Università degli Studi di Firenze Facoltà di Scienze

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1 Università degli Studi di Firenze Facoltà di Scienze C.d.L. in Matematica Tesi di Laurea Triennale Anno Accademico Spazi completamente regolari e compattificazione di Stone - ƒech Candidato: Fulvio Gesmundo Relatore: Prof. Donato Pertici

2 Università degli Studi di Firenze Facoltà di Scienze C.d.L. in Matematica

3 Indice 1 Assiomi di separazione Spazi completamente regolari Il Teorema di Immersione La compatticazione di Stone - ƒech Estensione di funzioni continue La caratterizzazione della compatticazione di Stone - ƒech Compattezza e compattezza per successioni La compatticazione di uno spazio metrico non compatto Gli spazi [0, Ω[ e [0, Ω] Il Cavatappi di Tychono Sommario In questo lavoro si vuole dare una presentazione di alcune proprietà degli Spazi topologici completamente regolari. In particolare mostreremo che essere completamente regolare è una condizione necessaria e suciente per ammettere una compatticazione di Stone-ƒech e ci soermeremo su alcune proprietà di questa compatticazione. Inne con i teoremi dimostrati forniremo alcuni esempi notevoli che mostrano come i concetti di compattezza e compattezza per successioni siano tra loro indipendenti. Il lavoro si ispira in larga misura a [CTV] e [T], con importanti integrazioni e controesempi tratti da [D], [StSe] e [W]. 1

4 1 Assiomi di separazione Dato uno spazio topologico X, diamo le seguenti denizioni, note in letteratura come assiomi di separazione: Denizione 1.1. X si dice T 0 se: x, y X x y, U x intorno di x tale che y / U x oppure U y intorno di y tale che x / U y. Denizione 1.2. X si dice T 1 se: x, y X x y, U x intorno di x tale che y / U x. Denizione 1.3. X si dice T 2 (o di Hausdor) se: x, y X x y, U x, U y rispettivamente intorni di x e di y tali che U x U y =. Denizione 1.4. X si dice T 3 (o regolare) se: X è T 1 e F chiuso in X, x / F U F, U x rispettivamente intorni di F e di x tali che U F U x =. Denizione 1.5. X si dice T 4 (o normale) se: X è T 1 e F, G chiusi in X tali che F G =, U F, U G rispettivamente intorni di F e di G tali che U F U G =. Direttamente dalle denizioni è possibile fare la seguente banale osservazione: Osservazione 1.1. Per ogni i = 1, 2, 3, 4 risulta che: X è T i X è T i 1 Ricordiamo inoltre un importante risultato di topologia generale che riguarda gli spazi normali. Tale risultato è noto come Lemma di Urysohn e per la dimostrazione rimandiamo a [CTV], pag. 216: Teorema 1.2 (Lemma di Urysohn). Sia X uno spazio topologico normale. Siano S, T chiusi disgiunti di X. Allora esiste un'applicazione continua: tale che: f : X I = [0, 1] f(s) = {0} f(t ) = {1} (1.1) 1.1 Spazi completamente regolari Denizione 1.6. Sia X uno spazio topologico. X si dice completamente regolare o di Tychono, o T 3,5 se: X è T 1 e F chiuso in X, x / F, un'applicazione continua: tale che: ϕ : X I = [0, 1] ϕ(x) = 0 ϕ(f ) = 1 (1.2) È interessante osservare che ogni spazio normale è completamente regolare (come segue banalmente dal Teorema 1.2) e che ogni spazio completamente regolare è T 3. Esistono controesempi che provano che queste implicazioni non si possono invertire. Diamo di seguito un controesempio di spazio completamente regolare che non è normale. Per un controesempio di spazio regolare che non è completamente regolare rimandiamo al paragrafo 3.3 in quanto per la dimostrazione avremo bisogno di alcuni risultati che forniremo in seguito. 2

