UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PAVIA REGISTRO. DELLE LEZIONI-ESERCITAZIONI- SEMINARI Anno accademico 2013/14

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1 REGISTRO DELLE LEZIONI-ESERCITAZIONI- SEMINARI Anno accademico 2013/14 Cognome e Nome BISI FULVIO Qualifica RICERCATORE CONFERMATO MAT/07 DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Insegnamento di GEOMETRIA E ALGEBRA (500473) Impartito presso: FACOLTA' DI INGEGNERIA Corso di laurea INGEGNERIA INDUSTRIALE. Corso di laurea specialistica/magistrale... Corso di laurea interfacoltà.. Scuole di Specializzazione... Scuole di Dottorato di ricerca.

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3 n. prog. 1-2 data 30 settembre 2013 n. prog. 3-4 data 3 ottobre 2013 Funzioni o applicazioni, iniettività, surgettività; corrispondenze biunivoche. Prodotto cartesiano e legge di composizione interna. (La prima parte della lezione viene parzialmente occupata dalla presentazione della Facoltà di Ingegneria). _ n. prog. 5 data 3 ottobre 2013 n. prog. 6-7 data 7 ottobre 2013 n. prog. 8-9 data 7 ottobre 2013 Strutture algebriche: gruppi, anelli, campi. Spazio E 3 O dei vettori applicati nel punto O dello spazio euclideo: addizione di vettori. La struttura algebrica di gruppo per E 3 O con la somma di vettori. _ Esempi di strutture algebriche aventi sostegno un insieme numerico o astratto. _ Spazio E 3 O dei vettori applicati nel punto O dello spazio euclideo: moltiplicazione per uno scalare. Span di un vettore e di due vettori. Dipendenza e indipendenza lineare nello spazio dei vettori applicati. Span di tre vettori linearmente indipendenti e basi di E 3 O. _ Anello dei polinomi. Teorema e regola di Ruffini. Teorema fondamentale dell algebra e corollario della radice reale per polinomi di grado dispari (enunciati). Divisione fra polinomi. Scomposizione di un polinomio in campo reale ed in campo complesso. Esempi di fattorizzazione di polinomi in campo reale ed in campo complesso. _ 3

4 n. prog data 10 ottobre 2013 n. prog. 12 data 10 ottobre 2013 n. prog data 14 ottobre 2013 n. prog data 21 ottobre 2013 n. prog data 24 ottobre 2013 Riferimento cartesiano ortogonale nello spazio. Rappresentazione di un vettore su una base di E 3 O. Equazioni di una retta in forma vettoriale e parametrica. Vettore direttore. Retta per due punti. Equazione di un piano in forma vettoriale e parametrica. Giacitura di un piano; piano per tre punti. Proiezioni ortogonali su una retta e su un piano. Decomposizione unica di un vettore nelle due proiezioni ortogonali su retta e piano ortogonali. Prodotto scalare: definizione, proprietà di positività, commutatività (simmetria), bilinearità. Calcolo del prodotto scalare in termini delle componenti. Esercizi di geometria analitica. Equazioni di un piano in forma cartesiana; vettore normale al piano. Esempi. Passaggio da forma parametrica a forma cartesiana e viceversa Equazioni di una retta in forma cartesiana. Distanza fra punti, fra piano e retta, fra punto e retta. Posizioni reciproche fra piani, fra rette e fra una retta e un piano. Rette complanari (parallele o incidenti), rette sghembe. Esempi. Spazi vettoriali astratti: esempi; vettori colonna a componenti in un campo; spazi vettoriali R n. Spazi vettoriali astrati generali: definizioni e altri esempi (polinomi, funzioni continue). Analogie con la casistica e la terminologia introdotta in E 3 O. 4

5 n. prog. 19 data 24 ottobre 2013 n. prog data 28 ottobre 2013 n. prog data 31 ottobre 2013 n. prog. 24 data 31 ottobre 2013 n. prog data 4 novembre 2013 Proprietà e proposizioni elementari per spazi vettoriali (leggi di annullamento, cancellazione, ecc.). Esercizi di riepilogo di geometria analitica. Sottospazi vettoriali: definizione mediante le proprietà di chiusura. Sottospazio vettoriale intersezione. Sottospazio vettoriale somma di due sottospazi vettoriali. Somma diretta fra due sottospazi vettoriali. Esempi. Sottospazio vettoriale generato da una lista di vettori (Span); proprietà fondamentali. Proprietà dello Span di una lista di vettori (lemma, corollario di inclusione; generatori superflui). Caso modello dello spazio E 3 O. Dipendenza ed indipendenza lineare. Definizioni equivalenti di indipendenza lineare e proprietà fondamentali. Caso modello dello spazio E 3 O.. Spazi vettoriali finitamente generati. Definizioni equivalenti di indipendenza lineare. Proprietà di liste di vettori indipendenti e dipendenti. Esempi di spazi non finitamente generati. Spazi vettoriali finitamente generati, definizione di base. Coordinate di un vettore su una base. Lemmi di sostituzione, proprietà di una lista di vettori indipendenti in uguale numero di una base. Teorema della base (tranne esistenza); definizione di dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato. 5

