OP ρ O θ a Re e argomento o fase o angolo θ di z, scrivendo θ = arg z, l angolo di OP. Quest ultimo èl angolo di cui occorre fare ruotare l asse delle ascisse perché la sua direzione e il suo verso coincidano con quelli di OP,edèassunto positivo se tale rotazione è antioraria. Per la verità, l angolo θ è definito a meno di multipli di un angolo giro, e allora, se si vogliono evitare ambiguità, si pone la limitazione 180 θ<180 se θ è misurato in gradi e π θ<π se θ è misurato in radianti, parlando così diargomento principale. Si osservi che l argomento del numero complesso z = 0 è indeterminato, mentre il suo modulo è nullo. Nessun altro numero complesso ha modulo nullo o argomento indeterminato. Nel caso in cui invece ρ>0: i numeri z con b = 0, che di fatto sono i reali, hanno argomento principale θ = 0, se a > 0, e θ = π, sea < 0; i numeri z con a = 0, detti anche immaginari puri, hanno argomento principale θ = π / 2, se b > 0, e θ = π / 2, se b < 0. Quando a = 0, l argomento di z si può facilmente esprimere facendo ricorso alla funzione arcotangente, indicata per un generico angolo ϕ con il simbolo arctan ϕ, che si suppone assuma valori compresi tra π / 2eπ / 2, come mostrato nella Figura 2 Funzione arcotangente arctanϕ ϕ

3 Note sui numeri complessi 3 Figura 2. Infatti risulta arctan b, a > 0 a arg z = arg a + jb = arctan b a + π,a < 0, b > 0 arctan b a π,a < 0, b < 0 Due numeri complessi sono uguali se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria, cioè se hanno lo stesso modulo e le fasi differiscono di un multiplo dell angolo giro; si dicono diversi in caso contrario. Per l uguaglianza valgono le usuali proprietà. È importante notare che per i numeri complessi non si definiscono relazioni d ordine, cioè per due numeri z 1 e z 2 le formule z 1 < z 2 e z 1 > z 2 non hanno alcun significato. Naturalmente relazioni di disuguaglianza si posso scrivere tra le parti reali, le parti immaginarie, i moduli e le fasi, che sono numeri reali. Per complesso coniugato di z si intende il numero complesso z = a jb che ha la stessa parte reale di z e parte immaginaria con il segno cambiato. Quindi risulta z = z arg z = arg z e inoltre z = z 3 Forma trigonometrica Semplici considerazioni geometriche sulla Figura 1 portano a concludere che cosicché, per la 1, si può scrivere a = ρ cos θ b = ρ sin θ che è detta forma trigonometrica o polare di z. Si osservi che cos θ + j sin θ = 1. z = ρ cos θ + j sin θ 3 4 Operazioni elementari Sui numeri complessi si possono effettuare le operazioni di somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione, per le quali valgono le proprietà usuali. Dati i numeri z α = a α + jb α e z β = a β + jb β,siha z α + z β = a α + a β + j bα + b β z α z β = a α a β + j bα b β

4 4 Note sui numeri complessi Figura 3 Somma e sottrazione tra numeri complessi. bα+b β Im b α b β z α +z β z α z β z β b α b β z Π z α -z β O a α a β a α a α +a β Re z β come illustrato nella Figura 3, nonché, ricordando la 2, z α z β = a α a β b α b β + j aα b β + a β b α z α z β = a α + jb α a β + jb β a β jb β a β jb β = a αa β + b α b β a 2 β + b2 β + j a αb β + a β b α a 2 β + b2 β Nel calcolo del quoziente z α / zβ, che naturalmente ha senso solo quando z β = 0, per separare la parte reale da quella immaginaria è stata effettuata la cosiddetta razionalizzazione di un numero complesso frazionario, consistente nel moltiplicare numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore. Inoltre si è sfruttato il fatto che il prodotto di un numero complesso per il suo complesso coniugato è reale e pari al quadrato del modulo, cioè z z = z 2 In realtà, mentre per calcolare somme e sottrazioni la forma algebrica risulta comoda da usare, prodotti e quozienti si determinano più facilmente riferendosi alla forma trigonometrica. Infatti, per z α = ρ α cos θ α + j sin θ α e z β = ρ β cos θ β + j sin θ β,siottiene z α z β = ρ α ρ β cos θ α cos θ β sin θ α sin θ β + + j cos θ α sin θ β + sin θ α cos θ β = = ρ α ρ β cos θ α + θ β + j sin θ α + θ β z α = ρ α cos θ α + j sin θ α cos θ β j sin θ β = z β ρ β cos θ β + j sin θ β cos θ β j sin θ β = ρ α cos θ α cos θ β + sin θ α sin θ β + ρ β + j cos θ α sin θ β + sin θ α cos θ β = = ρ α cos θ α θ β + j sin θ α θ β ρ β 4 5 In altri termini, il prodotto di due numeri complessi ha come modulo il prodotto dei moduli dei due numeri e come argomento la somma dei loro argomenti primo teorema di De Moivre, Equazione 4, mentre il quoziente di due numeri com-