5 Esempio 1 (Piano di Niemytzki). Consideriamo il semipiano superiore di R 2 : X = {(x, y) R 2 : y 0}. Per ogni (x, y) X, per ogni ε > 0 deniamo: S((x, y), ε) = {(x, y ) R 2 : (x, y ) (x, y) < ε}. Deniamo poi: B((x, y), ε) = { S((x, y), ε) se y > 0 e se 0 < ε y S((x, ε), ε) {(x, 0)} se y = 0 e ε > 0 È facile osservare che la famiglia B(x, y) = {B((x, y), ε) : ε > 0} soddisfa gli assiomi dei sistemi fondamentali di intorni aperti di un generico punto (x, y) X. Quindi B = B(x, y) (x,y) X denisce una base di aperti per una topologia τ su X. Banalmente si verica che τ è T 1. Mostriamo che lo spazio topologico (X, τ), chiamato Piano di Niemytzki, non è normale, ma è completamente regolare. Dimostrazione. Siano: E = {(q, 0) X : q Q}, F = {(r, 0) X : r / Q}. E e F sono chiusi di X in quanto τ induce la topologia discreta sulla retta {y = 0}. Supponiamo che esistano due aperti U, V di X tali che U V =, E U e F V. r / Q ε r > 0 tale che B r = B((r, 0), ε r ) V. Sia A n = {r / Q : ε r > 1/n}, n N. Per il Teorema di Baire (cfr. [CTV], pag. 178) n N tale che A n (R Q) ha punti interni in R Q, cioè tale che a, b R tali che (a, b) A n. Sia q Q (a, b), e sia B q = B((q, 0), ε q ) tale che B q U. Per ogni r / Q risulta che: } B r V = B r B q = = B q U = [ε r + ε q ] 2 (r, ε r ) (q, ε q ) 2 = 4 ε r ε q (r q) 2. D'altra parte risulta evidente che: q A n r A n tale che (r q) 2 < 4 ε q n < 4ε rε q. Da questo è evidente una contraddizione: perciò (X, τ) non può essere normale. Mostriamo ora che (X, τ) è completamente regolare. È chiaro che τ è una topologia più ne della topologia euclidea E. Poniamo: H + = {(x, y) R 2 : y > 0}, H 0 = {(x, y) R 2 : y = 0}. 3

6 Consideriamo F X chiuso di X. Su H +, τ induce la topologia euclidea e quindi si ha che F H + è un chiuso in H + rispetto alla topologia euclidea. Da questo si ricava che anche F H 0 è un chiuso euclideo di X. Consideriamo (x 0, y 0 ) X F. Se y 0 > 0 si ha che (x 0, y 0 ) X (F H 0 ). Poiché (X, E) è normale, possiamo applicare il Teorema 1.2 che ci garantisce l'esistenza di una applicazione continua: tale che: f : X [0, 1] f(x 0, y 0 ) = {0} f(f H 0 ) = {1} Se invece y 0 = 0 si ha che (x 0, 0) ammette un intorno contenuto in X F, cioè ε > 0 tale che S((x 0, ε), ε) F =. Denisco f : X [0, 1] tale che: f(x, y) = 1 (x, y) / S((x 0, ε), ε) {(x 0, 0)} f lineare da 1 a 0 sulle corde di S((x 0, ε), ε) con secondo estremo in (x 0, 0) f(x 0, 0) = 0. L'applicazione f considerata è continua e soddisfa (1.2). Dunque (X, τ) è completamente regolare. In seguito ci sarà utile il seguente lemma, di immediata dimostrazione: Lemma 1.3. Sia X uno spazio completamente regolare. Sia Y X un sottospazio. Allora anche Y è completamente regolare. 1.2 Il Teorema di Immersione Dimostriamo a questo punto due importanti risultati che caratterizzano gli spazi completamente regolari. Diamo prima una denizione: Denizione 1.7. Sia A un insieme qualsiasi. Si dice che uno spazio X è un cubo reale di dimensione A se : X = a A I a = I A, dove, a A, I a = [0, 1] Come topologia sul cubo reale si considera la topologia prodotto denita dalla topologia euclidea sull'intervallo I = [0, 1]. Dai teoremi sulla compattezza segue il seguente lemma: Lemma 1.4. Sia I A un cubo reale di dimensione A. Allora I A è normale. Dimostrazione. Il prodotto di spazi di Hausdor è uno spazio di Hausdor (cfr. [CTV], pag. 9). Per il Teorema di Tychono (cfr. [CTV], pag. 145) il prodotto di spazi compatti è uno spazio compatto. Segue quindi che I A è compatto e T 2. Quindi I A è normale (cfr. [CTV], pag. 140). Diamo ora una prima caratterizzazione degli spazi completamente regolari. 4

