Problema 1. Maturità Scientifica 2015 Sessione Ordinaria

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1 Maturità Scientifica 05 Problema Sessione ordinaria Problema Pagina di 5

2 Maturità Scientifica 05 Problema Sessione ordinaria L operatore di telefonia modifica il piano tariffario, inserendo un sovrapprezzo di 0 centesimi per ogni minuto di conversazione successivo ai primi 500 minuti. 4. Determina come cambiano, di conseguenza, le caratteristiche delle funzioni f ( ) e g( ), riguardo agli asintoti, alla monotonia, continuità e derivabilità, individua eventuali massimi e minimi assoluti della funzione g( ) e della sua derivata e spiegane il significato nella situazione concreta. Pagina di 5

3 Maturità Scientifica 05 Problema Sessione ordinaria Simboli usati: = numero di minuti di conversazioni effettuati in un mese ( f ( ) = spesa totale in euro effettuata in un mese g( ) = costo medio al minuto 0giorni = =400 minuti Supponiamo che il tempo sia una variabile continua e non una variabile discrete come lascerebbe supporre la misura del tempo in minuti (,,,4,,,,,5, minuti) La spesa mensile in euro è espressa dalla funzione: f ( ) rappresenta il costo fisso ed il coefficiente angolare = +0 0 dove l intercetta 0 m= rappresenta il costo al minuto. 0 Il costo medio al minuto ci viene fornito dalla seguente funzione: ( ) f ( ) g = = + = 0 0 Si tratta di una iperbole equilatera che ha come asintoti l asse y e la retta di equazione y = 0 Pagina di 5

4 Maturità Scientifica 05 Problema Sessione ordinaria. Detto o il numero dei minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, determina tale che: ( ) ( ) g o g =. Traccia il grafico della funzione che esprime in funzione di o e discuti il suo andamento. Che significato ha il suo asintoto verticale? Il valore indica quanti minuti di conversazione occorrono per dimezzare il costo medio g( ) problema da risolvere è il seguente: dopo avere effettuato o minuti di conversazione dobbiamo stabilire quanti minuti di conversazione dobbiamo effettuare per avere un costo medio dimezzato. Tradotto in termini matematici abbiamo: ( ) ( ) g o g = + 00 o = ( + 00) = ( + 00) o o o o. Il Pagina 4 di 5

5 Maturità Scientifica 05 Problema Sessione ordinaria o + 00 o = o + 00 o = ( o) o o 00 o = 00 o Ponendo h( ) = e o 00 = otteniamo: h( ) = 00- Si tratta di una iperbole equilatera di asintoti = 00 e y = 00 > 00 h( ) < 0 Per questi valori non è possibile il dimezzamento dei costi medi Infatti per 00 > avremmo un numero h( ) = negativo di minuti. Pertanto raggiunti o superati i 00 minuti di conversazione il costo medio non è dimezzabile. Possiamo concludere affermando che l asintoto obliquo di equazione = 00 esprime l estremo superiore dei valori di o per cui l uguaglianza proposta ammette soluzioni e dunque riesce ad ottenere il dimezzamento dei costi medi. domh( ) = ] 0;00 [ Il grafico è quello indicato in figura. E evidente che soltanto il ramo di iperbole situato nel primo quadrante ha significato reale. Sul suo sito web l operatore telefonico ha pubblicato una mappa che rappresenta la copertura del segnale telefonico nella zona di tuo interesse: Pagina 5 di 5

