Elementi di Algebra da un punto di vista superiore

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1 Elementi di Algebra da un punto di vista superiore A.A. 2013/14 Argomento delle lezioni 24/2/2014 (2 ore 11-13, progr. 2). I. Presentazione del corso (mediante Power-Point): l argomento guida sono i polinomi, nei vari modi di introdurli, le nozioni principali, le applicazioni ad altre parti della Matematica o delle altre Scienze; la struttura del corso, i seminari, con un elenco di argomenti, l esame. II. L Algebra ed i suoi scopi (mediante Power-Point): generalizzare, riconoscere somiglianze di struttura, formulare e risolvere equazioni, supportare o rifondare la geometria. Ruolo delle lettere: costanti, variabili, indeterminate; i polinomi come parole. Incognite e parametri nelle equazioni. 26/2 (2 ore 11-13, progr. 4). I. Le funzioni (lezione dialogata), terminologia universitaria e liceale, tipi di funzioni, funzioni biiettive, composizione, identità; le funzioni di variabile reale ed i loro grafici cartesiani. Distribuzione di argomenti per i seminari tenuti dagli allievi. II. Alcuni elementi di calcolo combinatorio: principii di addizione e di moltiplicazione; parole di data lunghezza in un dato alfabeto, liste senza ripetizioni; Funzioni tra insiemi e potenze nei numeri naturali, il caso di 0^0. Permutazioni di n elementi, il fattoriale. Anagrammi, frequenza di una lettera, la formula generale; il caso di due sole lettere distinte, i coefficienti binomiali, il computo dei sottoinsiemi con k elementi di un insieme con n elementi. 27/2 (1 ora, 11-12, progr. 5) Un gioco sul sostantivo operazione nel linguaggio corrente. Operazioni binarie in un insieme, definizione universitaria, usi impropri, carenze; computo nel caso finito. Operazioni finitarie in un insieme, definizione di struttura algebrica; l esempio del gruppo, proprietà col quantificatore per ogni. Monoidi, il gruppo dei suoi elementi invertibili; il monoide delle funzioni su un insieme ed il gruppo simmetrico. 3/3 (2 ore 11-13, progr. 7). I. Riassunto dei contenuti della settimana precedente. Una curiosità: il monoide delle funzioni su un insieme finito, il suo gruppo simmetrico ed il numero e di Nepero. Monoidi di parole in un dato alfabeto, la lunghezza di una lettera e le sue proprietà, la legge di cancellazione. Il caso di una sola lettera ed il monoide additivo dei numeri naturali. Introduzione di una regola per annullare una lista di lettere uguali di data lunghezza ed i gruppi ciclici finiti C_n. L uso degli esponenti e la presentazione di un gruppo. II. Il caso dell alfabeto con due lettere, la non commutatività, il numero di parole di data lunghezza. Introduzione della commutatività, il monoide libero commutativo. La regola di annullamento di due lettere diverse consecutive ed il gruppo additivo degli interi. Limitazioni al numero di lettere consecutive uguali e regole di commutazione: il gruppo ciclico d ordine 6 con una presentazione a due lettere, ed il gruppo non abeliano diedrale D_3. Il gruppo diedrale D_n come gruppo di simmetria del poligono regolare con n lati, n 3. 5/3 (2 ore 11-13, progr. 9). I. Appendice sui monoidi: il monoide abeliano libero su un alfabeto numerabile, ed il monoide moltiplicativo degli interi positivi generato dai primi. Altri esempi di monoidi, la proprietà di idempotenza, elementi assorbenti. Potenze in un monoide ed in un gruppo. Ordine di un elemento e sua caratterizzazione (en.). Gruppi ciclici; gruppi con gli elementi tutti d ordine 2.