6 n. prog data 7 novembre 2013 n. prog. 29 data 7 novembre 2013 n. prog data 11 novembre 2013 n. prog data 14 novembre 2013 Algoritmi di estrazione/completamento di basi di uno spazio vettoriale. Teorema della base (esistenza). Sottospazi finitamente generati; lemma fondamentale di dimensione per sottospazi di spazi finitamente generali; ricerca della base di un sottospazio vettoriale. Generatori e basi dei sottospazi somma e intersezione fra sottospazi. Formula di Grassmann. Somma diretta di due sottospazi; somma diretta di k sottospazi: definizione e condizione equivalente. Complementare di un sottospazio in uno spazio vettoriale; confronti con il caso di E 3 O e osservazione sulla infinità di complementari di un sottospazio fissato. Matrici a entrate reali e elementi, colonne, righe vettori riga e vettori colonna. Somma fra matrici di uguale ordine, matrice nulla; struttura di gruppo per M R(k, n). _ Moltiplicazione di una matrice per uno scalare. Spazio vettoriale delle matrici rettangolari a entrate in un campo. Prodotto matrice vettore e matrice matrice; prodotto righe per colonne fra matrici. Anello delle matrici a entrate in un campo. Matrice identità: proprietà fondamentali. Il prodotto tra matrici quadrate e l'invertibilità; matrice inversa. Operazione di trasposizione; proprietà. Teorema per l'inversa di una matrice quadrata le cui colone sono una base di R n. Condizioni equivalenti all'invertibilità di una matrice quadrata: unicità della soluzione del sistema associato, indipendenza lineare delle colonne. Gruppo lineare delle matrici di ordine n. Il problema del cambio di base dalla base canonica a una base generica. 6

7 n. prog. 34 data 14 novembre 2013 n. prog data 18 novembre 2013 n. prog data 21 novembre 2013 n. prog. 39 data 21 novembre 2013 Proprietà dell'operazione di trasposizione Matrici triangolari alte e basse; matrici diagonali; matrici simmetriche. Sottospazi relativi e somme fra essi. Determinante di una matrice; definizione con la formula di sviluppo sulla prima colonna. Esempio per il caso di una matrice quadrata di ordine 2. Teoremi dello sviluppo sulla prima riga; teorema (formula) di Laplace per lo sviluppo secondo una riga o una colonna qualunque (senza dimostrazione) Proprietà caratteristiche della funzione determinante. Proprietà derivate; teorema di Binet e sue conseguenze sull'invertibilità di una matrice quadrata. Coincidenza fra l insieme delle matrici non singolari (determinante non nullo) e le matrici del gruppo lineare (invertibili). Minori e complementi algebrici. Teorema di Cramer per la matrice inversa di una matrice quadrata. Esempi di calcolo di matrici inverse. Rango di una matrice (dimensione del sottospazio generato dai vettori colonna). Rango e minori: il rango coincide con r MA della matrice, regola di Kronecker degli orlati. Esempi di calcolo di determinante e di sue semplificazione mediante l'applicazione delle proprietà. Rango di una matrice con parametri. 7

8 n. prog data 25 novembre 2013 n. prog data 28 novembre 2013 Teoremi sul determinante della matrice trasposta (senza dimostrazione); trasposta del prodotto e dell'inversa, Sistemi lineari; notazione matriciale. Sistemi quadrati non singolari; regola di Cramer. Sistemi risolvibili e teorema di Rouché Capelli. Sistemi omogenei; risolubilità dei sistemi omogenei; primo teorema di struttura. Teorema delle dimensioni per il nucleo di una matrice. Dimensione della soluzione di un sistema lineare. Unicità della soluzione; teorema delle dimensioni (ripresa). Varietà lineare (sottospazio affine); secondo teorema di struttura per le soluzioni di un sistema lineare di k equazioni in n incognite. Sistemi triangolari non singolari, risoluzione all'indietro; triangolazione di un sistema quadrato non singolare (algoritmo di Gauss). n. prog. 44 data 28 novembre 2013 Esempi di applicazione del teorema di struttura per sistemi lineari. Matrici a scala. Lemma del rango, dell immagine e del kernel di una matrice a scala. Eliminazione di Gauss per sistemi lineari qualunque e riduzione a sistemi a scala. Discussione di sistemi lineari parametri (a un parametro). n. prog data 29 novembre 2013 venerdì (2 ore straord) Discussione di sistemi lineari parametri (a un parametro). Equazioni lineari di un sottospazio vettoriale di R n. Determinazione delle equazioni mediante la riduzione a scala. Funzioni lineari. Applicazioni lineari definite da una matrice fra spazi di vettori colonna reali: proprietà di linearità. 8