5 Note sui numeri complessi 5 plessi ha come modulo il quoziente dei moduli dei due numeri e come argomento la differenza dei loro argomenti secondo teorema di De Moivre, Equazione 5. Sulla base di quanto sopra, si possono enunciare alcune ulteriori proprietà dei numeri complessi che possono essere di interesse z + z = 2Rez z z = 2 j Im z z α + z β = z α + z β z α z β = z α z β 1 = 1 z z zα = z α z β z β z α z β = z α z β z α z = z α β zβ z α zβ zα ± z β zα + zβ A partire dalla definizione di moltiplicazione è poi immediato calcolare la potenza n-esima, con n intero positivo, di un numero complesso z. Infatti, dalle Equazioni 3 e 4, applicata ripetutamente, si trova z n = ρ cos θ + j sin θ n = ρ n cos nθ + j sin nθ 6 Per definizione poi, se z = 0, si pone e quindi, dalla 5, z n = 1 z n z n 1 = ρ n cos nθ + j sin nθ = ρ n cos nθ + j sin nθ = = ρ n cos nθ j sin nθ Infine, assumendo ancora z = 0, si pone convenzionalmente z 0 = 1 Per definire la radice m-esima, con m intero positivo, di un numero complesso z, sipuò procedere alla determinazione dei numeri complessi v k la cui potenza m-esima sia pari proprio a z, cioè dei numeri v k tali che v m k = z = ρ cos θ + j sin θ Cosìfacendo si trova v k = z 1/m = ρ 1/m cos θ + 2kπ + j sin θ + 2kπ, m m k =..., 2, 1, 0, 1, 2,... 7 come si può verificare applicando l Equazione 6.

6 6 Note sui numeri complessi Figura 4 Radici quarte di un numero reale positivo. Im v 1 v 2 ρ 1/4 v 0 Re v 3 Si osservi che l Equazione 7 fornisce solo m valori distinti se z = 0, che si possono individuare assegnando m valori consecutivi qualunque all intero k. Si conclude così che ogni numero complesso non nullo possiede m radici. I corrispondenti punti sul piano di Gauss si trovano su una circonferenza con centro nell origine e raggio ρ 1/m ; essi sono i vertici del poligono regolare di m lati che ha un vertice nel punto di ascissa ρ 1/m cos θ /m e ordinata ρ 1/m sin θ /m,come illustrato nella Figura 4 per il caso in cui z = ρ èreale positivo e m = 4. Vale la pena notare in particolare che in campo complesso sono ben definite anche le radici pari dei numeri reali negativi, a differenza di quanto accade in campo reale. Ciò è mostrato dalla 7 per m pari e θ = π. Infine, dalle Equazioni 6 e 7 è immediato definire le potenze frazionarie z n/m di z, come i numeri v k per cui v m k = zn dove conviene assumere che m e n siano primi tra loro. Si trova v k = z n/m = ρ n/m cos n m θ + 2kπ + j sin n m θ + 2kπ, che produce m valori distinti se z = 0. k =..., 2, 1, 0, 1, 2,... 5 Esponenziale, forma esponenziale e logaritmo L esponenziale del numero complesso 1 si definisce mediante la relazione elaformula di Eulero che producono e z = e a+ jb = e a e jb e jb = cos b + j sin b 8 e z = e a cos b + j sin b Per prodotti, quozienti e potenze di esponenziali valgono le usuali regole sugli esponenti. Si osservi che e jb = 1; inoltre e jb, vista come funzione di b, è periodica di periodo 2π, inquanto e jb+2kπ = e jb per ogni k intero.

7 Note sui numeri complessi 7 Dall Equazione 8 si ottiene e jb = cos b j sin b e quindi sin b = e jb e jb 2 j cos b = e jb + e jb Inoltre, dalla 3 si ricava la forma esponenziale z = ρe jθ per la quale si possono riformulare immediatamente i risultati già illustrati per la forma trigonometrica. Per esempio, ancora con riferimento a si ha e poi z α = ρ α cos θ α + j sin θ α = ρ α e jθ α z β = ρ β cos θ β + j sin θ β = ρβ e jθ β 2 z α z β = ρ α ρ β e jθ α+θ β z α z β = ρ α ρ β e jθ α θ β z n = ρ n e jnθ z n = ρ n e jnθ z 1/m = ρ 1/m e jθ+2kπ/m, k =..., 2, 1, 0, 1, 2,... z n/m = ρ n/m e jθ+2kπn/m, k =..., 2, 1, 0, 1, 2,... Per chiudere, se z = 0, ancora con la simbologia dell Equazione 3, il suo logaritmo in base e è ln z = ln ρ + j θ + 2kπ, k =..., 2, 1, 0, 1, 2,... che è una funzione a infiniti valori, tutti con la stessa parte reale, per la quale valgono le relazioni e ln z = z e ln e z = z + j2kπ, k =..., 2, 1, 0, 1, 2,... Anche in campo complesso per la funzione logaritmo si possono dimostrare le proprietà usuali.

8 8 Note sui numeri complessi 6 Polinomi, funzioni razionali ed equazioni polinomiali Dato un polinomio, funzione della variabile complessa z = a + jb,descritto da con tutti i coefficienti p i reali, risulta p z = p 0 z n + p 1 z n p n 1 z + p n p jb = p jb per qualunque valore di b, come si può verificare per semplice ispezione. Analogamente, data una funzione razionale G z = p z q z rapporto dei polinomi con coefficienti reali p z e q z, siha G jb = G jb per qualunque valore di b. Considerata poi l equazione polinomiale di grado n p z = p 0 z n + p 1 z n p n 1 z + p n = 0, p 0 = 0 9 nella quale i coefficienti p i sono generici numeri complessi quindi non necessariamente reali, il numero delle sue radici èsempre pari a n, pur di tenere conto della loro molteplicità teorema fondamentale dell algebra. Pertanto, se esse si denotano con r i, i = 1, 2,...,n, sipuò scrivere p z = p 0 n z r i Si osservi che, se in particolare i coefficienti p i sono numeri reali, allora le radici r i sono reali o complesse coniugate a coppie. È opportuno rilevare come un risultato di questo genere non sussista se si cercano le radici dell Equazione 9 nell ambito dei numeri reali e pertanto il contesto più adeguato per lo studio delle equazioni polinomiali è proprio quello che fa riferimento ai numeri complessi. i=1