2 II. Anelli, definizione, il ruolo dello zero nel prodotto e dell unità nella somma: il sottoanello fondamentale, la caratteristica di un anello, l ordine degli altri elementi nel gruppo additivo. Il gruppo delle unità, i campi, il corpo dei quaternioni come insieme di matrici complesse d ordine 2 di tipo particolare (cenni). La legge d annullamento del prodotto e i dominii d integrità. 6/3 (1 ora, 11-12, progr. 10). Esempi di anelli: anelli di funzioni a valori in un anello commutativo e operazioni punto per punto; mancanza della legged annullamento del prodotto. Anelli di successioni in un anello commutativo, la convoluzione, l unità (senza dimostrazione); la legge d annullamento del prodotto. Anelli di matrici quadrate ad elementi in un campo come esempio non commutativo. 10/3 (2 ore 11-13, progr. 12). I. Seminario di Branchini e Musacchia sulle funzioni: definizioni, proprietà e grafici nei testi delle scuole medie inferiori e del biennio delle superiori; discussione con i presenti sui contenuti e rilevazione di errori o discrepanze rispetto all insegnamento universitario. II. Relazioni tra insiemi finiti e loro rappresentazione mediante matrici booleane. Il caso delle funzioni: rappresentazione sagittale, tabulare e mediante matrici booleane; il caso di una funzione da un insieme a se stesso, rango, determinante e traccia della sua matrice. Relazioni e funzioni da un insieme a se stesso, rappresentazione mediante grafi orientati o digrafi (cenni): terminologia, digrafi planari, componenti connesse. Il caso biiettivo, le permutazioni pari e dispari, i cicli. Relazioni simmetriche e grafi non orientati. 14/3 (2 ore, 9-11, progr. 14). I. Insiemi ordinati, relazione di copertura, diagrammi di Hasse, con esempi. Reticoli come insiemi ordinati con sup ed inf e come strutture algebriche con due operazioni binarie e certe proprietà; equivalenza delle due definizioni (en.). Reticoli con 0 ed 1; reticoli distributivi; esempi. II. Complementare in un reticolo, unicità nel caso distributivo (en.), algebre di Boole, cenni ed esempi. Sottoinsiemi chiusi rispetto ad una operazione; sottostrutture, il caso dei gruppi come modello. Intersezione di sottostrutture (en.); la sottostruttura generata da un sottoinsieme; il reticolo delle sottostrutture di un struttura algebrica. La sottostruttura minima, generata dal vuoto, nel caso dei gruppi e degli anelli. Sistemi di Peano, con riformulazione del principio di induzione. 17/3 (2 ore, 11-13, progr. 16). I. - Seminario di Valmorra e Vannucci sul calcolo letterale: le formule di Geometria, lettere e numeri, espressioni letterali, monomi e loro operazioni; polinomi come somme di monomi; il grado; operazioni tra polinomi, la divisibilità, radici e fattorizzazione, nei due livelli scolastici; le frazioni algebriche: variabili o indeterminate; breve discussione sulle difficoltà incontrate dagli allievi. dalle formule di geometria ai monomi, polinomi e frazioni algebriche. Variabili o indeterminate, II. I reticoli di sottogruppi dei due gruppi d ordine 6. Omomorfismi ed isomorfismo tra strutture con una operazione binaria ed in generale. Qualche esempio: funzioni esponenziali e logaritmi tra i gruppi additivo reale e moltiplicativo reale dei numeri positivi; isomorfismo di due algebre di Boole dello stesso ordine, non isomorfismo tra gruppi legati agli insiemi numerici. 19/3 (2 ore, 11-13, progr. 18). I. Laterali di un sottogruppo, il teorema di Lagrange (en.). Sottogruppi normali, esempi, il centro di un gruppo; il sottogruppo alterno su n oggetti. Congruenze e strutture quoziente. L esempio delle frazioni in aritmetica: equivalenza ed operazioni. Strutture semplici. II. Il caso dei gruppi: congruenze e sottogruppi normali; esempi di gruppi semplici:

