ELEMENTI DI ALGEBRA d.p.d.v.s

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1 ELEMENTI DI ALGEBRA d.p.d.v.s OBIETTIVO. : COMPRENDERE L ENUNCIATO DEL TEOREMA DI GALOIS: Un equazione algebrica f(x) = 0 è risolubile per radicali se e solo se il suo gruppo di Galois è risolubile..equazione ALGEBRICA. : problema della ricerca degli zeri di un polinomio..polinomi. : definizione come funzioni, successioni di coefficienti, elementi di una estensione trascendente dell anello dei coefficienti, parole (o espressioni) in un determinato alfabeto. 1

2 POLINOMI COME FUNZIONI: Funzioni tra insiemi, operazioni, strutture algebriche; il piano cartesiano, funzioni di variabile reale. Il campo complesso. Radici e molteplicità, fattorizzazione in R e C. APPROFONDIMENTI: rappresentazioni delle funzioni nel continuo e nel finito. APPLICAZIONI: polinomi di Taylor; polinomi di interpolazione e regressione; polinomio caratteristico di una matrice. Polinomi in più indeterminate e loro zeri. ARGOMENTI SCOLASTICI CORRELATI: funzioni tra insiemi; il piano cartesiano; funzioni di variabile reale, operazioni e grafici; polinomi e loro algebra; fattorizzazione di polinomi; equazioni e radici; rette e coniche nel piano cartesiano. 2

3 POLINOMI COME SUCCESSIONI DI COEFFICIENTI: Successioni in un anello, il sottoanello dei polinomi. APPROFONDIMENTI: successioni esplicite o ricorsive in R e loro proprietà algebriche e analitiche. Polinomi e funzioni polinomiali in un anello, il principio d identità. APPLICAZIONI: La regola di Ruffini-Hörner ARGOMENTI SCOLASTICI CORRELATI: progressioni aritmetiche e geometriche, fattoriale, coefficienti binomiali. Ordinamento crescente o decrescente di un polinomio, regola di Ruffini. 3

4 POLINOMI COME ELEMENTI DI UNA ESTENSIONE TRASCENDENTE DI UN ANELLO: Sottoanello generato, isomorfismo di anelli, elementi algebrici e trascendenti. L omomorfismo sostituzione. APPROFONDIMENTI: ideali massimali; estensione algebrica di un campo mediante un polinomio irriducibile; il campo di spezzamento di un polinomio. APPLICAZIONI: la costruzione del campo complesso. ARGOMENTI SCOLASTICI CORRELATI: numeri complessi, radicali, formule risolutive delle equazioni. 4

5 POLINOMI COME ESPRESSIONI: Alfabeti e linguaggi, regole di formazione delle parole; monomi e loro proprietà; polinomi come parole nell alfabeto dei monomi. APPROFONDIMENTI: le lettere (o altri oggetti) per costruire monoidi e gruppi astratti, mediante concatenazione di parole e regole del gioco o relazioni. APPLICAZIONI: la presentazione di un gruppo. ARGOMENTI SCOLASTICI CORRELATI: il calcolo letterale. 5

6 REQUISITI PER LA COMPRENSIONE DEL GRUPPO DI GALOIS DI UN POLINOMIO: Azione di un gruppo su un insieme e nozioni collegate; generatori di una struttura; campo dei coefficienti e campo di spezzamento di un polinomio; automorfismi di un campo. APPROFONDIMENTI: operazioni esterne o azioni tra insiemi e rappresentazioni associate; azioni di una struttura su un altra e compatibilità. APPLICAZIONI: spazi vettoriali, A-moduli, azione per coniugio; il teorema di Sylow per i gruppi finiti, gruppi lagrangiani ; gruppi di trasformazioni sul piano. ARGOMENTI SCOLASTICI CORRELATI: azione del gruppo delle isometrie piane sul piano euclideo e sulle figure; figure simili. 6

7 REQUISITI PER LA COMPRENSIONE DEL TEOREMA DI GALOIS: Serie subnormali, gruppi risolubili; semplicità dei gruppi alterni; estensioni normali di un campo. APPROFONDIMENTI: proprietà dei gruppi risolubili. APPLICAZIONI: costruzioni con riga e compasso. ARGOMENTI SCOLASTICI CORRELATI: metodi risolutivi di alcune equazioni di grado superiore al secondo; costruzioni geometriche, anche con l ausilio di software. 7