di una grandezza con densità

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1 Integrali curvilinei Problema: se una grandezza è distribuita su una curva oppure su una superficie ed ha densità f (P ), come misurare la quantità totale di tale grandezza su osu? Gli strumenti sono l integrale curvilineo el integrale superficiale (di prima specie): f ds = quantità totale contenuta in (d) () () di una grandezza con densità lineare (superficiale) Serve innanzitutto definire curve e superfici su cui integrare. f : () R. Curve parametriche Definizione. Chiamiamo curva parametrica l immagine =im di una qualsiasi funzione vettoriale : I t R n definita e continua su un intervallo I. (t) =( 1 (t),..., n (t)) La funzione prende l intervallo I e lo dispone punto per punto in R n senza strappi èun insieme di punti di R n (i punti assunti) che in qualche modo rispecchia l idea intuitiva di curva. Per esprimere che i punti di sono (x 1,..., x n )=( 1 (t),..., n (t)), siscriveanche x 1 = 1 (t) : x n = n (t), t I (n-upla di equazioni parametriche della curva ). si dice anche sostegno di, la quale si dice anche parametrizzazione di (dà un modo di descrivere ipuntidi tramite un parametro). Le funzioni componenti 1 (t),..., n (t) di si indicano spesso con x 1 (t),..., x n (t). Se n =2, 3 si indicano più sovente con (x (t),y(t)) e (x (t),y(t),z(t)).

2 Punto di vista cinematico: ilparametrot può essere interpretato come tempo e allora èlalegge oraria del moto del punto mobile (t), dicui =im èlatraiettoria (luogo delle posizioni occupate durante il moto). Nota bene: ogni curva parametrica ammette infinite parametrizzazioni (= modi diversi di percorrere la stessa traiettoria). Esempi.

3 Archi regolari Definizione. Una curva parametrica è un arco se ammette una parametrizzazione :[a, b] R n definita su un intervallo compatto [a, b]. Intuitivamente: gli archi sono le curve che possono essere descritte da un punto mobile (t) che parte da una posizione (a) e termina su un altra (b). Non tutte le curve sono archi (si dimostra che un arco è sempre un insieme compatto). È sottinteso che per gli archi useremo solo parametrizzazioni definite su intervalli [a, b]. Definizione. Un arco è semplice se ammette una parametrizzazione :[a, b] R n tale che t1 = a t 1 t 2 : (t 1 )=(t 2 ) = t 1 = t 2 oppure t 2 = b (ad es. iniettiva). Una tale parametrizzazione è detta parametrizzazione semplice. Intuitivamente: gli archi semplici sono quelli che non hanno autointersezioni, cioè che possono essere descritti da punti mobili (t) che non ripassano mai dalla stessa posizione, fatta eventualmente eccezione per gli istanti iniziale t = a e finale t = b del moto. arco semplice arco semplice arco non semplice arco non semplice

4 Si dimostra che un arco semplice può essere solo di due tipi: esistono due punti A, B diversi ogni parametrizzazione semplice di tali che ogni parametrizzazione semplice di ètaleche (a) = (b) parte da A eterminainb o viceversa si dice che èunarco aperto di estremi A e B si dice che èunarco chiuso (o arco di Jordan) Conlesoledefinizioni date finora, gli archi possono essere insiemi abbastanza strani (v. funzione di Weierstrass o curva di Peano 1 ). Def. Un arco è regolare se ammette una parametrizzazione :[a, b] R n tale che (i) è semplice (ii) C 1 ([a, b]) (ii) t (a, b) risulta (t) = 0. Una tale parametrizzazione è detta parametrizzazione regolare. 1 it.wikipedia.org/wiki/funzione_di_weierstrass, it.wikipedia.org/wiki/curva_di_peano