6 Maturità Scientifica 05 Problema Sessione ordinaria La zona è delimitata dalla curva passante per i punti ABC,,, dagli assi e y, e dalla retta di equazione = 6 ; la porzione etichettata con la " Z ", rappresenta un area non coperta dal segnale telefonico dell operatore in questione.. rappresenta il margine superiore della zona con una funzione polinomiale di secondo grado, verificando che il suo grafico passi per i tre punti ABC.,, Sul sito web dell operatore compare la seguente affermazione: nella zona rappresentata nella mappa risulta coperto dal segnale il 96% del territorio ; verifica se effettivamente è così. y = a + b + c è la funzione polinomiale di secondo grado richiesta dal problema. So tratta di una parabola γ. A ( 0;) B 7 ; C ( 4;4) A γ c = B γ 7 = 4a+ b+ c C γ 4= 6a+ 4b+ c Pagina 6 di 5

7 Maturità Scientifica 05 Problema Sessione ordinaria Il sistema da risolvere è il seguente: c = 8a+ 4b+ c= 7 6a+ 4b+ c= 4 a = 8 b = c = γ:y= Il punto C ( 4;4) è il vertice della parabola γ. Il grafico della figura mette in evidenza la zona coperta dal segnale e quella non coperta. La zona Z non coperta dal segnale è un triangolo isoscele di area L area sottesa dalla parabola γ è: SZ = = = 0,5 km S = d = km = + + = + = L area coperta dal segnale è S = S S Z = 0,5= 0,5km C La percentuale dell area coperta dal segnale è: SC 0,5 p = = = 0,976 = 97,6% S Z Tale rapporto risulta superiore alla copertura dichiarata dal gestore che è pari a 96%. L operatore di telefonia modifica il piano tariffario, inserendo un sovrapprezzo di 0 centesimi per ogni minuto di conversazione successivo ai primi 500 minuti. 4. Determina come cambiano, di conseguenza, le caratteristiche delle funzioni f ( ) e g( ), riguardo agli asintoti, alla monotonia, continuità e derivabilità, Pagina 7 di 5

8 Maturità Scientifica 05 Problema Sessione ordinaria individua eventuali massimi e minimi assoluti della funzione g( ) e della sua derivata e spiegane il significato nella situazione concreta. Dopo la modifica del piano tariffario le funzioni f ( ) e g( ) diventano delle funzioni a tratti ed assumono la seguente forma analitica: f ( ) = se = = se > se 0< 500 f ( ) 0 g( ) = = 00 se > Le proprietà della nuova funzione f ( ) sono le seguenti: () dom f ( ) = ] 0; + [ () la funzione è continua in tutto il suo dominio () nel punto = 500 = + = (4) presenta un 0 5 presenta un punto angoloso in quanto risulta f ( 500 ) f ( 500 ) minimo assoluto nel punto 0 = e tale minimo vale ( ) f 0 = 0 Il grafico di questa funzione è il seguente: Le proprietà della nuova funzione g( ) sono le seguenti: () dom g ( ) = ] 0; + [ () nel punto = 500 presenta un punto angoloso in quanto risulta g = 5 + = ( 500 ) g( 500 ) tale punto angoloso è anche un punto di minimo assoluto che vale g ( 500) = 0, Pagina 8 di 5

9 Maturità Scientifica 05 Problema Sessione ordinaria () = 0 è un suo asintoto verticale y = è un suo asintoto orizzontale 5 Il grafico di tale funzione è costituito da due rami di iperbole. 0 se < < g ( ) = 40 se > 500 tale derivata non è continua nel punto = 500 che rappresenta una = + = discontinuità di prima specie essendo: g ( 500 ) g ( 500 ) Il grafico della funzione g ( ) è il seguente Nella nuova situazione il costo medio continua a diminuire all aumentare di [ 0;500], mentre aumenta per > 500 a causa del sovrapprezzo. Pagina 9 di 5

10 Maturità Scientifica 05 Problema Sessione ordinaria Problema La funzione derivabile y = f ( ) ha, per [ ;], il grafico γ, disegnato in figura. γ presenta tangenti orizzontali per =, =. Le aree delle ragioni ABC,, ed sono rispettivamente,,e. Sia g( ) una primitiva di f ( ) tale che ( ) g = 5. () Nel caso f ( ) fosse esprimibile con un polinomio, quale potrebbe essere il suo grado minimo? Illustra il ragionamento seguito. () Individua i valori di [ ;], per cui g( ) ha un massimo relativo e determina i valori di per i quali g( ) volge la concavità verso l alto. () Calcola g ( 0) e, se esiste, il lim 0 ( ) + g (4) Sia h( ) = f ( + ), determina il valore di ( ). h d Pagina 0 di 5

