Filtri passivi. V OUT Z 2

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1 Filtri passivi. I filtri sono dispositivi quadripolari (due dipoli) che hanno la funzione di modificare lo spettro del segnale al loro ingresso, fornendo in uscita un segnale attenuato in modo diverso a seconda della frequenza. Le applicazioni sono prevalentemente nel campo della trasmissione dei segnali, nella riproduzione sonora (equalizzazione) e in ogni campo dell'elettronica dove è richiesto un trattamento in frequenza del segnale. I filtri passivi sono costituiti da resistori, condensatori ed induttori, e possono essere raggruppati in quattro categorie a seconda della loro funzione: filtro passa basso (o taglia alto) filtro passa alto (o taglia basso) filtro passa banda filtro elimina banda La configurazione che viene trattata ora è quella a "mezzo T", cioè schematizzabile nel modo seguente: Z V IN V OUT Z Dove Z e Z possono essere resistenze induttanze o capacità. Si chiama funzione di trasferimento del filtro passivo (F.d.T.) il rapporto F. d. T. Tale relazione risulta essere una funzione della frequenza, e il suo valore indica come un segnale a qualsiasi frequenza venga attenuato o meno. Il massimo valore da essa assunto è, ovviamente, pari all'unità e in tale circostanza tutto il segnale all'ingresso del filtro viene trasmesso all'uscita. Quando invece essa assume il valore minimo (zero), il segnale non viene trasmesso per nulla all'uscita. V V OUT I N Filtro passa basso. Il primo filtro passivo che analizziamo è il passa basso, il quale trasmette all'uscita in modo quasi completo i segnali a bassa frequenza, mentre attenua sempre di più quelli ad alta frequenza. La funzione di trasferimento del filtro passa basso è quindi del seguente tipo: F.d.t. Dalla fig. si nota come al variare della frequenza (qui è riportata la freq. angolare ω π f ) la F.d.t. decresca dal valore max che assume alla frequenza nulla, fino a tendere a zero alle alte frequenze. Si sceglie come frequenza di taglio ω T la frequenza alla ω T fig. ω quale la F.d.t. è pari a,7, cioè quando dal filtro esce circa il 7 % della tensione che entra. I segnali che hanno frequenza superiore a quella di taglio verranno attenuati dal filtro a meno del 7% e vengono ritenuti tagliati dal filtro stesso. I segnali invece on frequenza inferiore sono trasmessi in uscita.

2 Un filtro con tali proprietà potrebbe essere rappresentato dal seguente circuito Fig. Immaginiamo ora di alimentare l'ingresso del filtro con un segnale la cui corrente ha intensità I, e di aprire i morsetti di uscita. La tensione d'ingresso sarà pertanto j V i R I C ω mentre la tensione d'uscita : j V o I C ω pertanto la funzione di trasferimento diverrà: Vo F. d. T. Vi + jωrc Il modulo di questa funzione è: F. d. T. () +ω R C il cui andamento rispetto la frequenza rispecchia proprio quello di fig. La frequenza di taglio, cioè ricordiamo quel valore di frequenza alla quale il segnale di tensione viene ridotto di,77 volte, si ricava ponendo la () : ω T mentre la freq. di taglio in Hz è : f T RC πrc La fase della f.d.t viene ricavata come per ogni espressione complessa, facendo cioè l arcotangente del rapporto tra la parte immaginaria e quella reale. φ ωrc arctg

