Campi conservativi e potenziali

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1 Campi conservativi e potenziali Notazioni. Considereremo n = 2, 3 ed indicheremo sempre con: F un campo vettoriale continuo F =(F 1,..., F n ):domf R n R n un aperto connesso di R n Vale il seguente: Teorema. Se R n è aperto connesso, allora è connesso per archi regolari a tratti. un arco regolare a tratti in R n AB AB un arco regolare a tratti in R n,apertoediestremia e B l arco AB orientato da A e B AB l arco AB orientato da B ad A. 1 Definizioni e prime proprietà Definizione 1 Diciamo che F è conservativo in se esiste una funzione U : R tale che U = F in ogni punto di, cioè (U x1,..., U xn )=(F 1,..., F n ) in, cioè U x 1 = F 1,..., Un tale campo scalare U si chiama potenziale di F in. U x n = F n in. Note. 1) Èun estensione dell idea di primitiva: U si dice anche primitiva di F su. Non è più vero che ogni funzione continua ammette primitiva (teorema fondamentale del calcolo integrale), ma si vedranno molte analogie con il caso unidimensionale. 2) Se F èconservativoin, allora ammette infiniti potenziali su ; infatti è ovvio che U potenziale = U + c potenziale, con c R costante arbitraria.

2 Esempio. Se F è radiale, cioèdeltipof (P )=g(r) OP con r = OP e g C ((a, b)), allora F èconservativoedisuoipotenzialisonou (P )=G(r) con G (r) = g (r) rdr. Infatti, essendo r x i = e G (r) =g (r) r, risulta x i x x 2 n = 2x i 2 x x 2 n U x i (P )=G (r) r x i = g (r) r x i r = g (r) x i equindiu (P )=g (r)(x 1,..., x n )=g (r) OP = F (P ). = x i r Teorema 2 (di indipendenza del lavoro dal percorso) Se F è conservativo su, allora AB, AB F dp = U (B) U (A) (e quindi L AB (F) =U (A) U (B)), doveu è un qualsiasi potenziale di F su. Dunque: il lavoro di un campo conservativo lungo un AB (comunque orientato) dipende solo dagli estremi A, B e non dall arco AB che li unisce. Nota. Si tratta di una generalizzazione della formula fondamentale del calcolo integrale: G primitiva di g su [a, b] = b a g (t) dt = G (b) G (a).

3 Dimostrazione. Se AB ha un solo tratto, prendiamo una sua parametrizz. regolare :[a, b] R n tale che (a) =A e (b) =B (quindi concorde con l orientamento dato) 1. Siccome F = U in tutti i punti di e quindi di AB,risulta AB F dp = = b a b a F ( (t)) (t) dt = d dt b a U ( (t)) (t) dt = d dt [U((t))] (reg.catena) [U ( (t))] dt = U ( (b)) U ( (a)) = U (B) U (A). formula fond. funz. RR 1 esiste sempre, eventualmente passando alla parametrizzazione opposta Se invece AB = AP1 P 1 P 2 P2 B AB F dp = AP1 F dp + (3 tratti solo per fissere le idee), allora F dp + P 1 P 2 P2 B F dp = U (P 1 ) U (A)+U (P 2 ) U (P 1 )+U (B) U (P 2 ) = U (B) U (A).