3 i gruppi d ordine primo, il teorema di Galois sui gruppi alterni (en.). Il caso degli anelli: congruenze ed ideali; ideali principali; i campi come esempi di anelli semplici. Il teorema fondamentale di omomorfismo: enunciato e commenti. 20/3 (1 ora, 11-12, progr. 19) Monomorfismi ed estensioni: gli esempi degli insiemi numerici. L anello R^R: il sottoanello delle funzioni costanti isomorfo al campo R; il sottoanello R[x] delle funzioni polinomiali generato dalle costanti e dall identità: coefficienti, il principio d identità, il grado, il teorema dei gradi; R[x] è un dominio d integrità; R[x] come sottoanello dell anello delle funzioni di classe C^. La divisione euclidea; R[x] dominio euclideo. 24/3 (2 ore, 11-13, progr. 21). I. Riepilogo della definizione di polinomio come funzione di una variabile reale: coefficienti come numeri o come funzioni costanti; la x come variabile o come funzione identità; conseguenze. Le costanti non nulle come unici polinomi invertibili. Il teorema del resto. Zeri o radici di un polinomio, molteplicità di una radice, somma delle molteplicità e grado; esistenza di una radice dei polinomi di grado dispari; i polinomi di secondo grado e il discriminante. II. Radici multiple e derivate. Un tema svolto in forma dialogata e con metodi di Algebra ed Analisi: classificazione dei polinomi suriettivi, iniettivi e biiettivi: il grado pari e la non suriettività né infettività; suriettività dei polinomi di grado dispari; iniettività, monotonicità e radici e segno della derivata. 26/3 (2 ore, 11-13, progr. 23). I. (Lezione dialogata) La relazione divide in un anello commutativo e le sue proprietà; la relazione associato e le sue proprietà; la sua compatibilità col prodotto e non con l addizione; il caso dei dominii d integrità. Compatibilità con divide ; la relazione divide come relazione d ordine nel quoziente rispetto alla relazione associato. Divisibilità e ideali principali. II. Il massimo comune divisore ed il minimo comune multiplo in un anello commutativo; compatibilità con la relazione associato. Il caso di R[x] e l algoritmo euclideo. L identità di Bézout per il MCD di due polinomi. Il mcm di due polinomi e modo di calcolarlo noto il MCD. Polinomi coprimi ed identità di Bézout. Lemma di Euclide. 27/3 (1 ora, 11-12, progr. 24) Seminario di Trotti, Udassi e Guidi sulle strutture algebriche nei testi di scuola media inferiore e superiore. Discussione sull opportunità di trattare questo argomento a questi livelli scolastici, con quali contenuti e sussidii. 31/3 (2 ore, 11-13, progr. 26). I. Seminario di Del Soldato, La Monaca e Tomei sulle equazioni nei testi di scuola media e superiore: la definizione, l equivalenza ed i criteri, la discussione dei vari casi; equazioni letterali; equazioni di secondo grado, classificazione, il discriminante, la fattorizzazione; alcune applicazioni; cenni sui sistemi lineari in due incognite. Discussione su alcuni temi legati alle equazioni. II. Elementi primi ed indecomponibili in un domino d integrità; il controesempio di Z[ -5] (en.). La situazione in un P.I.D. e in particolare in R[x]. Il teorema di fattorizzazione in R[x] (en.). Polinomi irriducibili e radici. Ideali massimali in un anello commutativo e quozienti. Il caso dei P.I.D. Il campo complesso come quoziente di R[x] rispetto all ideale generato da x^2+1: il sottocampo isomorfo ad R, l elemento i e la scrittura canonica a+bi dei numeri complessi. 2/4 (2 ore, 11-13, progr. 28). I. Seminario di Bonanzi, Lari e Natali sull introduzione alla Geometria Analitica: la costruzione dei concetti di punto e retta in testi della scuola media inferiore; rette orientate, coordinate cartesiane, distanza, punto medio