11 Maturità Scientifica 05 Problema Sessione ordinaria () Nel caso f ( ) fosse esprimibile con un polinomio, quale potrebbe essere il suo grado minimo? Illustra il ragionamento seguito. Il grafico della funzione f ( ) incontra l asse delle ascisse in 4 punti, dei quali due sono coincidenti in quanto la funzione proposta si annulla nei punti =, = 0, 4 = =. Se la tangente al grafico della funzione ha nel punto di ascissa incontro bipunto la funzione polinomiale dovrebbe essere del tipo: = un = ( ) = ( + )( ). In tal caso f ( ) dovrebbe essere un polinomio di quarto y f grado. Se la tangente al grafico della funzione avesse nel punto di ascissa = un incontro almeno tripunto la funzione polinomiale dovrebbe essere del tipo: = ( ) = ( ) ( + )( ) dove a( ) è un polinomio di grado maggiore o uguale y f a ad uno. In tal caso f ( ) dovrebbe essere un polinomio come minino di quinto grado. Concludendo possiamo affermare che f ( ) è un polinomio almeno di quarto grado. () Individua i valori di [ ;], per cui g( ) ha un massimo relativo e determina i valori di per i quali g( ) volge la concavità verso l alto. Poiché g( ) è una primitiva di f ( ) risulta: g ( ) = f ( ) La monotonia della funzione g( ) dipende dal segno della funzione f ( ), segno che deduciamo dal grafico indicato nel testo del problema. E utile il seguente schema: _ + O O O f() = g'() Pagina di 5

12 Maturità Scientifica 05 Problema Sessione ordinaria g( ) decresce se < < 0< < < < g( ) decresce se < < 0 Adesso cerchiamo gli intervalli dove il grafico della funzione g( ) volge la concavità verso l alto. Il grafico della funzione g( ) volge la concavità verso l alto negli intervalli dove la sua derivata seconda è positiva. g ( ) = f ( ) g ( ) = f ( ) g( ) volge la concavità verso l alto se g ( ) = f ( ) > 0. Questo si verifica negli intervalli dove la funzione f ( ) è crescente. Dal grafico precedente deduciamo che f ( ) è crescente negli intervalli ] ; [ e ] ; [ In tali intervalli il grafico della funzione g( ) volge la concavità verso l alto. () Calcola g ( 0) e, se esiste, il lim 0 ( ) + g Per calcolare g ( 0) procediamo come segue. Poiché la regione D ha area ed f ( ) è negativa nell intervallo ] ; [, ricordando che g( ) è una primitiva di f ( ) e che g ( ) = 5, risulta: f( ) d= g( ) = g( ) g( ) = g( ) g( ) = + = 5= 4 Ragionando in modo analogo sui valori noti delle aree e sul segno della funzione f ( ) e ricordando che g( ) è una primitiva di f ( ) otteniamo per l area C : f( ) d= g( ) = g( ) g( 0) = g( ) g( ) = + = 4= Ora consideriamo il limite + g L = lim = 0 ( ) N( ) D( ) Pagina di 5