4 Corollario 3 (caratterizzazione dei potenziali di uno stesso campo) Se U è un potenziale di F su, allora V : R è un potenziale di F su seesolose V = U + c con c R costante. Dimostrazione Sia V un potenziale di F su. FissatoP 0, siap qualsiasi. Poiché è aperto connesso, esiste un P0 P e quindi risulta U (P ) U (P 0 )= F dp = V (P ) V (P 0 ) P0 P (applicando il teorema di indipendenza sia con U che con V ). Dunque V (P )=U(P)+c con c = V (P 0 ) U (P 0 ) costante. Il viceversa è ovvio (e l abbiamo già osservato). 2 Condizioni di conservatività Il seguente teorema dà condizioni necessarie e sucienti per la conservatività di un campo continuo. Teorema 4 (di equivalenza) Le seguenti condizioni sono equivalenti: (i) F è conservativo in ; (ii) 1 AB, 2 AB, risultal 1 AB (F) =L 2 AB (F); (iii) chiuso (comunque orientato), risulta L (F) =0. Dimostrazione. Proviamo (i) (ii) (iii), con un cenno di (iii) (ii) e (ii) (i). Sottintenderemo che i lavori sono del campo F. (i) (ii) Siano 1 AB, 2 AB esiau un potenziale di F su (che esiste per (i)). Per indipendenza dal percorso, si ha subito L 1 AB = U (B) U (A) =L 2. AB

5 (ii) (iii) Sia chiuso. Presi A, B diversi qualsiasi, resta scomposto in due sottoarchi regolari a tratti 1 AB e 2 AB. Orientando tutti i tratti compatibilmente (adesempioinmodoche i sottoarchi risultino 1 AB e 2 AB ), si ha L = def. di L su arco a tratti = dipendenza di L dall orientamento L 1 + L 2 AB AB L 1 AB L 2 AB = ipotesi (ii) 0. (iii) (ii) Siano 1 AB, 2 AB e supponiamo che 1 AB 2 AB = {A, B}. Considerando l arco regolare a tratti = 1 AB 2 AB ed orientando compatibilmente 1 AB e 2 AB, siha 0 = ipotesi (iii) L = def. di L su arco a tratti = dipendenza di L dall orientamento L 1 + L 2 AB AB L 1 L 2 AB AB e quindi L 1 AB = L 2. AB Se 1 AB e 2 AB si intersecano anche in punti diversi da A e B, la dimostrazione è più complicata e la omettiamo.

6 (ii) (i) Fissato P 0, definiamo la seguente funzione: P, U (P ):= P0 P F dp (1.1) dove P0 P èunqualsiasi arco regolare a tratti di estremi P 0 e P (che esiste perché è aperto connesso). L ipotesi (ii) assicura che il valore U (P ) dipende in eetti solo da P enonda P0 P (dipende anche da P 0 ed F, ma sono fissi). Si può dimostrare che U = F in tutto e pertanto U è un potenziale di F su (quello tale che U (P 0 )=0). Stabilire la conservatività di un campo tramite le condizioni del teorema di equivalenza non è pratico, perché esse richiedono infinite verifiche (il calcolo di L su tutti gli archi aperti o chiusi). Vedremo fra poco una condizione suciente più comoda, che rovescerà la seguente condizione necessaria mediante l aggiunta di un ipotesi di tipo topologico sul dominio. Proposizione 5 (condizione necessaria di conservatività) Se F C 1 (), allora 2 F conservativo in = F irrotazionale in (cioè rot F =0in ogni punto di ). Dimostrazione. Se F C 1 () è conservativo, allora F = U con U C 2 () equindi, ragionando ad esempio nel caso n =2,risulta rot F =rotu =rot(u x,u y )= U y x U x y = 2 U xy 2 U yx =0 per il teorema di Schwarz sull indipendenza delle derivate miste dall ordine di derivazione. 2 Si veda l apposito pdf per definizioni e proprietà del rotore e di altri operatori dierenziali.

7 L implicazione equivale a F non irrotazionale in F non conservativo in e non può essere rovesciata in generale: la condizione è solo necessaria ed infatti esistono campi irrotazionali non conservativi. Ad esempio F (x, y) = y x 2 + y, x, (x, y) = R 2 \{0} (1.2) 2 x 2 + y 2 soddisfa F C 1 () e rot F =0in, marisultal (F) =2 = 0per : x 2 + y 2 =1con verso antiorario. Per avere una condizione suciente occorre aggiungere un ipotesi topologica su : la semplice connessione 3. Teorema 6 (Lemma di Poincaré) Se F C 1 (), allora F irrotazionale in e semplicemente connesso = F conservativo in. Dunque: un campo irrotazionale di classe C 1 è conservativo su ogni aperto semplicemente connesso contenuto nel proprio dominio. Ad esempio, il campo (1.2) non è conservativo su = R 2 \{0}, maloèsuogniaperto semplicemente connesso contenuto in. ( specificare sempre l aperto!) Non si cada però nell errore di pensare che il campo (1.2) non sia conservativo su per il fatto che non è semplicemente connesso: l implicazione del lemma di Poincaré non può essere rovesciata in generale (le ipotesi sono solo sucienti) edinfattiesistono campi conservativi su aperti non semplicemente connessi. 3 Per comodità, la nozione di aperto semplicemente connesso è discussa a parte, nell ultima sezione.