7 Teorema 1.5 (Teorema di Immersione). Sia X uno spazio topologico. Le seguenti aermazioni sono equivalenti: (i) X è completamente regolare. (ii) X è omeomorfo a un sottospazio di un cubo reale. Dimostrazione. (ii) (i) Segue dal Lemma 1.4 e dal Lemma 1.3. (i) (ii) Sia X completamente regolare. Siano C(X, I) = {f : X I : f continua} e A un insieme in biezione con C(X, I). Indicheremo con a un elemento generico dell'insieme A e con f a la corrispondente applicazione di C(X, I). Deniamo: f : X I A * f è continua per come è denita la topologia prodotto. * f è iniettiva infatti: x (f a (x)) a A (1.3) x, y X, x y, {x}, {y} sono chiusi disgiunti di X. Quindi a A tale che f a soddisfa le Proprietà (1.2) per i chiusi {x}, {y}. Risulterà 1 = f a (x) f a (y) = 0, e quindi f(x) f(y). * f è chiusa sulla sua immagine infatti: siano F X un chiuso, z (f(x) f(f )) e x f 1 (z). F è chiuso e x / F, quindi a A tale che f a soddisfa (1.2). Sia p a : I A ( I a ) la proiezione canonica sul fattore I a. Si ha che p a (z) = 0 e quindi U z = p 1 a [0, 1/2) è un intorno aperto di z in I A e ovviamente U z p 1 a (f a (F )) = perché f a (F ) = {1}. Chiaramente f a = p a f e quindi p 1 a (f a (F )) f(f ). Per quanto appena visto z f(x) f(f ), U z intorno aperto di z tale che U z p 1 a (f a (F )) = e perciò U z f(f ) =. Segue che f(x) f(f ) è un aperto di f(x). Quindi f(f ) è un chiuso di f(x). Perciò f è chiusa sulla sua immagine. Concludendo, f è un omeomorsmo tra X e f(x) I A e quindi la tesi è dimostrata. Con questo teorema si è dimostrato quindi che gli spazi completamente regolari sono tutti e soli quelli che possono essere immersi in un cubo reale. Dimostriamo ora un altro risultato che dà un'altra caratterizzazione degli spazi completamente regolari. Teorema 1.6. Sia X uno spazio topologico T 1. Le seguenti aermazioni sono equivalenti: (i) X è completamente regolare. (ii) Esiste una famiglia di applicazioni F = {f a : X R : a A} C(X, R) tale che F chiuso di X, x / F, a A tale che f a (x) / f a (F ) Dimostrazione. (i) (ii) Consideriamo F = C(X, I). Direttamente dalla denizione di spazio completamente regolare si ha la tesi in quanto vale la proprietà (1.2) 5

8 (ii) (i) Sia h : R (0, 1) un omeomorsmo della retta reale. Per ogni a A deniamo g a = h f a. Ovviamente la famiglia G = {g a = h f a : a A} soddisfa le stesse ipotesi di F. Deniamo un'applicazione: g : X I A x (g a (x)) a A In modo analogo a quanto fatto per il Teorema di Immersione 1.5 si dimostra che g è un'applicazione continua, iniettiva e chiusa sulla sua immagine. Dunque è un omeomor- smo tra X e g(x) I A. Questo conclude la dimostrazione in quanto per il Teorema di Immersione si ha che X è completamente regolare. 2 La compatticazione di Stone - ƒech Diamo alcune denizioni preliminari, per introdurre il concetto di compatticazione. Denizione 2.1. Sia X uno spazio topologico compatto. Sia X X tale che X è denso in X. Allora X si dice una compattificazione di X. Denizione 2.2. Sia X uno spazio topologico. Sia Y uno spazio topologico compatto e T 2. Sia h : X Y un'applicazione continua tale che h è un omeomorsmo tra X e h(x) e h(x) è denso in Y. Allora la coppia (Y, h) si dice una T 2 compattificazione di X. Denizione 2.3. Sia X uno spazio completamente regolare. Sia h : X I A l'applicazione denita nel Teorema di Immersione 1.5. Sia ˇX = h(x) la chiusura di h(x) in I A. La coppia ( ˇX, h) si chiama la compattificazione di Stone Čech di X. Osservazione 2.1. È chiaro che ogni compatticazione di Stone-ƒech è una T 2 -compatticazione. 2.1 Estensione di funzioni continue Dimostreremo in questo paragrafo alcune importanti proprietà della compatticazione di Stone-ƒech. Infatti osserveremo che, dati due spazi topologici completamente regolari X e X e un'applicazione continua tra i due spazi, è sempre possibile estendere l'applicazione alle compatticazioni di Stone-ƒech. Questa proprietà non è aatto banale e vedremo in seguito che è proprio caratteristica della compatticazione di Stone-ƒech. Cominciamo dimostrando il seguente Lemma: Lemma 2.2 (Estensione al cubo reale). Siano X e X due spazi topologici completamente regolari. Siano h e h le applicazioni denite dal Teorema di Immersione 1.5. Sia g : X X un'applicazione continua. Allora esiste un'applicazione continua: tale che: g : I A I A, g h = h g. (2.1) Dimostrazione. Come nel Teorema di Immersione consideriamo a e a elementi di due insiemi A e A in biezione con gli insiemi C(X, I) e C(X, I) i cui elementi corrispondenti sono denotati con h a e h a rispettivamente. Osserviamo che a A l'applicazione h a g è continua da X in I. Quindi a A tale che h a g = h a. Sarà quindi ben denita la funzione: γ : A A, a γ(a ), dove h γ(a ) = h a g. 6