3 Al variare della frequenza la fase ha l andamento rappresentato in fig. 3 Φ ω T ω Possiamo notare come alla frequenza nulla la fase dia (comportamento ohmico) mentre a frequenze crescenti la fase tenda asintoticamente a 9 (comportamento capacitivo). Alla frequenza di taglio la fase vale esattamente 45. Quindi a frequenza molto basse il segnale di uscita è in fase con quello di ingresso; a frequenze alte il segnale di uscita è sfasato in ritardo di quasi 9. Fig 3 I diagrammi della f.d.t. e della fase in funzione della frequenza hanno un andamento piuttosto distribuito, così da rendere difficile una loro rappresentazione grafica agevole come si evince anche dal seguente esempio numerico. Filtro passivo R C con R KΩ e C, μ F. La ω Τ 5 rad/s mentre la f T 4 Hz. La tabella seguenta riporta i valori della f.d.t. e della fase a frequenze diverse. f (Hz) ω 6, fdt,,97,89,7,45,4,,6 φ ( ),44 4, 6, ,57 76,6 8,94 86,48 Si noti come per poter apprezzare variazioni significative della f.d.t. e della fase occorra avere grandi escursioni dei valori di frequenza, che difficilmente potremmo riportare su di una scala lineare. Ragione per cui i diagrammi delle F.d.T. hanno l asse delle frequenze in scala logaritmica, così da avere le frequenze che sono potenze del a distanze uguali (Log, Log, Log, Log 3) mentre l asse verticale è espresso in decibel (db), cioè facendo Log F.d.t.. Tale diagramma prende il nome di diagramma di BODE, e ne esiste uno per il modulo della f.d.t. ed uno per la fase. Quindi delle espressioni viste precedentemente ne vanno calcolati i logaritmi. Per familiarizzare con le F.d.t. in scala db semilogaritmica, vediamo come è costituita. Asse dei decibel decade Asse delle frequenze ω fig.4 Possiamo notare che le potenze del (--- ecc.) sono a distanze uguali tra loro, mentre gli altri valori posti a distanze non uguali sono i multipli delle potenze del dieci, cioè dopo l uno il due poi il tre a distanza minore, il quattro a distanza ancora minore fino ad arrivare al. Gli intervalli di frequenza i cui 3

4 estremi sono uno pari a dieci volte l altro (es. - oppure - ) in questo diagramma sono lunghi uguali, e vengono chiamati decadi. Gli intervalli di frequenza dove gli estremi sono uno il doppio dell altro (ad es. 5-, -4) vengono invece chiamati ottave. In questo modo è possibile comprimere il diagramma della f.d.t. del filtro, riuscendo a rappresentarne grandi variazioni in poche decadi. Il filtro dell esempio precedente infatti ha una f.d.t. in db che per le diverse frequenze ha valori di seguito riportati: ω 6, fdt (db), -,7 -,98-3,3-7, -,34-8,7-4,4-7,65 In particolare notiamo che alla freq. di taglio (ω Τ /RC) la f.d.t. vale / che in db diventa: Log (/ ) -3 db. Il diagramma di BODE divente quindi: -3, -5, -, -5, -, -5, -3, -35, fdt (db) ω Τ /RC fig. 5 Notiamo come ogni decade il modulo della F.d.t. decresca di db, oppure come decresca di 6 db per ogni ottava: questi valori sono tipici dei filtri del I ordine come verrà spiegato più avanti. Ugualmente possiamo rappresentare la fase φ con la scala logaritmica delle frequenze: φ ( ) ω T, -, -, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -, fig. 6 4

5 Filtro passa alto. Una realizzazione circuitale è rappresentata nella seguente figura: La funzione di trasferimento è come al solito il rapporto tra l'impedenza d'uscita e quella d'ingresso: il cui modulo è : F. d. T. R R j ωc F. d. T. j ω R C ; + j ω R C + ω R C che in scala logaritmica diventa una funzione che può essere graficamente rappresentata attraverso la fig.. Mentre per la fase l operazione da eseguire è sempre l arcotangente della parte immaginaria della F.d.t.diviso quella reale. Φ arctg ω R C La frequenza di taglio è sempre quella che annulla il denominatore della F.d.T.: T RC La funzione di trasferimento in scala semilogaritmica in funzione della frequenza sarà del tipo. ω Lg F.d.T. db -3 db ω T Logω fig. 7 5