8 Due esempi: il campo F (x, y) = 2x x 2 + y, 2y, (x, y) = R 2 \{0} 2 x 2 + y 2 soddisfa F (x, y) = [log (x 2 + y 2 )] in tutto, ma non è semplicemente connesso. se F è conservativo in allora F è conservativo anche su ogni aperto connesso, quindi basta prendere un non semplicemente connesso. Dimostrazione (per n =2). Proviamo che vale la caratterizzazione (iii). Sia chiuso e sia A l interno di (nel senso del teorema di Jordan). Allora A è un dominio di Green; semplicemente connesso A = A, percuif C 1 A (perché F C 1 ()). Si può dunque applicare il teorema di Green e, orientando positivamente, si ottiene L (F) = rot F dxdy =0 (perché rot F =0). A Per n =3, la dimostrazione è più complicata e la omettiamo. Per n 4, illemmanon vale (mentre il resto della teoria si può ripetere).

9 3 Calcolo di potenziali Supponiamo che F sia conservativo in e vediamo due metodi per calcolarne i potenziali. Metodo dell integrazione lungo cammini comodi. In accordo con la dimostrazione del teorema di equivalenza (cenno di (ii) (i)), un potenziale di F (quello che si annulla in P 0 ) è dato dalla funzione (1.1). Allora, in accordo con il corollario di caratterizzazione dei potenziali di uno stesso campo, la famiglia dei potenziali di F èdatada P, U (P )= F dp + c dove c è una costante reale arbitraria, P 0 è un punto fissato qualsiasi di e P0 P èun qualsiasi arco regolare a tratti di estremi iniziale e finale P 0 e P (essendo qualsiasi, tale arco può via via essere scelto in modo che l integrale sia facilmente calcolabile). P0 P Esempio. Il campo F (x, y) =(y 2 +2y 3x 2, 2x (y +1))è conservativo su dom F = R 2, in quanto R 2 è semplicemente connesso e rot F =2(y +1) (2y +2)=0, (x, y) R 2. Preso O =(0, 0) come punto base fissato, un arco regolare a tratti di estremi iniziale O e finale P =(x, y) generico è ad esempio la spezzata in figura, dove 1 (t) =(0,t), t [0,y] e 2 (t) =(t, y), t [0,x]. Allora i potenziali di F sono U (x, y) = F dp + c = OP F dp + 1 F dp + c 2 = y 0 =0+ F (0,t) (0, 1) dt + x 0 x 0 F (t, y) (1, 0) dt + c y 2 +2y 3t 2 dt + c = y 2 x +2yx x 3 + c.