9 In questo modo possiamo denire l'applicazione g : g : I A I A, (u a ) a A (u γ(a )) a A. Ovviamente g è continua perché ogni sua componente ga : u u γ(a ) è continua. Resta quindi da dimostrare che g h = h g. Sia p a la proiezione canonica sul fattore I a di I A. Per ogni x X e per ogni a A risulterà: (p a g h)(x) = g a (h(x)) = h γ(a )(x) = (h a g)(x) = (p a h g)(x) Per l'arbitrarietà di x X e di a A, vale la (2.1) e quindi la tesi. Sfruttando il Lemma 2.2 appena dimostrato, possiamo dare il seguente risultato: Corollario 2.3 (Estensione alle compatticazioni di Stone-ƒech). Siano X e X due spazi topologici completamente regolari. Siano h e h le applicazioni denite dal Teorema 1.5. Sia g : X X un'applicazione continua. Siano inne ˇX e ˇX le compatticazioni di Stone-ƒech rispettivamente di X e di X. Allora esiste un'unica applicazione continua: tale che: ǧ : ˇX ˇX, ǧ h = h g. (2.2) Dimostrazione. Esistenza Sia g : I A I A l'estensione al cubo reale denita nel Lemma 2.2. g è continua quindi g (h(x)) g (h(x)). Perciò g ( ˇX) g (h(x)) h (X ) = ˇX. Posto quindi: ǧ = g ˇX, si ha che ǧ è continua e per il Lemma 2.2 risulta ǧ h = h g. Unicità Supponiamo che esistano ǧ e ǰ che soddisfano la (2.2). ǧ e ǰ coincidono su h(x) che è denso in ˇX. Quindi ǧ e ǰ coincidono su tutto ˇX, in quanto lo spazio ˇX è di Hausdor (cfr. [CTV], pag. 95). Corollario 2.4 (Estensione di applicazioni in spazi compatti). Siano X e X due spazi topologici completamente regolari, con X spazio compatto. Siano h e h le applicazioni denite dal Teorema 1.5. Sia ˇX la compatticazione di Stone-ƒech di X. Sia g : X X un'applicazione continua. Allora esiste un'unica applicazione continua: tale che: G : ˇX X, G h = g. (2.3) Dimostrazione. È chiaro che h (X ) è compatto, perché immagine di X attraverso h che è continua. Inoltre h (X ) I A che è uno spazio T 2. Quindi h (X ) è chiuso in I A e perciò h (X ) = ˇX. Risulta quindi X = ˇX. È suciente denire G = h 1 ǧ. La G così denita soddisfa la (2.3). L'unicità si può dimostrare con un argomento analogo a quello del Corollario