13 N Maturità Scientifica 05 Problema Sessione ordinaria ( 0) = + g( 0) = = 0 D ( 0) = 0 = 0 Il limite L è una forma indeterminata del tipo 0. Possiamo calcolarlo applicando il teorema di De L Hospital. Infatti 0 numeratore e denominatore sono funzioni continue e derivabili, con il denominatore non nullo per 0. Il limite L, se esiste, è uguale al limite del rapporto delle derivate di numeratore e denominatore. ( ) ( ) ( ) ( ) + g g f f 0 L = lim = lim = lim = = (4) Sia h( ) = f ( + ), determina il valore di ( ). h d Per calcolare l integrale ( ) = ( + ) cambiamento di variabili: h d f d effettuiamo il seguente + = t = t = = t = d= dt L integrale proposto diventa: = h( ) d= ( ) f t dt 0 = f ( t) dt+ f ( t) dt+ f ( t) dt+ f ( t) dt 0 9 = h( ) d = S( A) + S( B) S( C) S( d) = ( + ) = L integrale proposto vale 9 E appena il caso di ruicordare che le funzioni f ( ) ed f ( t ) hanno lo stesso grafico e b b che ( ) = ( ) a f d f t dt a 4 Pagina di 5

14 Maturità Scientifica 05 Questionario Sessione ordinaria () Determinare l espressione analitica della funzione y = f ( ) sapendo che la retta y = + 5 è tangente al grafico di f nel secondo quadrante e che f ( ) = + 6. ( ) = + 6 ( ) ( ) ( ) f f = + 6+ C γ : ( ) f = f d= + 6 d= + 6+ C Imponendo la condizione di tangenza, determiniamo un valore negativo di tale che si abbia f ( ) =. + 6= = 4 = ± Il valore richiesto è: = y( ) = ( )( ) + 5= 9 T ( ;9) è il punto di = + + C tangenza. T γ 9 ( ) 6( ) 6 9 = + C C = 4 Si conclude affermando che l espressione analitica della funzione f ( ) è: 4 f = + 6+ γ : ( ) () Dimostrare che il volume del tronco di cono è espresso dalla formula: V = π h R + r + R r ( ) Pagina 4 di 5

15 Maturità Scientifica 05 Questionario Sessione ordinaria Il volume del solido ottenuto dalla rotazione del segmento di estremi A( 0; r ) e B( hr ; ) attorno all asse delle ascisse è il volume del tronco di cono richiesto. La retta passante per i punti A( 0; r ) e B( hr ; ) ha equazione: y r = R r h R r y = + h Il volume richiesto si ottiene applicando la seguente formula: b h R r h R r R r V= π f( ) d π d π r r d a = + = h 0 h h h R r r R r h r V = π + ( R r) + r = π + ( R r) h + r h h h h h 0 ( ) h ( ) R V π R r r R r h r h πh Rr + r + Rr = + + = r + r r + Rr+ R V = πh = πh r + Rr+ R Altra dimostrazione ( ) Il volume di un tronco di cono è uguale alla differenza fra il volume del cono di altezza h+ y e quello di altezza y. Dalla similitudine dei triangoli rettangoli VOA e VO' A ' deduciamo: = ( + ) : = : VO : VO' AO : A' O' h y y R r h+ y R r h R h R = + = = y r y r y r h R r = y r y r = h R r y = hr R r V= R h+ y r y= Rh+ Ry r y = Rh+ y R r ( ) ( ) ( ) π π π π Pagina 5 di 5

16 Maturità Scientifica 05 Questionario Sessione ordinaria V hr = π Rh+ ( R+ r) ( R r) = π R h+ hr ( R+ r) ( R r) V = π h R + Rr+ r ( ) () Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità che si ottenga testa al più due volte? Qual la probabilità che si ottenga testa almeno due volte? Il lancio di una moneta non truccata ha come possibili esiti testa ( T ) e croce (C ). La probabilità che esca testa (croce) in un singolo lancio è, cioè: ( ) ( ) p = p = In generale la probabilità che si verifichi un evento è: numero casi favorevoli numero casi possibili m n ( ) = = se i casi sono tutti equiprobabili. p E Calcoliamo la probabilità che escano al più teste, cioè calcoliamo: ( ) = ( = 0) + ( = ) + ( = ) pt pt pt pt pt ( ) = in 6 lanci si abbiano al massimo teste pt= ( 0) = in 6 lanci si abbiano 0 teste T C. pt= ( ) = in 6 lanci si abbia teste pt= ( ) = in 6 lanci si abbiano teste Si tratta di una distribuzione binomiale, quindi, indicando con n il numero di prove, con k il numero di successi, con p la probabilità del successo e con q la probabilità dell insuccesso abbiamo: Nel nostro caso abbiamo: n = 6, p =, q = e quindi possiamo scrivere: pt ( = 0) = p( 0,6) = 0 = pt ( = ) = p(, 6) = 6 = = Pagina 6 di 5