10 Metodo delle integrazioni indefinite (per n =2). Poiché (essendo F conservativo in ) esiste U : R tale che U x (x, y) =F 1 (x, y) e U y (x, y) =F 2 (x, y) per ogni (x, y), epoiché U, U sono sostanzialmente derivate di funzioni di una sola variabile (ottenute x y fissandone una e derivando rispetto all altra), si può procedere così: integrando in senso indefinito, si ricostruisce U a partire da una delle sue derivate (F 1,F 2 sono note); ad esempio U (x, y) = U x (x, y) dx = F 1 (x, y) dx = 1 (x, y)+k (y) dove 1 (x, y) è il risultato dell integrazione (cioè una primitiva di F 1 (x, y) vista come funzione della sola x)ek = k (y) è la costante arbitraria dell integrazione fatta rispetto ad x, la quale dipenderà però da y, che è fissato solo momentaneamente; si determina k (y) imponendo che anche l altra derivata della funzione U trovata sia uguale alla corrispondente componente del campo F; ad esempio F 2 (x, y) = U y (x, y) = 1 y (x, y)+k (y) k (y) =F 2 (x, y) 1 y (x, y) (dove il 2 o membroènotoe,seicontisonocorretti,nondipendedax) equindi k (y) = F 2 (x, y) 1 y (x, y) dy = 2 (x, y)+c; in definitiva U (x, y) = 1 (x, y)+ 2 (x, y)+c con (x, y) e c costante reale arbitraria.

11 Esempio. Riprendiamo il campo conservativo dell esempio precedente e sia U : R 2 R tale che U x (x, y) =y2 +2y 3x 2 e U (x, y) =2x (y +1). y Si ha U (x, y) = U x (x, y) dx = y 2 +2y 3x 2 dx = y 2 x +2yx x 3 + k (y) equindi F 2 (x, y) = U y (x, y) 2x (y +1)=2yx +2x + k (y) cioè k (y) =2x (y +1) 2yx 2x =0. Allora k (y) =c (costante reale arbitraria) e dunque U (x, y) =y 2 x +2yx x 3 + c. 4 Aperti semplicemente connessi Definizione 7 Un aperto di R n si dice semplicemente connesso se (i) è connesso; (ii) ogni arco semplice chiuso interamente contenuto in è omotopo ad un suo punto 4, cioè, in termini intuitivi, può essere deformato con continuità fino a ridurlo ad un suo punto, senza mai aprirlo e senza mai uscire dall insieme. Deformazioni continue di archi chiusi ad un loro punto, passanti per archi intermedi chiusi e vicini tra loro (continuità della deformazione). 4 in termini rigorosi, ciò significa che: se :[a, b] R n è una parametrizzazione semplice dell arco e P 0 = (a) = (b), allora esiste una funzione continua H :[a, b] [0, 1] R n tale che per ogni (t, s) [a, b] [0, 1] risulta H (t, s), H (t, 0) = (t), H (t, 1) = P 0, H (a, s) =H (b, s) =P 0

12 Si può pensare 5 alla deformazione come al movimento di un elastico che si richiude su un suo punto, tenuto fisso; si chiede allora che ciò possa avvenire senza che l elastico debba mai uscire dall insieme, né rompersi, e che il tutto possa farsi per ogni arco chiuso contenuto in. Una classe (non esaustiva) di aperti semplicemente connessi è data dalla seguente: Proposizione 8 Tutti gli aperti convessi (e, più in generale, quelli stellati) dir n sono semplicemente connessi. 5 anche se in R 3 si dovrebbe immaginare che l elastico possa avere nodi Nel piano In sintesi: un aperto del piano è semplicemente connesso se è fatto di un solo pezzo (connesso) e non ha buchi. non semplicemente connesso non semplicemente connesso Osserviamo che i buchi non devono necessariamente avere area non nulla: un qualsiasi aperto connesso di R 2 (anche R 2 stesso) privato di un suo punto (resta connesso ma) non è semplicemente connesso. Si può anche dimostrare che: un aperto di R 2 è semplicemente connesso se e solo se (i) è connesso; (ii) per ogni arco regolare a tratti chiuso contenuto in, ilsuointerno(nel senso del teorema di Jordan) è interamente contenuto in.

13 Nello spazio Nello spazio, la semplice connessione non traduce più l idea dell assenza di buchi (v. prima figura). semplicemente connesso non semplicemente connesso In particolare, non è più vero che un aperto privato di un punto non è semplicemente connesso, mentre risulta che un qualsiasi aperto connesso di R 3 (anche R 3 stesso) privato dei punti di una retta che lo intersechi (resta connesso ma) non è semplicemente connesso.