10 2.2 La caratterizzazione della compatticazione di Stone - ƒech Dimostriamo ora tre risultati che danno delle proprietà peculiari della compatticazione di Stone-ƒech. Innanzitutto dimostreremo che questa compatticazione è la più grande T 2 -compatticazione ammessa da uno spazio topologico completamente regolare. Dimostreremo poi due teoremi che caratterizzano la compatticazione di Stone-ƒech come l'unica compatticazione in cui funzioni continue possono essere sempre estese (nel senso del Corollario 2.4). Teorema 2.5. Sia X uno spazio completamente regolare avente ˇX come compatticazione di Stone-ƒech. Sia (Y, k) una T 2 -compatticazione di X. Allora Y è omeomorfo a un quoziente di ˇX. Dimostrazione. k : X Y è un'applicazione continua e Y è uno spazio compatto. Per il Corollario 2.4:! G : ˇX Y continua tale che G h = k, dove h è l'immersione di X in ˇX. Osserviamo che G( ˇX) = G(h(X)) k(x). Poiché k(x) è denso in Y e G( ˇX) è compatto e quindi chiuso in Y, si ha che G( ˇX) = Y e quindi G è suriettiva. Inoltre ˇX è compatto e T 2 e quindi G è un'applicazione chiusa. relazione di equivalenza G su ˇX: Perciò G denisce una x, y ˇX, x G y G(x) = G(y), e banalmente risulta:. ˇX/ G = Y Seguono ora due teoremi di caratterizzazione della compatticazione di Stone-ƒech. Teorema 2.6. Sia X uno spazio topologico completamente regolare. Sia ( ˆX, k) una T 2 -compatticazione di X tale che: Y spazio compatto e T 2, f : X Y continua, F : ˆX Y continua tale che f = F k. Allora ˆX = ˇX, compatticazione di Stone-ƒech di X. Dimostrazione. Consideriamo le due immersioni nelle compatticazioni: h : X ˇX k : X ˆX. Per l'ipotesi su ( ˆX, k), h si estende a un'applicazione continua H : ˆX ˇX. Per il Corollario 2.4, k si estende a un'applicazione continua K : ˇX ˆX. Ovviamente per come sono denite le estensioni (identicando h(x) e k(x) con X): H X = h k 1 K X = k h 1. Perciò risulta: (H K) X = (K H) X = id. E quindi per la densità di X in ˇX e in ˆX si ha che H e K sono omeomorsmi tra ˇX e ˆX. Notiamo che in questo teorema l'ipotesi è stata usata solo per poter estendere la funzione di immersione nella compatticazione di Stone-ƒech ˇX a tutta la T 2 -compatticazione ˆX. Questo ci suggerisce che il teorema valga anche se indeboliamo l'ipotesi. 8

11 Teorema 2.7. Sia X uno spazio completamente regolare. Sia ( ˆX, k) una T 2 -compatticazione di X tale che: f : X I continua,! F : ˆX I continua tale che f = F k Allora ˆX = ˇX compatticazione di Stone-ƒech di X. Dimostrazione. Consideriamo h, l'immersione di X nel cubo reale: h : X I A x (h a (x)) a A. Per ipotesi ognuna della h a si estende in modo unico a ˆX e dunque h ammette un'unica estensione H : ˆX I A. Per la densità di X in ˆX, si ha che H( ˆX) ˇX = h(x). D'altra parte per il Corollario 2.4, anche k si estende in modo unico a una applicazione K : ˇX ˆX. Procedendo con l'argomento usato nel Teorema 2.6, si ha la tesi. 3 Compattezza e compattezza per successioni Vedremo ora alcune applicazioni dei teoremi appena dimostrati sulla compatticazione di Stone-ƒech. In particolare daremo esempi notevoli che mostrano l'esistenza di spazi compatti che non sono compatti per successioni e spazi compatti per successioni che non sono compatti. Ricordiamo innanzitutto la denizione di compattezza per successioni: Denizione 3.1. Sia X uno spazio topologico. X si dice compatto per successioni se {a n } n N X successione in X, si ha che {a n } n N ammette almeno un punto limite in X. 3.1 La compatticazione di uno spazio metrico non compatto Dimostriamo che, sotto alcune ipotesi, una compatticazione di Stone-ƒech non è compatta per successioni. Cominciamo dimostrando il seguente risultato: Teorema 3.1. Sia X uno spazio normale. Sia ( ˇX, h) la compatticazione di Stone-ƒech di X. Sia y ˇX h(x). Allora y non può essere limite di una successione a valori in h(x). Dimostrazione. Procediamo per assurdo supponendo che esista una successione {y n } n N h(x) tale che y n y. n N sia x n = h 1 (y n ). Poiché {y n } n N ammette limite in ˇX h(x), non ha punti di accumulazione in h(x). Perciò neanche {x n } n N ha punti di accumulazione in X e quindi {x n } n N è un chiuso di X. Deniamo: S p = {x 2n } n N e S d = {x 2n+1 } n N. Ovviamente anche S p e S d sono chiusi di X. X è normale, quindi per il Teorema 1.2 esiste un'applicazione continua: tale che: f : X I, f(s p ) = 0 e f(s d ) = 1 Per il Corollario 2.4, f può essere estesa a ˇX ad una applicazione continua: tale che: F : ˇX I F (y 2n ) = 0 e F (y 2n+1 ) = 1 9

