COMPITO DI STRUTTURE ALGEBRICHE 17 gennaio Sia G un gruppo e K un suo sottogruppo caratteristico. Dimostrare che:

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1 17 gennaio Siano σ = (1 2 3), τ = (1 3 4) S 4. (i) Determinare un elemento α S 4 tale che ασα 1 = τ; (ii) determinare il sottogruppo di S 4 generato da σ e τ; (iii) determinare il centralizzatore di στ 1 ; (iv) determinare il normalizzatore del sottogruppo H = στ 1, σ 1 τ. 2. Sia G un gruppo e K un suo sottogruppo caratteristico. Dimostrare che: (i) C(K) = {g G gk = kg k K} è un sottogruppo caratteristico di G; (ii) Aut(K) contiene un sottogruppo isomorfo a G/C(K). 3. Sia A l anello delle funzioni f : N Z, dotato delle operazioni (f + g)(n) = f(n) + g(n), (fg)(n) = f(n)g(n) n N. (i) A è un dominio di integrità? (ii) Per ogni sottoinsieme X di N, sia I(X) l ideale di A definito da I(X) = {f A f(x) = 0 x X}. Dimostrare che, se I(X) è un ideale primo, allora X ha al più un elemento; (iii) I({0}) è primo? I({0}) è massimale? 4. Sia f(x) = X Determinare il campo di spezzamento ed il gruppo di Galois di f(x) su Q e su F 5.

2 3 febbraio Sia f : G G un omomorfismo di gruppi e sia H un sottogruppo di G. Sia Dimostrare che (i) K H è un sottogruppo di G; (ii) H normale = K H normale. È vero che K H normale = H normale? K H = {g G f(gh) = f(hg) h H}. 2. Siano m, n interi positivi e sia G un gruppo abeliano di ordine 2 m 3 n, denotato additivamente. Dimostrare che sono equivalenti: (i) G è ciclico; (ii) G 6 = {x G 6x = 0} è ciclico; (iii) i sottogruppi H = {2x x G} e K = {3x x G} sono entrambi ciclici. 3. Sia A = Z[i] l anello degli interi di Gauss. (i) Dimostrare che, se I {0} è un ideale di A, allora A/I è un anello finito. (ii) Determinare tutti gli ideali di A/(12) e dire quali di essi sono primi. 4. Sia f(x) = (X 3 + X) Determinare il campo di spezzamento ed il gruppo di Galois di f(x) su Q, su F 3 e su F 5.

3 6 giugno Siano σ = (a 1,..., a m ), τ = (b 1,..., b n ) due cicli disgiunti di S k, con (m, n) = 1. Dimostrare che Z(στ) = Z(σ) Z(τ) (con Z(σ) denotiamo il centralizzatore di σ). Per quali valori di m il centralizzatore di (1,..., m) in S 10 è contenuto in A 10? 2. Sia p un numero primo e siano A = Z/p 3 Z Z/pZ, B = Z/p 2 Z Z/p 2 Z. Sia Hom(A, B) il gruppo degli omomorfismi da A in B, con l operazione definita da (f + g)(x) = f(x) + g(x) per ogni x A. Calcolare l ordine di Hom(A, B) e dimostrare che Hom(A, B) = Hom(B, A). 3. Sia f : A B un omomorfismo surgettivo di anelli commutativi con unità. (i) Se M è un ideale massimale di A, è vero che f(m) è necessariamente un ideale massimale di B? (ii) Se N è un ideale massimale di B, è vero che f 1 (N) è necessariamente un ideale massimale di A? (iii) È vero che tutti gli ideali massimali N di B sono della forma N = f(m), con M ideale massimale di A opportuno? (iv) È vero che tutti gli ideali massimali M di A sono della forma M = f 1 (N), con N ideale massimale di B opportuno? 4. Sia f(x) = (X 4 5)(X 4 20). Detto K il campo di spezzamento di f(x) su Q, determinare: (i) [K : Q]; (ii) tutte le sottoestensioni L K tali che [L : Q] = 2. Determinare inoltre il gruppo di Galois del campo di spezzamento di f(x) su F 7.

4 27 giugno Sia f : G G un omomorfismo surgettivo di gruppi. Dimostrare che, dato comunque un omomorfismo surgettivo g : G G tale che ker g = ker f, esiste un automorfismo ϕ di G tale che g = ϕ f. Dato un automorfismo ϕ di G, esiste sempre un omomorfismo surgettivo g : G G con ker g = ker f e tale che g = ϕ f? 2. Sia G = D 100 il gruppo diedrale di ordine 200. Determinare tutti i sottogruppi di G di ordine 4 e tutti i sottogruppi di G di indice 4. Dire quali tra essi sono sottogruppi normali e determinare la struttura dei relativi gruppi quoziente. 3. Sia A un dominio d integrità, sia S un sottoinsieme moltiplicativamente chiuso di A tale che 1 S e 0 S, e sia S 1 A l anello delle frazioni. Identifichiamo A con un sottoinsieme di S 1 A e sia I un ideale di A. (i) È vero che S 1 I = S 1 I? (ii) È vero che S 1 I A = I? (iii) Dimostrare che, se P è un ideale primo di A con P S =, allora S 1 P A = P. 4. Siano f(x) = X 4 2 e g(x) = X 6 2 polinomi a coefficienti razionali e siano F, K i campi di spezzamento rispettivamente di f(x) e g(x). Determinare i gradi di F, K, F K su Q e i gruppi Gal(F/F K) e Gal(K/F K).

5 10 settembre Sia σ = ( ) S 6. Determinare Z(σ), N(σ), N(N(σ)). 2. Sia G un gruppo e sia ϕ : G G un omomorfismo tale che ϕ 2 = ϕ. Dimostrare che G è isomorfo ad un prodotto semidiretto di ker ϕ e Im ϕ. 3. Sia A un dominio a ideali principali e siano I, J due ideali di A. Dimostrare che (I + J) 2 = I 2 + J Sia f(x) = (X 2 + 1) Determinare il grado del campo di spezzamento e il gruppo di Galois di f(x) su Q e su F 5.

6 24 settembre Sia G un gruppo finito e siano x, y elementi di G di ordine rispettivamente m ed n. Posto H = x, y, dimostrare che: (i) [m, n] ord(h); (ii) se H è ciclico, allora ord(h) = [m, n]. 2. Sia n 1 e sia G un gruppo di ordine 3 n. Sia f un automorfismo di G di ordine 3. (i) Dimostrare che H = {x G f(x) = x} è un sottogruppo di G diverso da {e}; (ii) determinare H nel caso in cui G sia ciclico di ordine Sia A un dominio d integrità e sia S un suo sottoinsieme moltiplicativamente chiuso (0 S, 1 S). Sia J un ideale di S 1 A e sia I = {x A x J}. Dimostrare che 1 (i) esiste un omomorfismo iniettivo ϕ : A/I S 1 A/J; (ii) se I è un ideale massimale di A, allora J è un ideale massimale di S 1 A. 4. Sia K un campo, sia f(x) = X 4 2X + 2 K[X] e sia α una radice di f(x) in una chiusura algebrica di K. Determinare: (i) per K = Q, [Q(α 2 ) : Q]; (ii) per K = F 3, [F 3 (α) : F 3 ].