Matematica, 12 CFU. Corso di laurea in Scienze Biologiche- A.A Laurea Triennale

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1 Matematica, 2 CFU Corso di laurea in Scienze Biologiche- A.A Laurea Triennale 4 Febbraio 200- COMPITO - Totale punti 40, punteggio minimo 24 Nome Cognome. (4 punti) Calcolare i seguenti limiti: (a) lim n n+sin(n+) n cos n, (b) lim x 0 +( + sin x) sin x. (a) (b) 2. (5 punti) Calcolare il seguente integrale definito: 0 xe x dx. 3. (5 punti) Determinare gli asintoti della funzione: f(x) = x2 + log x (5 punti) Determinare gli eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione: f(x) = e3x x+. 5. (5 punti) Risolvere l equazione differenziale y +2y +y = e 2x. Quante soluzioni soddisfano la condizione y(0) =.

2 6. (4 punti) Quattro provette contengono ciascuna un campione di una sostanza A mentre una quinta, esteriormente indistinguibile dalle altre, contiene un campione di una sostanza B. Disponiamo di un rivelatore che diventa positivo il 50% delle volte con la sostanza A e il 75% con la sostanza B. a) Qual è la probabilità che, scegliendo a caso una provetta, il rilevatore diventi positivo? b) Se il rivelatore diventa positivo, qual è la probabilità di aver scelto la provetta con la sostanza B? 7. (4 punti) Una vasca contiene un numero molto grande di sferette il cui raggio è una variabile aleatoria normalmente distribuita con media.5 mm e deviazione standard 0.2 mm. a) Qual è la probabilità di estrarre una sferetta con raggio compreso fra.5 e.7 millimetri? b) Prendendo a caso cinque sferette, calcolare la probabilità che almeno due di queste abbiano un raggio compreso fra.5 e.7 millimetri. 8. (8 punti) Teorema di Lagrange e caratterizzazione delle primitive 2

3 Soluzioni. (a) = 2 (b) = e. 2. x = t x = t 2 dx = 2tdt x = t =, x = 0 t = 0 si ottiene: che si risolve per parti. 0 2t 3 e t dt 3. f é definita x > 0 e x e 2, si ha lim x (e 2 ) + f(x) = +, lim x (e 2 ) f(x) = quindi x = e 2 asintoti verticale. Inoltre lim f(x) = 0 e lim f(x) = +. Non ci sono asintoti obbliqui. x f é definita per x + > 0 x >. f (x) = e3x (6(x + ) ) ( x + ) 3 x = 5 6 minimo. Inoltre lim f(x) = + e lim f(x) = +. La funzione non ha valore massimo. x + 5. Euqazione di secondo grado a coefficienti costanti. λ 2 + 2λ + = (λ + ) 2 = 0. Le soluzioni dell omogenea: C e x + C xe x. Una soluzione particolare della forma ȳ = Ae 2x e quindi A = 9. Vi sono infinite soluzioni che soddisfano y(0) =. 3

4 Matematica, 2 CFU Corso di laurea in Scienze Biologiche- A.A Laurea Triennale 4 Febbraio 200- COMPITO 2- Totale punti 40, punteggio minimo 24 Nome Cognome log n n. (4 punti) Calcolare i seguenti limiti: (a) lim n n+cos(n+), (b) lim ( ex e x + ) x. (a) (b) 2. (5 punti) Calcolare il seguente integrale definito log 5 log 2 ex dx. 3. (5 punti) Determinare gli asintoti della funzione f(x) = e2x e x (5 punti) Determinare gli eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti di f(x) = arctan 3e x log( + 9e 2x ). 5. (5 punti) Risolvere l equazione differenziale y = xy x2 lim y(x) = +. + e verificare se esiste una soluzione che tale che:

5 6. (4 punti) Cinque provette contengono ciascuna un campione di una sostanza A mentre una sesta, esteriormente indistinguibile dalle altre, contiene un campione di una sostanza B. Disponiamo di un rivelatore che diventa positivo il 50% delle volte con la sostanza A e il 75% con la sostanza B. a) Qual è la probabilità che, scegliendo a caso una provetta, il rilevatore diventi positivo? b) Se il rivelatore diventa positivo, qual è la probabilità di aver scelto la provetta con la sostanza B? 7. (4 punti) Una vasca contiene un numero molto grande di sferette il cui raggio è una variabile aleatoria normalmente distribuita con media.5 mm e deviazione standard 0.2 mm. a) Qual è la probabilità di estrarre una sferetta con raggio compreso fra.3 e.7 millimetri? b) Prendendo a caso cinque sferette, calcolare la probabilità che almeno due di queste abbiano un raggio compreso fra.3 e.7 millimetri. 8. (8 punti) Definizione di limite di una successione e Teorema di Unicitá. 2