12 Dunque la successione {F (y n )} n N non converge. D'altra parte per continuità si ha F (y n ) F (y) da cui l'assurdo. Come Corollario, dimostriamo che la compatticazione di Stone-ƒech di uno spazio T 4 non compatto per successioni non è compatta per successioni: Corollario 3.2. Sia X uno spazio normale non compatto per successioni. Sia ( ˇX, h) la sua compatticazione di Stone-ƒech. Allora ˇX è uno spazio compatto ma non compatto per successioni. Dimostrazione. Ovviamente ˇX è uno spazio compatto in quanto chiusura in I A di h(x). Per ipotesi X è normale, perciò per il Teorema 3.1 i punti di ˇX h(x) non possono essere limiti di successioni in h(x). X non è compatto per successioni: quindi esiste almeno una successione {a n } n N X che non ammette estratte convergenti in X. Ovviamente h(x) = X e quindi {h(a n )} n N non ammette estratte convergenti in h(x). D'altra parte non può ammettere estratte che convergono in ˇX h(x) per il Teorema 3.1. Perciò la successione {h(a n )} n N non ammette estratte convergenti in ˇX e quindi ˇX non è compatto per successioni. Questo risultato ci permette di determinare numerosi esempi di spazi compatti ma non compatti per successioni. Ad esempio lo spazio Ř, compatticazione di Stone-ƒech di (R, E), retta reale con la topologia euclidea, non è compatto per successioni per il Corollario 3.2. Più in generale, deduciamo che la compatticazione di Stone-ƒech di uno spazio metrico non compatto è sempre compatta ma non compatta per successioni. 3.2 Gli spazi [0, Ω[ e [0, Ω] Sia Ω il primo numero ordinale di cardinalità non numerabile. Consideriamo l'insieme: Deniamo su [0, Ω] una base di aperti: [0, Ω] = {α numero ordinale tale che 0 α Ω} B = {[0, α[, α < Ω} {]α, Ω], α < Ω} {]α, β[, 0 < α < β < Ω} Sia A la topologia di aperti che ha come base di aperti la famiglia B. A è banalmente T 1. In questo paragrafo dimostriamo alcune proprietà degli spazi [0, Ω] e [0, Ω[. Teorema 3.3. Ogni sottoinsieme numerabile di [0, Ω[ ha una limitazione superiore in [0, Ω[. Dimostrazione. Denotiamo [0, α[= Z (α) α Ω. Sia A Z (Ω) un sottoinsieme numerabile. Consideriamo: S = Z (α). α A Per ogni α < Ω si ha che Z (α) è al più numerabile. Perciò S è unione numerabile di insiemi al più numerabili, e quindi è numerabile. Inoltre S è unione di ideali di Z (Ω) e perciò è un ideale di Z (Ω) (cfr. [D], pag. 36). Perciò: S = [0, β[, β < Ω. Da questo la tesi in quanto α A si ha α β. Diamo ora qualche risultato con cui dimostreremo alcune proprietà di compattezza degli spazi [0, Ω] e [0, Ω[: 10