5 Esempio notevole. Se f :[a, b] R è di classe C 1 allora il suo grafico y = f (x) èun arco regolare, con parametrizzazione regolare standard (t) =(t, f (t)) con t [a, b]. Infatti... La nozione di regolarità è strettamente collegata alla presenza della retta tangente. Sia :[a, b] R n una parametrizzazione regolare di un arco esianot 0,t 0 +h (a, b). Il vettore (t 0 + h) (t 0 ) èsecantea nei punti (t 0 + h) e (t 0 ). h Per h 0 si ha che (t 0 + h) =( 1 (t 0 + h),..., n (t 0 + h)) ( 1 (t 0 ),..., n (t 0 )) = (t 0 ) ( continua in t 0 )e (t 0 + h) (t 0 ) h 1 (t 0 + h) = 1 (t 0 ),..., n (t 0 + h) n (t 0 ) h h ( 1 (t 0 ),..., n (t 0 )) = (t 0 ) ( derivabile in t 0 ), cioè il punto (t 0 + h) tende al punto (t 0 ) ed il vettore secante tende al vettore (t 0 ) = 0, che pertanto è detto vettore tangente a in (t 0 ) relativo a.

6 Definizione. Si chiama retta tangente a in (t 0 ) la retta passante per (t 0 ) e parallela al vettore (t 0 ) = 0. La retta tangente non dipende dalla parametrizzazione regolare : se :[a, b] R n è tale che t 0 = (t0 ) con t 0 (a, b), allora si dimostra che t 0 è parallelo a (t 0 ). Un arco regolare ha dunque retta tangente in punto, tranne eventualmente (a) e (b). Tale retta dipende con continuità dal punto di tangenza ( C 1 ) e perciò la curva appare liscia ovunque, tranne eventualmente in un punto. Integrali curvilinei di prima specie Motiviamolalorodefinizione intuitivamente, in relazione al loro significato fisico. Siano un arco regolare e :[a, b] R n una sua parametrizzazione regolare. Fissiamo t (a, b) ed un incremento dt > 0 infinitesimo, e consideriamo i punti (t) e (t + dt) e la lunghezza ds (in senso intuitivo) del sottoarco che li unisce. Perlacontinuitàdi, è ragionevole approssimare ds (t + dt) (t). Per la derivabilità di, siha (t + dt) (t) = (t) dt + o (dt) dt0 equindi ds (t + dt) (t) (t) dt = (t) dt (in altri termini, stiamo approssimando l arco che unisce (t) e (t + dt) con il segmento secante negli stessi punti, e poi con il segmento di tangente lungo (t) dt).

7 Supponiamo che su sia distribuita una massa con densità lineare f : R continua. Poiché dt èinfinitesimo, su tutto il sottoarco di che unisce (t) e (t + dt) risulta: f costante = f ( (t)). La massa di tale sottoarco sarà allora: f ( (t)) ds f ( (t)) (t) dt. Per l interpretazione dell integrale come somma di contributi infinitesimi, si avrà infine: massa di b a f ( (t)) (t) dt. Def. Siano R n un arco regolare ed f :domf R n R un campo scalare continuo su. Sichiamaintegrale curvilineo (di prima specie) di f lungo il numero fds:= b a f ( (t)) (t) dt = b a f (x 1 (t),..., x n (t)) [x 1 (t)] [x n (t)] 2 dt dove :[a, b] R n è una qualsiasi parametrizzazione regolare di. L integrale curvilineo di prima specie: esiste sempre e si calcola attraverso la definizione; si dimostra che risulta indipendente dalla scelta della parametrizzazione regolare. Si denota anche con f (P ) o f (x 1,..., x n ) al posto di f e, quando si fosse già scelta una parametrizzazione regolare di, anche con al posto di.

8 Esempio. Calcolare l integrale di f (x, y, z) =xy 2 z lungo l arco : x 2 + y 2 =1 z =2 x 0. Lunghezza di un arco regolare Le considerazioni fatte all inizio (ds (t) dt) motivano anche la seguente: Definizione. Chiamiamo lunghezza di un arco regolare R n l integrale curvilineo lungo della funzione costantemente uguale ad 1, ossia il numero () := b a (t) dt = 1 ds dove :[a, b] R n è una qualsiasi parametrizzazione regolare di.

