CENNI DI TRIGONOMETRIA E CENNI SUI NUMERI COMPLESSI PER L ELETTROTECNICA

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1 CENNI DI TRIGONOMETRIA E CENNI SUI NUMERI COMPLESSI PER L ELETTROTECNICA (per classi elettrotecnica e automazione) Autore Nunzio Siciliano rev. Nov.2014 Quest'opera è distribuita con Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 3.0 Italia.

2 CAPITOLO 1. Trigonometria e Applicazioni 1. Breve definizioni delle funzioni trigonometriche Sia dato il cerchio di raggio unitario di figura: Il segmento OB, essendo il raggio sarà di lunghezza 1. Tale segmento forma con l asse orizzontale un angolo α. I segmenti OC e CB sono definite come segue: cos Essendo il punto C interno alla circonferenza sarà necessariamente: OC 1 CB 1 Pertanto: cos α 1 e sen α 1. Inoltre, per il Teorema di Pitagora, essendo il triangolo OBC un triangolo rettangolo: OC CB OB Ed essendo OB=1: OC CB 1 Ossia: cos αsen α 1 Al variare dell angolo α variano le lunghezze dei segmenti OC e CB mentre il raggio OB sarà sempre unitario, il variare delle lunghezze dei segmenti implica, ovviamente, la variazione dei valori di cos α e sen α. Si può dunque concludere che per ogni angolo vi sono due valori di cos α e sen α. Si definisce, infine, la funzione tangente di un angolo α la seguente espressione: 1

3 tan cos 2. Applicazioni delle funzioni trigonometriche per la risoluzione dei triangoli rettangoli. Una delle applicazioni della trigonometria è la risoluzione dei triangoli rettangoli Dato il triangolo rettangolo di figura, siano a e b i cateti e c l ipotenusa: vale il Teorema di Pitagora:! ovvero: c "! Essendo ϕ l angolo tra il cateto a e l ipotenusa c, dalle definizioni delle funzioni trigonometriche: cos φ a c sen φ b c tan φ b a 3. Varie relazioni tra funzioni trigonometriche. % cos& ' (%) cos 90 (% % sen& ' (%) sen 90 (% 2

4 CAPITOLO 2. Numeri Complessi 1. Definizioni. Si definisce Unità Immaginaria j quel numero che elevato al quadrato da il valore 1: -. (/ o, in modo equivalente: - (/. Operazioni che non possono essere eseguite nel campo dei numeri reali. Definita l unità immaginaria è possibile definire il campo dei numeri immaginari come i multipli (positivi e negativi) e i sottomultipli (positivi e negativi) dell unità j. Allo stesso modo dei numeri reali è possibile rappresentare i numeri immaginari su di una retta. Si definisce Numero Complesso una qualsiasi coppia di numeri individuabile su di un piano cartesiano nel quale su di un asse sono riportati i numeri reali e sull altro asse i numeri immaginari. Il piano cartesiano sul quale si rappresentano i numeri complessi è detto piano di Gauss. Un numero complesso di indica quindi con la somma a + jb dove a è la parte reale e b la parte immaginaria. Il segmento che unisce l origine degli assi con il punto di intersezione fra a e b rappresenta in numero complesso ed è detto vettore complesso, i vettori complessi saranno indicati con una lettera sovrastata da una lineetta: 12. La lunghezza del vettore complesso si chiama Modulo l angolo che forma con l asse Re si chiama Fase. Il vettore forma un triangolo rettangolo dove i cateti sono rispettivamente la parte reale (a) e quella immaginaria (b) mentre l ipotenusa è il modulo del vettore, in tal caso è possibile calcolare modulo e fase noti parte reale e parte immaginaria del vettore complesso: dato il numero complesso modulo Z a b ; fase θ 89& b a ) se a : 0 θ 89& ; < )180 se a > 0 Viceversa noti modulo e fase di un numero complesso è possibile determinarne la parte reale e la parte immaginaria: dato il numero complesso 12 di modulo Z e fase θ parte reale Re@Z2A Z cos θ parte Immaginaria Im@Z2A Z sen θ così che il numero complesso sarà espresso da 12 1 EFGH4 1 GIJH 3

5 rappresentazione di numeri complessi sul piano di Gauss 2. Rappresentazione dei numeri complessi. a) Forma Algebrica di un numero complesso È del tipo (con a la parte reale e b quella immaginaria) b) Forma Polare di un numero complesso È del tipo MA (con Z il modulo e M la fase). c) Forma esponenziale del numero complesso È del tipo 12 1 N 4M (con Z il modulo e M la fase, e = 2,71828 è il numero di Eulero). Si ricorda che OP %Q % 4