9 n. prog data 2 dicembre 2013 n. prog data 3 dicembre 2013 martedì n. prog. 51 data 5 dicembre 2013 n. prog data 10 dicembre 2013 martedì Applicazioni lineari generali fra spazi vettoriali. Definizione ed esempi. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali non finitamente generati (derivata). Immagine di un sottospazio vettoriale. Sottospazi vettoriali nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Teorema delle dimensioni. (scambio ore con Bonetti) Determinazione di nucleo e immagine di applicazioni lineari definite da matrici. Iniettività e suriettività di applicazioni lineari. Isomorfismi e teoremi relativi: dimensione del kernel di un'applicazione lineare; indipendenza lineare; immagine di una base. Isomorfismo di rappresentazione. Equivalenza della dipendenza lineare per i vettori e per le loro rappresentazioni. Matrice di rappresentazione di un'applicazione lineare. Cambiamenti di base. Matrice di cambio di base fra due basi qualunque. Esempi ed applicazioni. Matrici di rappresentazione di un'applicazione lineare su basi differenti. Matrici simili e rappresentazioni su basi diverse di un operatore lineare di uno spazio vettoriale V in sé. Invarianti per similitudine: rango, traccia, determinante: condizione necessaria, ma non sufficiente. (scambio ore con Bonetti) Autovalore ed autovettore per un operatore lineare qualunque, a partire da esempi, e di una matrice; corrispondenza tra autovalori/autovettori di un operatore e della matrice associata. Autospazi: definizione e proprietà. Ricerca degli autovalori di una matrice: equazione caratteristica. Esempi. 9

10 n. prog. 54 data 12 dicembre 2013 Polinomio caratteristico e sue proprietà. Polinomi caratteristici di matrici simili. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Limitazioni per la molteplicità geometrica. Autovalori regolari. n. prog data 13 dicembre 2013 venerdì (straordinaria) n. prog data 16 dicembre 2013 Equivalenza fra esistenza di base di autovettori e similitudine con matrice diagonale. Diagonalizzabilità di una matrice, di un operatore. Teorema sulla somma diretta di autospazi. Diagonalizzabilità di matrici con polinomio caratteristico totalmente decomponibile in campo reale; proprietà aggiuntive. Primo e secondo criterio per la diagonalizzabilità di un operatore (di una matrice). Esempi di diagonalizzazioni. Prodotto scalare canonico in R n ; interpretazione degli elementi della matrice prodotto fra matrici AB come p.s. Norma indotta dal prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy Schwarz; disuguaglianza triangolare. Angolo fra vettori. Sistemi di vettori e basi ortogonali ed ortonormali. Proprietà delle basi ortonormali. 10

11 n. prog data 19 dicembre 2013 n. prog. 61 data 19 dicembre 2013 n. prog Proprietà delle componenti di un vettore su base ortogonale/ortonormale (formula di Parseval, teorema di Pitagora generalizzato). Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram Schmidt. Proiezione ortogonale e complemento ortogonale: dimensione del complemento ortogonale. Matrici ortogonali. Caratterizzazione dei vettori righe/colonne di una matrice ortogonale. Matrici ortogonale 22; gruppo ortogonale di ordine n e gruppo ortogonale speciale. Matrici simmetriche: teorema spettrale e suo corollario. Esempi e applicazioni: forme quadratiche; forma canonica e segnatura di una forma quadratica; legame con gli autovalori. data 9 gennaio 2014 giovedì n. prog Esercizi di riepilogo. In particolare: esempi di proiezioni ortogonali e complementi ortogonali; esempio di diagonalizzazione con teorema spettrale. Studio del segno di una forma quadratica. Teorema di Sylvester (dei minori incapsulati). data 13 gennaio 2014 n. prog data 16 gennaio 2014 giovedì (3 ore) 11

12 RIASSUNTO - Numero lezioni assegnate Numero lezioni effettivamente impartite LL.. - Numero esercitazioni effettivamente impartite EE.. - Numero dei seminari svolti Numero lezioni perdute per malattie.. - Numero lezioni perdute per altri motivi (specificare.. totale TT.. Si certifica che TUTTE le ore di lezione ed esercitazione sono state IMPARTITE DAL DOCENTE IL DOCENTE.. Visto del Preside. Visto del Direttore (*). (*) per le Scuole di Specializzazione e le Scuole di Dottorato di ricerca 12