Funzioni iperboliche.

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1 Funzioni iperboliche. 1 Definzione Si consideri l iperbole equilatera di equazione x y = 1. 1) Com è noto il suo grafico presenta due asintoti nelle rette di equazione y = ±x ed interseca l asse delle ascisse nei punti 1, 0) e 1, 0). Il grafico è riportato in figura. Dall equazione 1), osservando che vale sempre x y, si ottiene facilmente x + y)x y) = 1 x + y = 1 x y. ) Si considerino ora i soli punti del ramo di destra. Si osservi che per tali punti vale x + y > 0 e x y > 0, esiste quindi un α R tale che Sommando e sottraendo fra loro queste due equazioni si trova x + y = e α, x y = e α. 3) x = eα + e α, y = eα e α Le funzioni di α cosí definite si dicono funzioni iperboliche e sono denotate dai simboli cosh α = eα + e α, senh α = eα e α. 4). 5) Questi simboli richiamano cosí apertamente le funzioni goniometriche a causa della relazione, derivata da 1), cosh α senh α = 1. 6) Si vede cosí che le funzioni iperboliche si comportano rispetto all iperbole in modo esattamente analogo a come le funzioni goniometriche per questo dette anche funzioni circolari) si comportano rispetto alla circonferenza di equazione x + y = 1. La relazione fra funzioni iperboliche e circolari diventa ancora piú precisa ricordando la rappresentazione complessa delle funzioni di queste ultime. Si ricorda che questa discende dalla relazione fondamentale che esprime un numero complesso in termini di funzioni goniometriche: e iβ = cos β + i sen β 7) 1

2 da questa, e dalla sua complessa coniugata e iβ = cos β i sen β, discendono immediatamente le relazioni cos β = eiβ + e iβ, sen β = eiβ e iβ i. 8) È possibile ottenere una relazione fra funzioni circolari e iperboliche ponendo nelle precedenti relazioni α = iβ β = iα): cos iα) = eα + e α = cosh α, sen iα) = eα e α i = i senh α 9) e quindi cos iα) = cosh α, sen iα) = i senh α. 10) Valgono inoltre formule di addizione e di duplicazione analoghe alle corrispondenti per le funzioni circolari: senhα ± β) = senh α cosh β ± cosh α senh β, senh α = senh α cosh α coshα ± β) = cosh α cosh β ± senh α senh β, cosh α = cosh α + senh α. 11) Grafico Si studi ora il grafico delle funzioni iperboliche y = senh x e y = cosh x. Il loro dominio è l intero asse reale. fx) = senh x è funzione dispari, passa per l origine e non ha altre intersezioni con l asse delle ascisse. È positiva per x > 0 e negativa per x < 0. fx) = cosh x è funzione pari, è sempre positiva, non interseca quindi mai l asse delle ascisse e interseca l asse delle ordinate nel punto di coordinate 0, 1). Valgono i seguenti limiti: Studiamo le derivate prima e seconda. lim senh x = ±, lim cosh x = +. 1) x ± x ± D senh x = D ex e x = ex + e x = cosh x, D cosh x = D ex + e x = ex e x = senh x. 13) Quindi la derivata di senh x è sempre positiva e quindi la funzione è sempre crescente, mentre la derivata di cosh x è positiva per x > 0 e negativa per x < 0 e quindi la funzione ha un minimo in x = 0. D senh x = D cosh x = senh x, D cosh x = D senh x = cosh x. 14) Quindi la derivata seconda di senh x è positiva per x > 0 e negativa per x < 0, quindi la funzione ha la concavità volta verso l alto per x > 0 e verso il basso per x < 0; vi è quindi un flesso nell origine. Poiché cosh0) = 1, la tangente nel flesso ha coefficiente angolare 1. La derivata seconda di cosh x invece è sempre positiva quindi la funzione non ha flessi e ha la concavità sempre volta verso l alto. Seguono i grafici delle due funzioni.

3 3 Funzioni inverse La funzione y = senh x è monotona crescente per ogni intervallo reale, ha come dominio e come codominio l intero insieme R è quindi invertibile e la sua inversa è definita per ogni x reale. Tale funzione inversa è denotata dal simbolo x = settsenh y. Per ricavarne l equazione cartesiana occorre invertire la relazione funzionale di y = senh x: y = ex e x e x ye x 1 = 0 e x = y ± y ) Poiché e x è positivo l unico segno permesso è quello positivo, quindi x = log y + ) y ) Esprimendo questa equazione, come d uso, scambiando i ruoli di x e y, si trova settsenh x = log x + ) x ) La funzione cosh x invece non è iniettiva, quindi per invertirla è necessario restringerne dominio e codominio. Dall esame del grafico si può dedurre che è invertibile con la restrizione cosh : {x 0} {y 1} per ottenere settcosh : {y 1} {x 0}. 18) Con queste limitazioni, si inverta la relazione funzionale y = cosh x: y = ex + e x Come si può verificare risolvendo la disequazione irrazionale e x ye x + 1 = 0 e x = y ± y 1. 19) x 0 e x 1 y ± y 1 1, 0) l unica scelta compatibile con le limitazioni sopra scelte è quella del segno positivo, quindi x = log y + ) y 1. 1) Esprimendo questa equazione, come d uso, scambiando i ruoli di x e y, si trova settcosh x = log x + ) x 1. ) In figura sono riportati i grafici delle funzioni inverse. 3

4 È conveniente ricavare le derivate di queste funzioni inverse, soprattutto per le applicazioni nella ricerca delle primitive di certe funzioni irrazionali. Usando il teorema di derivazione della funzione inversa si ottiene: D settsenh x = 1 senh y = 1 cosh y = 1 senh y + 1 = 1 x + 1 3) D settcosh x = 1 cosh y = 1 senh y = 1 cosh y 1 = 1 x 1. 4) Si sarebbero potute derivare anche le espressioni 17) e ) ottenendo un risultato identico. Infine converrà menzionare che è possibile definire anche una funzione tangente iperbolica: fx) = tgh x = senh x cosh x = ex e x e x. 5) + e x Questa funzione ha per dominio l intero R, è dispari e passa per l origine. I limiti all infinito sono: lim tgh x = ±1 ; 6) x ± la funzione ha quindi due asintoti orizzontali: la retta y = 1 a sinistra e la retta y = +1 a destra. Le derivate prime e seconde sono: 1 D tgh x = cosh x, 7) che è positiva per ogni x R, e D tgh x = tgh x cosh x, 8) che è positiva per x > 0 e negativa per x < 0; quindi la funzione è sempre crescente ed ha un flesso nell origine, essendo concava verso l alto per x < 0 e verso il basso per x > 0. Poiché D tgh0) = 1, la tangente al flesso ha coefficiente angolare 1. Questa funzione è invertibile se si restringe il codominio all intervallo ] 1, 1 [ e la sua inversa, ivi definita ha equazione cartesiana 1 + x y = setttgh x = log 1 x. 9) Il grafico della funzione e della sua inversa sono riportati in figura. 4

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