4 di un segmento sulla retta cartesiana e sul piano cartesiano; l equazione della retta e la sua giustificazione, il significato dei coefficienti nella forma esplicita, intersezione di rette e parallelismo, altre formule riguardanti la retta nel piano cartesiano, con confronto fra le impostazioni e gli esercizi di vari testi di scuola superiore. Tre brevi divertenti filmati sull importanza dell equazione della retta nelle applicazioni. II. L anello delle funzioni sul campo complesso, il sottoanello delle funzioni olomorfe e quello delle funzioni polinomiali, il principio d identità (en.). Il teorema fondamentale dell algebra come conseguenza del teorema di Liouville sulle funzioni olomorfe (en.) Polinomi irriducibili in C[x] e fattorizzazione. Automorfismi di una struttura algebrica; automorfismi interni in un gruppo; automorfismi potenza in un gruppo abeliano finito; il caso del gruppo (Z,+), dell anello Z, dei campi Q, R, C. Il coniugio come automorfismo in C. 3/4 (1 ora, 11-12, progr. 29) Polinomi a coefficienti reali e radici complesse coniugate; polinomi irriducibili e fattorizzazione in R[x]. Polinomi in Q[x]: polinomi primitivi, la regola di Ruffini-Gauss per trovarne le redici razionali; il criterio di irriducibilità di Eisenstein (en.). Come liberare un polinomio dalle radici multiple. 7/4 (2 ore, 11-13, progr. 31). Polinomi in più variabili a coefficienti reali come sottoanello generato dalle funzioni costanti e dalle proiezioni. Ordinamento di un polinomio rispetto ad una variabile, principio d identità. Monomi e loro grado, monomi simili e loro riduzione, grado di un polinomio, il teorema dei gradi, la proprietà di fattorizzazione unica. II. Polinomi come estensioni trascendenti di un anello commutativo A: il sottoanello generato da A e da un elemento x in un sovraanello B, l assioma di identità e la definizione di elemento x trascendente rispetto ad A, isomorfismo delle estensioni trascendenti (cenni). Il problema dell esistenza: l anello delle successioni in A e la successione x=(0,1,0,0,.) come elemento trascendente rispetto ad A. L anello dei polinomi come classe d isomorfismo delle estensioni trascendenti di A. Esempi. 9/4 (2 ore, 11-13, progr. 33). I. Seminario di D Agostino e Venco sulla definizione di polinomio in alcuni altri testi di scuola media e superiore. Le lettere come variabili razionali, le operazioni come macchine ad una o due entrate; le espressioni come sequenze di segni di operazione; i polinomi come particolari espressioni con solamente segni di addizione e moltiplicazione; non trattazione preliminare dei monomi, ma solo a posteriori, come polinomi particolari. La divisione euclidea e la regola di Ruffini. Discussione su questa diversa impostazione e sull opportunità o no di definire i monomi prima dei polinomi. II. Seminario di Cangialeoni, Scafò e Grimaldi sulle coniche nei testi di scuola superiore: le sezioni coniche; la definizione come luogo; la trattazione e le formule sulla parabola con asse di simmetria parallelo all asse y o all asse x. La trattazione dell iperbole con asse focale parallelo ad uno degli assi cartesiani, costruzioni, simmetrie, asintoti e loro significato come premessa al concetto di limite; eccentricità; iperbole equilatera riferita agli asintoti, funzione omografia. L equazione generale di una conica nel piano. Discussione sul metodo della parabola nelle disequazioni di secondo grado; sulla doppia definizione di queste curve come sezioni coniche e come luoghi; sulla definizione generale di conica; sulle misconcezioni legate al concetto di asintoto. 10/4 (1 ora, 11-12, progr. 35) Prodotto diretto di due o più strutture algebriche dello stesso tipo; proprietà che passano dai fattori al prodotto. L epimorfismo proiezione dal prodotto diretto ai fattori. Il caso dei gruppi: monomorfismo dai fattori al