6 2.1.Passaggio da forma Algebrica a forma Polare modulo Z a b ; fase φ 89& b a ) per a : 0 φ 89& ; )180 per a > 0 < MA 2.2.Passaggio da forma Polare a forma Algebrica. MA parte reale Re@Z2A Z cos φ parte Immaginaria Im@Z2A Z sen φ 12 1 EFGM4 1 GIJM 3. Operazioni con i numeri complessi. 3.1.Somma (è da intendersi somma algebrica). Z2 R a R j b R Z2 a j b Z2 T Z2 R Z2 a R j b R a j b a R a j b R b Per cui: Re@Z2 T A a R a Im@Z2 T A b R b 3.2.Prodotto. Z2 R a R j b R Z2 a j b Z2 T Z2 R Z2 a R j b R a j b a R a j a R b j a b R j b R b Ed essendo j (1 Z2 T a R a ( b R b j a R b a b R Per cui: Re@Z2 T A a 1 a 2 ( b 1 b 2 Im@Z2 T A a 1 b 2 a 2 b 1 L operazione si può effettuare anche con la forme polari dei numeri: Z2 R, φ R A φ A Z2 T Z2 R Z2 WZ 1, φ 1 X WZ 2, φ 2 X YZ 1 Z 2, φ 1 φ 2 Z Quindi: modulo Z Z R Z ; fase φ φ R φ 12 [, MA METODO CONSIGLIATO 5

7 3.3.Rapporto. Si deve effettuare: Z2 R a R j b R Z2 a j b Z2 T Z 2 R Z2 Si definisce complesso coniugato di un numero complesso quel numero che ha la stessa parte reale e quella immaginaria cambiata di segno, cioè se: Z2 xj y, il suo complesso coniugato sarà: Z2 x(j y Se si effettua il prodotto tra un numero complesso ed il suo coniugato si ottiene un numero reale: Z2 Z2 x(j y x(j y x y Per effettuare il rapporto espresso sopra è necessario determinare il complesso coniugato del denominatore: Z2 a (j b e successivamente moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per il complesso coniugato del denominatore: Z2 Il rapporto sarà quindi: Z2 T Z 2 R Z 2 R Z^2 a R j b R a 2 (j b 2 Z2 a j b a 2 (j b 2 a R a ( b R b j a R b a b R a b Z2 Z^2 quindi il numero complesso risultante sarà: a R a ( b R b Z2 T a j b a R b a b R a b L operazione si può effettuare anche con la forme polari dei numeri: Z2 R, φ R A φ A METODO CONSIGLIATO Quindi: modulo Z T Z 1 ; Z 2 fase φ φ R (φ Z2 T Z 2 R Z2 WZ 1, φ 1 X WZ 2, φ 2 X _Z 1 Z 2, φ 1 (φ 2 ` 12 [, MA 3.4.Inverso. Si deve effettuare: Z2 R a R j b R Z2 R ar 1 Z2 R Si può operare come per il rapporto considerando la divisione fra il numero 1+j0 e Z2 R. Tuttavia per questo caso particolare si può dare una semplice regola: 6

8 Z2 R ar 1 Z2 R a R a R b R (j a R a R b R Metodo consigliato per il calcolo di impedenze in parallelo oppure, con la forma polare del numero Z2 R, φ R A Z2 R ar 1 Z2 R _ 1 Z R, (φ R ` Quindi: modulo Z 1 Z 1 ; fase φ (φ R MA 4. Somma Grafica di numeri complessi (da considerarsi somma algebrica). Z2 R 3j 2 Z2 4(j 5 Z2 T Z2 R Z2 3j 2 4(j 5 7(j 3 Z2 T Z2 R (Z2 3j 2( 4(j 5 (1j 7 NOTA IMPORTANTE Il modulo della somma algebrica di numeri complessi NON È pari alla somma algebrica dei moduli. 7

9 5. Angolo di sfasamento fra numeri complessi. Z2 63,43 A 34,99 A Fase di Z2 R φ R 63,43 Fase di Z2 φ 34,99 Lo sfasamento fra i vettori Z2 R e Z2 è la differenza fra le fasi: φ φ R (φ 64,43 (34,99 28,44 8