9 Integrali curvilinei di seconda specie (o di lavoro o di linea) Problema. Supponiamo di avere un campo di forze F (nel piano o nello spazio) entro il quale si muove un punto materiale P (non necessariamente sotto la sola azione di F). Se F ècostante(inmodulo,direzioneeverso)elatraiettoriadip è rettilinea, allora il lavoro compiuto dalla forza è L = F r, dover è il vettore spostamento subito da P. Se però la forza F non è costante, oppure la traiettoria di P non è rettilinea, come determinare il lavoro compiuto da F per P che si sposta lungo la propria traiettoria? La schematizzazione matematica è: campo di forze campo vettoriale F :domf R n R n traiettoria del moto arco regolare R n verso del moto orientamento di Orientamento di archi regolari Ci accontentiamo di una definizione intuitiva. può essere solo di 2 tipi (aperto o chiuso), ciascuno dei quali può essere evidentemente percorso solo in 2 modi diversi, detti opposti tra loro. chiuso aperto Orientare signifca scegliere uno dei suoi versi di percorrenza come privilegiato, chiamandolo verso positivo. Il verso opposto si dirà negativo. Per archi aperti orientati si può parlare di estremo iniziale ed estremo finale. Una parametrizzazione di un arco orientato è concorde/discorde con l orientamento scelto se al crescere del parametro t il punto (t) si muove in verso positivo/negativo.

10 Integrali curvilinei di seconda specie (o di lavoro o di linea) Introduciamo euristicamente la definizione matematica che risponde al problema iniziale. Siano un arco regolare orientato e :[a, b] R n una sua parametrizzazione regolare concorde con l orientamento scelto. Fissiamo un istante t (a, b) ed un incremento dt > 0 infinitesimo. Il sottoarco infinitesimo che va da (t) a (t + dt) può essere pensato rettilineo e quindi confuso con il vettore spostamento (t + dt) (t), il quale può essere approssimato con lo spostamento tangente (t) dt. Supponiamo che su sia definito un campo di forze F : R n continuo. Siccome dt èinfinitesimo, su tutto il sottoarco di che unisce (t) e (t + dt) sarà: F costante = F ( (t)). Il lavoro compiuto da F su tale sottoarco è allora: F ( (t)) ( (t + dt) (t)) F ( (t)) (t) dt. Per l interpretazione dell integrale come somma di contributi infinitesimi, si ha infine: lavoro di F lungo b a F ( (t)) (t) dt.

11 Definizione. Sia R n un arco regolare orientato esiaf :domf R n R n un campo vettoriale continuo su. Si chiama lavoro (o integrale di linea o integrale curvilineo di seconda specie) di F lungo il numero F dp := b a F ( (t)) (t) dt = b a F (x 1 (t),..., x n (t)) (x 1 (t),..., x n (t)) dt dove :[a, b] R n è una qualunque parametrizzazione regolare e concorde di. L integrale curvilineo di seconda specie: esiste sempre e si calcola attraverso la definizione; si dimostra che è indipendente dalla scelta della parametrizzazione regolare e concorde, mentre cambiasegnoselaparametrizzazioneèdiscorde. Si denota anche con F (P ) o F (x 1,..., x n ) al posto di F e, quando si fosse già scelta una parametrizzazione di, anche con al posto di. Se è chiuso, si usa spesso al posto di esiparladicircuitazione di F lungo. Esempio. Calcolare il lavoro del campo F (x, y) =(y, x) lungo l arco di parabola y = x 2, x [0, 2].

12 Estensione ad archi regolari a tratti Integrare solo su archi regolari è limitante, perciò introduciamo gli archi regolari a tratti. Intuitivamente: sono cammini che uniscono 2 punti, percorrendo più archi regolari (tratti) senza ripassare mai dalla stessa posizione (tranne, eventualmente, per inizio e fine). Definizione. R n èunarcoregolare a tratti seèl unione = 1... k di un numero finito di archi regolari aperti 1,..., k,chechiamiamotratti di, taliche ciascun tratto interseca almeno 1 degli altri tratti; ogni intersezione di 2 tratti è un estremo di entrambi e di nessuno degli altri tratti. Se ogni tratto condivide ambo gli estremi con altri tratti, allora diremo che è chiuso; diversamente (cioè se esistono tratti con un estremo non condiviso con alcun altro tratto), diremo che è aperto ed i 2 punti che sono estremi di 1 solo tratto sono gli estremi di. archi regolari a tratti archi non regolari a tratti Nulla vieta di scomporre in tratti un arco regolare e vederlo come arco regolare a tratti. Di conseguenza la scomposizione in tratti di un arco regolare a tratti non è unica.