5 prodotto diretto: le immagini come sottogruppi normali. Esempi di proprietà che non si conservano: prodotto diretto di gruppi ciclici e di dominii d integrità. 14/4. (2 ore, 11-13, progr. 37) I. Prodotto diretto interno di gruppi. Il gruppo moltiplicativo reale come prodotto diretto interno del gruppo moltiplicativo dei reali positivi col gruppo {1, -1}, le funzioni valore assoluto e segno come epimorfismi. Modulo ed argomento di un numero complesso non nullo come epimorfismi sui reali positivi e sul gruppo degli angoli mod 2π; la struttura del gruppo moltiplicativo del campo complesso. Prodotto diretto di reticoli distributivi, in particolare di insiemi totalmente ordinati; il reticolo distributivo dei divisori di un numero naturale. II. Ragionamenti sui polinomi come parole (o espressioni) in un opportuno alfabeto:i caratteri di questo alfabeto (numeri, indeterminate, segni, parentesi), regole di formazione, ossia di scelta delle parole da chiamare polinomi e relativi assiomi; operazioni ed assiomi sulle proprietà che devono possedere; l ambiguità dei segni + e - dovuta ai loro molteplici ruoli. 16/4 (2 ore, 11-13, progr. 39) I. Seminario di Vitolo e Zama sui problemi di Geometria con l uso dell Algebra: la traduzione geometrica di identità algebriche; la algebrizzazione di proprietà delle figure geometriche; l uso di equazioni e sistemi per risolvere problemi nati dalla Geometria. II. Operazioni esterne o azioni: azione sinistra di un insieme Ω su un insieme X; le funzioni associate da X ad X e la rappresentazione associata all azione. L azione associata ad una rappresentazione di un insieme Ω su un insieme X. La struttura Ω- insieme X. Breve richiamo delle nozioni di base: Ω-sottoinsiemi, la loro intersezione, Ω sottoinsieme generato da un sottoinsieme, il reticolo degli Ω-sottoinsiemi; relazioni d equivalenza compatibili con l azione, Ω insieme quoziente; Ω funzioni (o Ω -morfismi) tra Ω insiemi, il teorema di Ω omomorfismo (enunciato e dimostrazione lasciati per esercizio); Ω endomorfismi ed Ω automorfismi di un Ω insieme; prodotto diretto di Ω insiemi. Azione di strutture su strutture e condizioni di compatibilità: azione di un insieme su una struttura, di una struttura su un insieme; di una struttura su un altra. Esempio: l azione di un anello A su un gruppo abeliano (V,+): l anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano, le condizioni di compatibilità, la definizione di A-modulo; il caso di un campo K e i K- spazi vettoriali. 28/4 (2 ore, 11-13, progr. 41). I. Alcune proprietà degli spazi vettoriali. Gli ideali come A-sottomoduli del gruppo additivo di un anello. Azione di un gruppo su un insieme e rappresentazione associata: orbita e stabilizzatore di un oggetto e relazioni fra di essi; azioni transitive. Il nucleo della rappresentazione come intersezione degli stabilizzatori; azioni fedeli. II. Azione di un gruppo su un insieme e sui sottoinsiemi dell insieme. Esempi di azioni: l azione per coniugio di un gruppo sul suo insieme sostegno: le classi di coniugio ed i centralizzanti; l azione per coniugio come azione del gruppo su se stesso: automorfismi interni e loro gruppo; il centro del gruppo. L azione per coniugio sui sottogruppi. Azione del gruppo delle isometrie piane sull insieme dei punti del piano: orbita e stabilizzatore di un punto; l azione sulle figure: orbita di una retta. 30/4 (2 ore, 11-13, progr. 43). I. Riepilogo sull azione di un gruppo su un insieme e su quella per coniugio. Stabilizzatori coniugati degli elementi di una stessa orbita. Caratterizzazione dei sottogruppi normali. Altri esempi di azioni dei gruppi di trasformazioni sulle figure piane, il gruppo del quadrato. II. Ampliamenti algebrici di un sottocampo K del campo complesso: elementi, base