13 Teorema 3.4. Ogni successione crescente in [0, Ω[ ammette un limite in [0, Ω[. Dimostrazione. Sia A = {a n } n N una successione crescente di Z (Ω). A è numerabile, quindi per il Teorema 3.3, β Z (Ω) tale che A Z (β). Sia S = {β Z (Ω) : A Z (β + 1)}. Per il buon ordinamento di Z (Ω) l'insieme S ha un minimo b Ω. Mostriamo che a n b per k. Consideriamo U intorno aperto di b in Z (Ω). Senza perdita di generalità possiamo considerare U =]α, β[ con 0 α < b < β < Ω. Per come abbiamo denito b si ha che A Z (b + 1) e δ < b si ha che n tale che δ < a n b, n > n. In particolare a n ]α, β[ per n sucientemente grande, e quindi a n b. Come corollario di questo teorema possiamo dimostrare a questo punto che [0, Ω[ è compatto per successioni: Corollario 3.5. Lo spazio [0, Ω[ è compatto per successioni. Dimostrazione. Sia A = {a n } n N una successione in [0, Ω[. Z (Ω) è ben ordinato, quindi A ha un minimo in Z (Ω), cioè: Sia A 1 = {a n } n>n1 n 1 N tale che a n1 a n n N.. Anche A 1 ammette un minimo in Z (Ω) e quindi: n 2 > n 1 tale che a n2 a n n > n 1 Procedendo in questo modo si costruisce una successione crescente B = {a nk } k N estratta di {a n } n N. Per il Teorema 3.4, b [0, Ω[ tale che a nk b per k. Perciò {a n } n N ammette un'estratta convergente e quindi [0, Ω[ è compatto per successioni. Dopo aver dimostrato questo teorema possiamo dare un esempio di spazio compatto per successioni che non sia compatto. Consideriamo infatti lo spazio [0, Ω[. Il Corollario 3.5 dimostra che è compatto per successioni. Consideriamo la famiglia di aperti O = {Z (α) : α < Ω}. O è un ricoprimento aperto di [0, Ω[ e chiaramente non ammette un sottoricoprimento nito. Dunque [0, Ω[ è compatto per successioni ma non compatto. Sfruttando il Principio di Induzione trasnita (cfr. [D], pag. 40), dimostriamo il seguente teorema: Teorema 3.6. Lo spazio [0, Ω] è una T 2 -compatticazione di [0, Ω[. Dimostrazione. Basta mostrare che [0, Ω] è compatto e T 2. Per dimostrare la compattezza, procediamo per induzione dimostrando che [0, α] è compatto per ogni ordinale α. α = 1 Lo spazio {0, 1} è nito e quindi compatto. α γ γ Consideriamo U = {U j } j J un ricoprimento aperto di [0, γ]. Chiaramente j 0 tale che γ U j0. E dunque α < γ tale che ]α, γ] U j0. Per ipotesi induttiva [0, α] è compatto e ovviamente U è un ricoprimento aperto di [0, α]. Sia V = {U jk } k=1...n un sottoricoprimento nito di U che ricopre [0, α]. Da questo si ha che [0, γ] è compatto, considerando V = V {U j0 } che è un sottoricoprimento nito di U che ricopre [0, γ]. In particolare per γ = Ω si ha che [0, Ω] è compatto. Dimostriamo ora che [0, Ω] è T 2. Consideriamo α, β [0, Ω], α < β. Deniamo U α = [0, α+1) e U β = (α, Ω]. U α e U β sono intorni aperti disgiunti rispettivamente di α e di β. Perciò [0, Ω] è T 2. 11

14 Per il Lemma 1.3, lo spazio [0, Ω[ è completamente regolare in quanto sottospazio di [0, Ω], che è normale (cfr. [CTV], pag. 140). Perciò [0, Ω[ ammette una compatticazione di Stone-ƒech. Dimostriamo il seguente interessante risultato: Teorema 3.7. La compatticazione di Stone-ƒech di [0, Ω[ è [0, Ω]. Dimostrazione. Per il Teorema 2.7 è suciente dimostrare che ogni applicazione continua f : [0, Ω[ I = [0, 1] ammette un'estensione continua a [0, Ω]. Per provare questo, dimostriamo che ogni applicazione continua f : [0, Ω[ I = [0, 1] è denitivamente costante, cioè: α [0, Ω[ tale che β > α, f(β) = f(α). Mostriamo che esiste una successione {α n } n N [0, Ω[ tale che n N, β > α n, f(α n ) f(β) < 1/n. Supponiamo per assurdo che questa successione non esista: n 0 N tale che α [0, Ω), β > α tale che f(β) f(α) 1/n 0. Si può quindi costruire ricorsivamente una successione crescente {β n } n N tale che f(β n ) f(β n+1 ) 1/n 0. {β n } n N è crescente e quindi ha un limite β < Ω. f è continua e quindi f(β n ) f(β). Ma questo è assurdo perché la successione {f(β n )} n N non è di Cauchy e quindi non può convergere. Dunque: n N α n tale che β > α n si ha f(β) f(α n ) < 1/n. Ovviamente la successione {α n } n N può essere considerata crescente e quindi ammette un limite α [0, Ω[. Risulterà che: e quindi f(β) = f(α), β > α. β > α, f(β) f(α) 1/n n N, Consideriamo quindi una generica applicazione continua f : [0, Ω[ I. Poiché f è denitivamente costante è banale osservare che ammette un'estensione continua su [0, Ω]. Per il Teorema 2.7 la dimostrazione è conclusa e [0, Ω] è la compatticazione di Stoneƒech di [0, Ω[. 3.3 Il Cavatappi di Tychono Concludiamo la tesi dando un esempio di spazio regolare ma non completamente regolare: Esempio 2 (Cavatappi di Tychono). Siano Ω il primo ordinale non numerabile e ω il primo ordinale innito. Lo spazio T = [0, Ω] [0, ω] si chiama Piano di Tychono mentre lo spazio T = T {(Ω, ω)} si chiama Piano di Tychono cancellato. Consideriamo 4 copie omeomorfe del piano di Tychono cancellato, che indicheremo come segue ([Ω, 0] e [ω, 0] indicano, rispettivamente, [0, Ω] e [0, ω] con l'ordine inverso): T +,+ T,+ T, T +, = ([Ω, 0] [ω, 0]) {(Ω, ω)} = ([0, Ω] [ω, 0]) {(Ω, ω)} = ([0, Ω] [0, ω]) {(Ω, ω)} = ([Ω, 0] [0, ω]) {(Ω, ω)} 12