6 Per quanto riguarda la fase Φ ( ) fig. 8 Possiamo notare come a basse frequenze la fase sia pari a 9. In effetti a basse frequenze la reattanza del condensatore è molto più alta della resistenza, così la tensione in uscita sulla R deriva dalla corrente di dvc scarica del condensatore Vout I R R C che, come già visto, è sfasata di 9 in anticipo. Ad alte dt frequenze invece il condensatore ha reattanza trascurabile rispetto alla resistenza, così il circuito diventa puramente ohmico e la V out è in fase con la V in. Come si leggono i diagrammi di BODE Supponiamo di avere un filtro passa basso con R KΩ e C μ F. Quindi ω T 3 rad/sec. e f T 6 Hz I suoi diagrammi di Bode per il modulo della F.d.t. e della fase sono: fdt (db), -5, -, -5, -, -5, -3, -35, -4, -45, fig. 9 Immaginiamo di applicare all ingresso del filtro un segnale sinusoidale V IN sen (π 5 t + 3 ) la cui frequenza è 5 Hz, l pulsazione 34 rad/sec e la fase 3. Nel diagramma di BODE questo segnale si troverebbe nel punto indicato nella figura 9 con la freccia rossa: la f.d.t. vale,95 mentre in db vale,4 db. Quindi la risposta del filtro sarà : V OUT F.d.t. * V IN,95* 9,5 mv Lo sfasamento lo leggiamo nel relativo diagramma della fase: La risposta del filtro al segnale di ingresso la possiamo visualizzare in questo modo: 6

7 7, fig. segnale sinusoidale freq. 5 Hz Si noti come l uscita (in rosso) abbia quasi l ampiezza dell ingresso, ed inoltre abbia un leggero sfasamento in ritardo. Se invece consideriamo un altro segnale di ingresso, sempre sinusoidale avente frequenza superiore a quella di taglio: V(t) sen (π5 t ) F 5 Hz ω 34 rad/sec. V MAX mv fase Dal diagramma di BODE (fig. 9) la frequenza di questo secondo segnale è segnata in azzurro; la f.d.t. vale,3 Log f.d.t. - db ; fase φ -5. Il segnale in uscita dal filtro ha ampiezza V OUT,3* 3 mv fase φ -7. La sua forma, confrontata con quella del segnale di ingresso sono in figura n, nella quale si nota l attenuazione del segnale ora più consistente e lo sfasamento. fig. 7

8 Diagrammi di BODE nel formalismo di LAPLACE. Tutto quanto visto finora riguarda i segnali in regime sinusoidale. Ma i segnali elettronici non sono solo sinusoidali anzi, raramente lo sono. In generale essi sono semplicemente variabili e periodici. Da quanto visto nell introduzione, i componenti passivi come il condensatore e l induttanza se sottoposti ad una tensione variabile, faranno circolare nel circuito una corrente sfasata rispetto alla tensione. Nel regime sinusoidale si è visto che : per il circuito capacitivo: dq d ( C VC ) dvc I C j C VC ω quindi dt dt dt per il circuito induttivo: di V L L L j ω I jω L I dt Cioè quando si esegue l operazione di derivazione nel tempo V C I j ω C dv di una grandezza V vuol dire che essa dt viene moltiplicata per jω. Per i segnali non sinusoidali le formule viste prima per V L e V C valgono ancora ma al posto di jω avremo un altra variabile che indicheremo con il simbolo S. Essa nel caso sinusoidale coincide con il termine jω, ma con tensioni in ingresso qualsiasi assume un significato diverso, anche se è comunque una variabile legata alla frequenza. Quindi se sottoponiamo un condensatore o un induttanza ad una corrente qualsiasi, la loro risposta sarà : V V L C s L I I s C se poi la corrente è sinusoidale per noi allora s sarà la frequenza. I diagrammi di BODE visti prima sono ancora validi ovviamente, ma al posto della frequenza ω metteremo la variabile s. Il motivo per il quale si è introdotta questa variabile per esprimere la risposta dei circuiti è già evidente nell espressioni precedenti di V L e di I c in funzione del tempo. In entrambe le espressioni infatti dovevano comparire due derivate nel tempo, che ora sono diventate semplicemente una moltiplicazione per la variabile s. Il vantaggio è quindi quello di trasformare un equazione con derivate nel tempo in un espressione algebrica con la variabile s. L operazione che permette questa trasformazione si chiama trasformata di LAPLACE. Ovviamente vale anche l operazione inversa che trasforma un espressione algebrica in s, in un espressione differenziale con la derivata nel tempo. L operazione che permette questa trasformazione inversa viene detta antitrasformata di LAPLACE. Trasformata di LAPLACE Espressione nel tempo dx dt Espressione trasformata con LAPLACE in dominio S S*X Antitrasformata di LAPLACE Questo è solo uno degli esempi di trasformazione con LAPLACE, la cui utilità verrà più chiara in sistemi. Le funzioni di trasferimento viste prima ora diventano trasformate sostituendo a jω la variabile s. Per esempio : + jωrc + s RC j ω R C s RC ; + j ω R C + s RC 8