6 e dimensione come K-spazi vettoriali. Ampliamenti successivi, basi e prodotto delle dimensioni. Il caso della radice cubica di 2 e della radice quadrata di -3 rispetto al campo razionale. 5/5 (2 ore, 11-13, progr. 45). I. Risolubilità per radicali di una equazione algebrica, cenni storici sulle formule risolutive per il grado 4; casi particolari: equazioni biquadratiche e reciproche di grado 4. Il teorema di Ruffini-Abel (en.). Polinomi irriducibili e radici multiple. Ampliamenti normali di un sottocampo del campo complesso. Il campo K dei coefficienti ed il campo F delle radici di un polinomio monico f a radici semplici; la dimensione finita di F come K-spazio vettoriale. II. Il gruppo di Galois G del polinomio f come gruppo degli automorfismi di F che inducono l identità su K; l azione fedele di G sull insieme delle radici di f; l ordine finito di G, uguale a la dimensione di F rispetto a K (en.). Serie subnormali di un gruppo: termini, fattori; raffinamenti e serie di composizione; i fattori di composizione sono gruppi semplici (en.). Serie abeliane e gruppi risolubili; il caso finito e le serie di composizione a fattori ciclici d ordine primo. Gli esempi dei gruppi simmetrici S_n: loro risolubilità per n 4, semplicità dei gruppi alterni A_n per n 5 (en.) e non risolubilità dei gruppi S_n per n 5. Il teorema di Galois sulla risolubilità di una equazione per radicali collegata alla risolubilità del suo gruppo di Galois (en.) 7/5 (2 ore, 11-13, progr. 47). I. Rilevazione della didattica. Seminario di Cattarina e Zamagni sui numeri razionali nella scuola media e superiore definizioni, equivalenza, operazioni, ordinamento, numeri decimali periodici, numeri negativi, i razionali e la retta reale. II. Seminario di Agostini, Ricchiuti e Baccolini sui radicali nei testi di scuola superiore: definizioni, manipolazioni e semplificazioni, razionalizzazioni, operazioni, radicali numerici e letterali, radicali aritmetici ed algebrici; breve discussione sui radicali algebrici, sulle dimostrazioni, sull ordine di esposizione degli argomenti. 8/5 (1 ora, 11-12, progr. 48). Maggiori dettagli sulla corrispondenza di Galois tra il reticolo dei campi intermedi fra il campo K dei coefficienti ed il campo F delle radici, e i sottogruppi del gruppo di Galois; successioni di ampliamenti normali di K e serie subnormali di G. Altri problemi sui polinomi: cenni sulla limitazione e separazione delle radici. La regola di Cartesio per il trinomio di secondo grado. 12/5 (2 ore, 11-13, progr. 50) Seminario di Gianpieretti, Ciobanu, Villanelli, Carella, Santa Maria sui sussidii informatici nell insegnamento della Matematica nelle scuole inferiori e superiori: un nuovo modo di concepire l insegnamento e la struttura stessa delle classi e delle ore di lezione, le scuole 2.0 e le loro attività; l uso di sussidii informatici (tablet, internet, Lim). II. (Seguito seminario) Presentazione anche con filmati delle attività in alcune scuole di varie regioni italiane; la necessità e la selezione di insegnanti ben preparati e motivati per impostare e seguire attività così innovative. Breve discussione. 14/5 (2 ore, 11-13, progr. 52) Seminario di Gioiosa, Carruggio e Simone su relazioni d equivalenza e d ordine nelle scuole medie inferiori e superiori: il concetto di relazione fra insiemi e in un insieme, loro rappresentazioni grafiche e tabulari, proprietà principali; relazioni d equivalenza con esempi geometrici; relazioni d ordine e diagrammi di Hasse, esercizi proposti. II. Seminario di Guerra, Carpani, Strada sulle trasformazioni geometriche nei testi di scuola media e superiore: definizioni e costruzioni di isometrie: traslazioni, rotazioni, simmetrie assiali e centrali; composizione di trasformazioni; le

7 similitudini; commenti su un argomento poco trattato, ma presente nelle prove Invalsi, e osservazioni sulla mancanza della nozione di gruppo di trasformazioni. 15/5 (1 ora, 11-12, progr. 53). Applicazioni della teoria di Galois: cenni ai problemi risolubili con riga e compasso: ampliamenti quadratici successivi di un campo e gruppo di Galois. Il campo delle coordinate dei punti iniziali; l equazione della retta e della circonferenza; l intersezione di rette e circonferenze e radicali quadratici. Il teorema riassuntivo. La duplicazione del cubo; cenni sulla costruzione di poligoni regolari inscritti in una circonferenza di dato raggio e altri problemi. Commenti finali. FINE DEL CORSO.