15 Deniamo l'insieme P come unione disgiunta di questi 4 spazi e consideriamo una relazione di equivalenza su P che identichi a due a due 3 delle 4 coppie di assi. In particolare identichiamo l'asse {Ω} [ω, 0] di T +,+ con l'asse {Ω} [ω, 0] di T,+ e di conseguenza gli assi che seguono, eccezion fatta per l'asse [Ω, 0] {ω} di T +, e l'asse [Ω, 0] {ω} di T +,+ che manteniamo disgiunti. Indichiamo con P lo spazio quoziente denito dalla relazione appena descritta. A questo punto consideriamo l'unione disgiunta di una collezione numerabile {P (i)} i= di copie di P. Deniamo ancora su questa unione disgiunta una relazione di equivalenza che identica l'asse [Ω, 0] {ω} del piano T +, di P (i) con l'asse [Ω, 0] {ω} del piano T +,+ di P (i + 1). Denotiamo con S lo spazio quoziente. Diremo che un punto x S ha un livello i se x P (i) P (i 1) (dove indichiamo con le stesse notazioni le copie di P e i loro quozienti). In questo caso indichiamo L(x) = i. Aggiungiamo a S due punti che indichiamo con a + e a. Diremo che U + è intorno di a + se n N tale che x S tale che L(x) > n si ha x U +. In modo analogo deniamo gli intorni di a. Il risultato di questa costruzione è uno spazio K formato dai piani P (i), giustapposti in modo da formare una scala a chiocciola, che in letteratura viene ricordata con il nome di Cavatappi di Tychono. Mostriamo che lo spazio K è regolare, ma non completamente regolare. Dimostrazione. Poiché ogni intervallo [0, α] è compatto e T 2 è evidente che anche il Piano di Tychono è compatto e T 2, e perciò è normale. Dunque il Piano di Tychono cancellato è completamete regolare, e quindi regolare. Ne segue facilmente che lo spazio S è regolare. Dunque per mostrare che K è regolare, possiamo limitarci a considerare, senza perdita di generalità, i casi in cui si considera il punto a + e un chiuso generico C di K tale che a + / C. Deniamo A = K C. A è aperto e quindi contiene un intorno di a +, cioè n N tale che x K tale che L(x) n, si ha x A. Consideriamo i due insiemi: U = {x K : L(x) < n + 1}, V = {x K : L(x) > n + 1}. U e V sono due intorni disgiunti di C e a + rispettivamente. Segue quindi che K è uno spazio regolare. Mostriamo ora che K non è completamente regolare. Sia f : K R un'applicazione continua. Con un argomento analogo a quello usato per mostrare che [0, Ω] è la compatticazione di Stone-ƒech di [0, Ω[ si osserva che la restrizione f P (i) di f al livello P (i) può essere estesa a un'applicazione continua sul punto (Ω, ω) / P (i). Ancora con gli stessi argomenti del Teorema 3.7 è facile osservare che f deve essere costante su un insieme che ad ogni livello contiene un aperto A(i) intorno al punto (Ω, ω). Segue quindi che esiste una successione {a i } i Z in K tale che: lim a i = a, i lim a i = a +, i + f(a + ) = f(a i ) = f(a ), i N. Dunque lo spazio K non può essere completamente regolare in quanto ogni funzione continua assume lo stesso valore su a + e su a. 13

16 Riferimenti bibliograci [CTV] V. Checcucci, A. Tognoli, E. Vesentini, Lezioni di Topologia Generale, Feltrinelli, Milano (1968) [T] A. Tognoli, Esercizi risolti di topologia generale, Editrice tecnico scientica, Pisa (1973) [D] J. Dugundji, Topology, Allyn and Bacon Inc., Boston (1966) [StSe] L.A. Steen, J.A. Seebach Jr. Counterexamples in Topology, Springer-Verlag Inc., New York (1970) [W] R. Walker, The Stone - ƒech compactication, Springer, Berlino (1974) 14