6 Soluzioni. (a) = e (b) =. 2. e x = t e x = t 2 + dx = 2t t 2 +dt. L integrale diventa 2 2t t 2 + dt = 2[t arctan t]2 = f(x) = e3x 2e 2x é definita per x log 2 lim x ( log 2) f(x) = +, lim x ( log 2) + f(x) = x = log 2 asintoto verticale. lim f(x) = +, lim f(x) = 0, x y = 0 asintoto orizontale a, non ci sono asintoti obbliqui. 4. quindi f (x) = 3ex 8e2x + 9e2x + 9e 2x, x = log 6 massimo relativo. Inoltre f (x) = 0 e x (3 8e x ) = 0 8e x = 3 lim f(x) =, lim f(x) = 0, x non ha valore minimo. 5. Equazione differenziale a variabili separate: per c > 0 la soluzione soddisfa lim + y(x) = +. y y = x x2 log y = x 2 y(x) = Ce x 2 3

7 Matematica, 2 CFU Corso di laurea in Scienze Biologiche- A.A Laurea Triennale 4 Febbraio 200- COMPITO 3- Totale punti 40, punteggio minimo 24 Nome Cognome 2n e. (4 punti) Calcolare i seguenti limiti: (a) lim sin(n+) n n+log n, (b) lim ( + x )log(2 (sin x)2). (a) (b) 2. (5 punti) Calcolare il seguente integrale definito: log 8 0 e 3x e 6x +4 dx. 3. (5 punti) Determinare gli asintoti della funzione: f(x) = e 2x e e x. 4. (5 punti) Determinare gli eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione: f(x) = log( + 4e 2x ) arctan 2e x. 5. (5 punti) Determinare la soluzione dell equazione differenziale: y 2xy+xe x2 y 2 = 0, tale che y(0) = 5.

8 6. (4 punti) Quattro provette contengono ciascuna un campione di una sostanza A mentre una quinta, esteriormente indistinguibile dalle altre, contiene un campione di una sostanza B. Disponiamo di un rivelatore che diventa positivo il 25% delle volte con la sostanza A e il 30% con la sostanza B. ) Qual è la probabilità che, scegliendo a caso una provetta, il rilevatore diventi positivo? 2) Se il rivelatore diventa positivo, qual è la probabilità di aver scelto la provetta con la sostanza B? 7. (4 punti) Una vasca contiene un numero molto grande di sferette il cui raggio è una variabile aleatoria normalmente distribuita con media.5 mm e deviazione standard 0.3 mm. ) Qual è la probabilità di estrarre una sferetta con raggio compreso fra.5 e.8 millimetri? 2) Prendendo a caso sei sferette, calcolare la probabilità che almeno due di queste abbiano un raggio compreso fra.5 e.8 millimetri. 8. (8 punti) Criterio di monotonia: condizioni necessarie e sufficienti per la crescenza di una funzione derivabile 2

9 Soluzioni. (a) = 2 e (b) =. 2. e 3x = t x = 3 log t dx = 3tdt. L integrale diventa t 2 = arctan e e x 0 x. Si ha. lim f(x) = +, lim x () f(x) = x () + x = asintoto verticale. Inoltre: lim f(x) = 0, lim f(x) = +, x y = 0 asintoto orizzontale a +, non ci sono asintoti obbliqui. 4. f (x) = 8e2x + 4e 2x ) 2e x + 4e 2x ), f (x) = 0 e x (4e x ) = 0 4e x = x = log 4 minimo relativo. Inoltre lim f(x) = +, lim f(x) = 0, x non ha valore massimo. 5. Si tratta di un equazione di Bernoulli: z = y z = y y 2. L equazione diventa: z = 2xz + xe x z(x) = e x ( 2 x2 + C) La soluzione con C = 5 soddisfa y(0) = 5. 3

10 Matematica, 2 CFU Corso di laurea in Scienze Biologiche- A.A Laurea Triennale 4 Febbraio 200- COMPITO 4- Totale punti 40, punteggio minimo 24 Nome Cognome n log(+(sin n). (4 punti) Calcolare i seguenti limiti: (a) lim 2 ) 3 n n e, (b) lim (log x) sin n x 0. (a) (b) 2. (5 punti) Calcolare il seguente integrale definito: log 9 log 4 e x 2 e x dx. 3. (5 punti) Determinare gli asintoti della funzione: f(x) = log(x2 +) e x e. 4. (5 punti) Determinare gli eventuali massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione: f(x) = x+ e 3x. 5. (5 punti) Calcolare la soluzione dell equazione differenziale y = yx + x y, tale che y(0) =.