9 Con le f.d.t. nella variabile s ora sarà più facile ricavare i diagrammi di BODE di modulo e fase. Questo è un altro vantaggio delle funzioni in dominio s. LE f.d.t. infatti vediamo che sono delle espressioni fratte, in cui si può annullare sia il numeratore che il denominatore per un certo valore di s. Quando si annulla il numeratore diremo che la f.d.t. presenta uno zero, mentre quando si annulla il denominatore diremo che la f,d,t, ha un polo. Le f.d.t. che ora esamineremo sono solo quelle in cui la variabile s è al massimo di primo grado. I sistemi che hanno una simile f.d.t. si chiamano sistemi del ordine. Essi possono avere una delle seguenti f.d.t.: espressione tipo K costante s oppure s τ Zero in origine + s τ Zero non in origine Polo in origine oppure s Polo non in origine + + Zero in origine e polo non in origine + Zero non in origine e polo non in origine + Per queste funzioni in s si applica un procedimento standart per ottenere i diagrammi di BODE, che sarà sistematico e più sintetico rispetto alla trattazione precedente con jω. caso funzione costante: f.d.t. K Log K fase φ i relativi diagrammi di BODE sono riportati nelle seguenti figure: K > φ K Log ω Log ω K < caso funzione con zero in origine: f.d.t. S f.d.t. db Log S fase φ arctg ( s / ) arctg ( ) 9 ; il caso in cui vi è un coefficiente τ che moltiplica la variabile s, è analogo a questo. In effetti nel caso ora presentato il coefficiente τ valeva. f.d.t. S*τ f.d.t. db Log S + Log τ fase φ 9 ; Il relativo diagramma di BODE per il modulo verrà pertanto ottenuto da quello della prima funzione, aggiungendo o togliendo il termine costante Log τ, a seconda che il termine τ sia rispettivamente maggiore o minore di. Ricordiamo che Logτ > se τ >. Si noti la pendenza della retta pari a db / decade 9

10 + db/decade τ > 5 τ 4 τ < 3,, φ ( ) 3 caso funzione con zero non in origine + s τ; La f.d.t. è + sτ in db diventa Log +sτ la fase φ arctg Per ricavare il diagramma di BODE ragioniamo in questo modo: approssimiamo la f.d.t. per le basse frequenze: Sτ << cioè S << /τ la f.d.t. diventa Log db, che è una retta orizzontale sullo zero; per le frequenze alte: S >> /τ la f.d.t. diventa Log Sτ Log S + Log τ, che abbiamo già visto nel caso essere una retta con pendenza + db/decade che interseca l asse delle frequenze sul valore /τ; 3 Basse frequenze /τ Alte frequenze

11 Unendo con una linea le due rette (la linea in rosso nella fig. precedente) si ottiene l andamento effettivo della f.d.t. per tutte le frequenze. La linea tratteggiata in rosso è la curva effettiva della f.d.t., l altra non tratteggiata rappresenta invece l approssimazione effettuata. In effetti grazie alla scala logaritmica ora è possibile approssimare in maniera più netta la curva della f.d.t.. In particolare si noti come alla frequenza di taglio(/τ nell esempio) la f.d.t. non valga +3 db ma sia approssimata a o db. Per la fase operiamo allo stesso modo: a basse frequenze la tagente della fase φ è circa zero, quindi la fase è ; alla freq. di taglio ω T /τ la tangente vale e la fase è quindi 45 ; alle alte frequenze la tengente diventa infinitamente grande quindi la fase diventa 9 ; LA curva della fase parte quindi da, per finire poi a 9 passando, alla freq. di taglio a 45. La regola da seguire in questo diagramma della fase è: partire da portarsi verso i 45 per ω ω T partendo una decade prima (ω/τ) per finire a 9 una decade dopo (ω /τ); /τ Nella figura è rappresentata la fase della funzione di prima, con τ / /τ. f.d.t. 4 caso funzione con polo in origine. f.d.t. db Log Log Log Log s Log τ Il primo termine sulla scala logaritmica rappresenta una retta con pendenza db/decade. Il secondo è un termine costante negativo che sposta verso il basso o verso l alto la retta, a seconda che τ si rispettivamente maggiore o minore di uno. Supponiamo ad esempio che τ - s. Il diagramma di BODE del modulo sarà: 3 - /τ - db/decade Per quanto riguarda la fase l operazione da eseguire è:

12 φ arctg φ 9 La fase è quindi costantemente pari a 9, per ogni valore di S. Se ne omette quindi la rappresentazione grafica. 5 caso : funzione con polo non in origine: + f.d.t. db Log Log - Log + sτ - Log + sτ ; + Questa f.d.t. è la stessa vista nel caso n 3 (pag. ) ma ha il segno opposto. Quindi il diagrama di BODE del modulo partirà dal valore db (approssimazione alle basse frequenze se s << /τ), poi per s >> /τ il modulo della f.d.t. diventa: -Log sτ - Log s - Log τ che è la solita retta con pendenza db/decade che interseca l asse delle ascisse nel polo s /τ. Nella figura che segue si è preso τ -3 sec. Il polo quindi è /τ 3 F.d.t. 3 + s db/decade Anche in questo caso si procede ad una approssimazione, per la quale la retta che all inizio ha un valore costante pari a db quando raggiunge il polo /τ cambia improvvisamente pendenza, decrescendo di db per ogni decade (o 6 db/ottava). Per quanto riguarda la fase vale quanto detto per il caso n 3, ma con segno invertito. Si partirà quindi da per finire a 9. La curva approssimata inizierà a decrescere una decade prima del polo (/τ ) per arrivare a 9 una decade dopo (/τ 4 ). Al polo φ /τ

13 6 caso funzione co zero in origine e polo non in origine + anche in questo caso grazie alle proprietà del logaritmo riusciamo a ricavare il diagramma di BODE dai diagrammi delle funzioni precedenti: F.d.t. db Log Log sτ - Log + sτ + il primo termine è la funzione con zero in origine (+ db/decade), la seconda è la funzione con polo in /τ (filtro passa basso). Ad esempio supponiamo che τ valga - e quindi /τ, nella figura seguente vediamo tratteggiate in nero le f.d.t. in db delle due funzioni citate prima, mentre in rosso vediamo la sovrapposizione delle due f.d.t. che rappresenta quindi la f.d.t. della nostra funzione in esame. Come si nota questo è un diagramma di BODE di un filtro passa alto con frequenza di taglio f T /πτ. In effetti si confronti l espressione della nostra f.d.t. con quella di un passa alto RC (prima formula a pag. 5) db/decade s τ Vediamo ora la fase, sovrapponendo sempre le fasi delle due f.d.t. 9 Zero in origine /τ Polo in /τ 3

14 U n altro schema circuitale del filtro passa alto è il seguente: La funzione di trasferimento e il suo modulo sono rispettivamente: jωl F. d. T. ; R + jωl F. d. T. R + ω L mentre la frequenza di taglio è sempre la stessa: ω T R L Filtri elimina banda. Con questi filtri si desidera eliminare una componente spettrale di un segnale, di larghezza in frequenza variabile, che risulta indesiderata o dannosa per l'apparato strumentale che segue ad essi. Un esempio di filtro taglia banda è il seguente circuito: La F.d.t. ottenuta sempre facendo il rapporto tra impedenza d'uscita diviso quella d'ingresso, risulta: F. d. t. j ( ωl ) ωc il cui modulo diventa: R + j ( ωl ) ωc F. d. t. + R ω C ( ω LC ) quest'ultima funzione presenta un minimo quando il denominatore della frazione sotto radice si annulla, cioè per un valore della frequenza 4

15 ω LC che è proprio la frequenza di risonanza del circuito LC. Su scala logaritmica la F.d.t. assume la forma grafica di seguito riportata: db ω ω LC 5