13 Cosa significa orientare un arco regolare a tratti? Intuitivamente: significa orientare ciascun tratto in modo tale da ottenere un verso di percorrenza su tutto l arco. Definizione. Se = 1... k è una qualunque scomposizione in tratti di, allora orientare significa orientare ciascun tratto i in modo che ogni punto di intersezione di due tratti sia punto finale di uno e iniziale dell altro. Ciò può essere fatto solo in due modi diversi e quindi anche per gli archi regolari a tratti esistono solo 2 orientamenti possibili (detti opposti), i quali corrispondono ancora all idea intuitiva di due versi di percorrenza diversi. Per archi regolari a tratti aperti orientati, si può ancora parlare di estremi iniziale e finale. Definizione. Sia = 1... k R n un arco regolare a tratti. Se f :domf R n R è un campo scalare continuo su, allorasipone fds:= k i=1 i fds e () := k ( i ). i=1 Se è orientato ed F :domf R n R n è un campo vettoriale continuo su, allora si pone F dp := k i=1 i F dp. fds, F dp ed (): esistono sempre e sicalcolanoattraversoladefinizione, cioè parametrizzando ciascun tratto e sommando i risultati ottenuti; si dimostra che non dipendono dalla scomposizione in tratti di.

14 Baricentro e centroide di un arco Tramite l integrale curvilineo, le definizioni di baricentro e centroide si estendono in modo del tutto naturale agli archi: se R n è un arco regolare a tratti su cui sia definita una densità lineare di massa µ : R continua, allora si chiama baricentro di il punto G =(x 1,..., x n ) di coordinate x i := x i µ (x 1,..., x n ) ds µ (x 1,..., x n ) ds, i =1,..., n, il quale viene detto centroide se µ =1. Teorema di Green Definizione. Chiamiamo dominio di Green ogni dominio di integrazione compatto K R 2 tale che K = e K è unione di un numero finito di archi regolari a tratti (ev. uno solo) chiusi e a due a due disgiunti, detti componenti di K. Per la frontiera di un dominio di Green, cioè per tutte le sue componenti, si assume per convenzione come orientamento positivo il verso di percorrenza che lascia localmente (cioè nell intorno di ogni punto) il dominio K alla propria sinistra (v. figura).

15 Teorema di Green. Sia K un dominio di Green con K orientata positivamente e sia F =(F 1,F 2 ) un campo vettoriale di classe C 1 su K. Se K ha una sola componente, allora F2 K x F 1 dxdy = F dp y K Se K ha più componenti 1,..., k, allora K F2 x F 1 dxdy = y k Nota bene. Le formule possono essere usate nei due sensi. j=1 j F dp. Osservazioni. 1) L integrando a secondo membro è il cosiddetto rotore di F: rot F := F 2 x F 1 y. La formula di Green si riscrive allora come K rot F dx dy = K F dp (1 componente) = k j F dp j=1 (più componenti). 2) Orientando K negativamente, la formula di Green diventa K rot F dx dy = F dp K (1 componente) = k j F dp j=1 (più componenti).

16 Corollario. Se K è un dominio di Green con K orientata positivamente, allora area (K) = 1 (y, x) dp = K (1 componente) k j=1 j (y, x) dp (più componenti). Dim. Il campo F (x, y) =(y, x) soddisfa le ipotesi del teorema di Green su K, quindi (y, x) dp = K K rot F dx dy = K 2 dx dy =2area(K). Analogamente si ottiene: area (K) = (y, 0) dp = (0,x) dp. K K