11 6. (4 punti) Cinque provette contengono ciascuna un campione di una sostanza A mentre una sesta, esteriormente indistinguibile dalle altre, contiene un campione di una sostanza B. Disponiamo di un rivelatore che diventa positivo il 25% delle volte con la sostanza A e il 30% con la sostanza B. ) Qual è la probabilità che, scegliendo a caso una provetta, il rilevatore diventi positivo? 2) Se il rivelatore diventa positivo, qual è la probabilità di aver scelto la provetta con la sostanza B? 7. (4 punti) Una vasca contiene un numero molto grande di sferette il cui raggio è una variabile aleatoria normalmente distribuita con media.5 mm e deviazione standard 0.3 mm. ) Qual è la probabilità di estrarre una sferetta con raggio compreso fra.2 e.8 millimetri? 2) Prendendo a caso sei sferette, calcolare la probabilità che almeno due di queste abbiano un raggio compreso fra.2 e.8 millimetri. 8. (8 punti) Funzioni Derivabili e Teorema di Rolle 2

12 Soluzioni. (a) = e (b) =. 2. e x 2 = t x 2 = log t dx = 2 t dt. L integrale diventa t 2 =... = [ log t + log + t ]3 2 = e x e 0 X. Si ha. lim x () f(x) =, lim x () + f(x) = + x = asintoto verticale. Inoltre: lim f(x) = 0, lim f(x) =, x y = 0 asintoto orizzontale a +, non ci sono asintoti obbliqui. 4. f é definita per x, f (x) = 6(x + ) e 3x 2 x +, x = 5 6 massimo relativo. Inoltre lim f(x) = 0 e f( ) = 0 e f(x) 0. f assume valore minimo in x =. 5. Equazione differenziale a variabili separate: y y y 2 = x 2 log(y2 + ) = 2 X2 + c y(x) = ± Ce x2. Per determinare la soluzione tale che y(0) = basta prendere C = 2. 3

13 Svolgimento degli esercizi di probabilitá e statistica Esercizio di tipo A. La prima parte è data da p = P (A)P (+ A) + P (B)P (+ B) (dove A [B] indica l evento scelgo la provetta con la sostanza A [B], mentre + indica l evento il rivelatore è positivo ). La seconda parte è data dalla formula di Bayes: P (B)P (+ B) p 2 = P (A)P (+ A) + P (B)P (+ B). Notare che p è il denominatore di p 2. Le soluzioni dei quattro esercizi N.6 sono quindi:. (a) p = /20; (b) p 2 = 3/; 2. (a) p = 3/24; (b) p 2 = 3/3; 3. (a) p = 3/50; (b) p 2 = 3/3; 4. (a) p = 3/20; (b) p 2 = 6/3. Esercizi di tipo B. Nei compiti N. e N.3 la prima parte si fa per standardizzazione, riconducendosi alla probabilità della normale standard p = P (0 Z ) 0.34 Nei compiti N. 2 e N. 4 la standardizzazione conduce a p = P ( Z ) 0.68 La seconda parte si fa con la distribuzione binomiale. Se X indica il numero di sferette che rientrano nell intervallo richiesto si ha Dunque, nei compiti N. e N. 2 si ha mentre in quelli N. 3 e N. 4 si ha P (X 2) = P (X = 0) P (X = ). p 2 = ( p ) 5 5 p ( p ) 4 p 2 = ( p ) 6 6 p ( p ) 5. Sostituendo i valori e riassumendo, nei 4 compiti i risultati sono. (a) p = 0.34; (b) p 2 = 0.552; 2. (a) p = 0.68; (b) p 2 = 0.96; 3. (a) p = 0.34; (b) p 2 = 0.662; 4. (a) p = 0.68; (b) p 2 =