SOLUZIONE DEL QUESITO 2 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2017

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1 SOLUZIONE DEL QUESITO TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 07 Consideriamo il caso in cui la base superiore del cilindro retto corrispondente alla torta è tangente alla superficie interna della cupola semisferica. Fissata l altezza, questa torta è la più grande possibile. Indichiamo i volumi della cupola e della torta con V cupola e V torta. Dobbiamo verificare che V torta < 5 V cupola. Questo equivale a mostrare che Vtorta V cupola < 5. Cerchiamo il massimo del rapporto tra i volumi della torta e della cupola, mostrando che tale massimo è sempre minore di 5. La figura mostra una sezione verticale di torta e cupola, con il piano di sezione perpendicolare alla base della cupola e passante per il suo centro. Indichiamo con R il raggio della cupola semisferica e con r il raggio di base della torta. Consideriamo un angolo ϑ come indicato in figura. Il metodo più efficiente per risolvere il quesito è considerare come incognita l altezza h della torta. Mostriamo la risoluzione anche nel caso in cui si scelgano come incognite il raggio r della torta oppure l angolo ϑ. c 07 Zanichelli editore

2 METODO : l incognita è l altezza h Il volume della cupola è: V cupola = 4 πr = πr. Scriviamo il volume della torta in funzione di h. R, r e h sono i lati di un triangolo rettangolo, quindi per il teorema di Pitagora si ha r = R h, con 0 h R. Calcoliamo il volume della torta: Il rapporto tra i volumi è: V torta = π ( R h ) h = π(r h ) h. f(h) = π(r h ) h = h ( R h ) = R h h. πr R R Studiamo massimi e minimi di f(h). Calcoliamo la derivata prima: f (h) = R (R h ). Studiamo il segno di f (h) con 0 h R: R (R h ) 0 R h 0 h R h R R h R 0 h R. Pertanto, per h = f R il rapporto dei volumi è massimo e vale: ( ) R = R ( R R) = R R ( R) = R 0, 577 < 5. c 07 Zanichelli editore

3 METODO : l incognita è il raggio r In alternativa, è possibile risolvere il quesito considerando come incognita la variabile r, ovvero il raggio di base della torta. Il volume della cupola non dipende da r: V cupola = πr. Per il teorema di Pitagora si ha h = R r, con 0 r R. Calcoliamo il volume della torta in funzione di r: Il rapporto tra i volumi è: V torta = πr R r. g(r) = πr R r = r R r. πr R Studiamo massimi e minimi di g(r), con 0 r R: g (r) = R [ r ] R r + r R r ( r) = ( ) R R r r r = R r R r (R r ) r = R r R r(r r ). R r Il segno della derivata coincide con quello del numeratore, poiché il denominatore è sempre positivo. Ricordando che 0 r R, abbiamo: r(r r ) 0 R r r R R r R 0 r R. c 07 Zanichelli editore

4 Pertanto, per r = g ( ) R = R il rapporto dei volumi è massimo e vale: ( R ) R ( R ) R = METODO : l incognita è l angolo ϑ Il volume della semisfera è V cupola = πr R R R = R 0, 577 < 5. e il volume della torta è V torta = πr h. Come mostrato nella figura iniziale, r, R e ϑ sono gli elementi del triangolo rettangolo, quindi: Dunque: r = R cos ϑ e h = R sin ϑ. V torta = πr h = π(r cos ϑ) R sin ϑ = πr cos ϑ sin ϑ. Pertanto la funzione che esprime il rapporto tra i volumi è: m(ϑ) = V torta = πr cos ϑ sin ϑ = V cupola πr cos ϑ sin ϑ. Poiché la figura è simmetrica, possiamo limitare lo studio della funzione all intervallo 0 ϑ π. Studiamo dunque massimi e minimi della funzione m(ϑ), con 0 ϑ π. Calcoliamo la derivata prima: m (ϑ) = [ cos ϑ( sin ϑ) sin ϑ + cos ϑ cos ϑ] = cos ϑ( sin ϑ + cos ϑ). Poiché sin ϑ + cos ϑ = otteniamo: m (ϑ) = cos ϑ( sin ϑ + sin ϑ) = cos ϑ( sin ϑ + ). 4 c 07 Zanichelli editore

5 Studiamo il segno della derivata prima in 0 ϑ π. quadrante si ha sin ϑ 0 e cos ϑ 0: cos ϑ( sin ϑ + ) 0 sin ϑ + 0 sin ϑ sin ϑ 0 ϑ arcsin. Poiché nel primo 0 arcsin π + 0 Dal grafico della derivata osserviamo che per ϑ = arcsin sin ϑ = Poiché:, il rapporto tra i volumi è massimo. m(ϑ) = cos ϑ sin ϑ = ( sin ϑ) sin ϑ, il valore massimo del rapporto dei volumi è: ( ) m arcsin = ( ) = 0, 577 < 5., ovvero per 5 c 07 Zanichelli editore