17 Maturità Scientifica 05 Questionario Sessione ordinaria pt ( = ) = p(,6) = 5 = = pt ( ) = pt ( = 0) + pt ( = ) + pt ( = ) = + + = = 0,44 = 4% La formula precedente può essere scritta anche nella seguente maniera: pt ( ) = = pt ( ) = = = = 0,44 = 4% Calcoliamo la probabilità che escano almeno teste. Considero l evento F = escono almeno teste; l evento contrario è F = escono 6 croci oppure escono 5 croci ed testa; tale evento è equivalente all evento non esce alcuna testa oppure esce una sola testa ( F ) = ( = 0) + ( = ) = + = p( ) p( ) p pt pt F = F = = = 0, Possiamo calcolare la probabilità dell evento richiesto senza ricorrere all evento contrario. ( ) = ( 6) = ( = ) + ( = ) + ( = 4) + ( = 5) + ( = 6) pt p pt pt pt pt pt pt ( ) = pt ( ) = = = 0, Pagina 7 di 5

18 Maturità Scientifica 05 Questionario Sessione ordinaria (4) Di quale delle seguenti equazioni differenziali la funzione y ln = è soluzione? (a) y y + = y (b) y + y = (c) y = + (d) y y + y + = y ln ( ) = y ( ) = y ( ) = y y ln ln ln ( ) = = y ( ) ln y ( ) = ln ( ln ) + ln ln = = = Sostituiamo nelle varie equazioni differenziali per verificare se y ln = è soluzione. (a) Sostituiamo nella prima equazione differenziale y y + = y Otteniamo: ln ln ln ln + ln ln + = = ln La funzione y ln = non è soluzione della prima equazione differenziale (b) Sostituiamo nella seconda equazione differenziale y + y = Otteniamo: ln ln ln ln ln + ln + ln + = + = = La funzione y ln = non è soluzione della seconda equazione differenziale (c) Sostituiamo nella terza equazione differenziale y = + y Otteniamo: ln ln = + ln + ln 5 Pagina 8 di 5

19 Maturità Scientifica 05 Questionario Sessione ordinaria La funzione y ln = non è soluzione della terza equazione differenziale (d) Sostituiamo nella quarta equazione differenziale y + y + = y Otteniamo: ln ln ln + + = ln ln ln + + = ln + ln + ln = ln ln = La funzione y ln = è soluzione della quarta equazione differenziale y + y + = y (5) Determinare un espressione analitica della retta perpendicolare nell origine al piano di equazione + y z = 0. Nello spazio tridimensionale un piano passante per l origine ha equazione a + by + cz = 0. Per il piano proposto y z 0 Il vettore v (,, ) = abc = a i + b j+ c k + = abbiamo: a =, b =, c =. è un vettore perpendicolare al piano di equazione a + by + cz = 0. Questo ci consente di affermare che il vettore v = (,, ) = i + j k perpendicolare al piano π di equazione + y z = 0. La retta passante per l origine degli assi cartesiani è perpendicolare al piano π deve passare per l origine ed essere v =,, = i + j k parallela al vettore ( ). Le sue equazioni parametri sono: è = o + at y = yo + bt z = zo + ct = 0+ t y = 0 + t z = 0 t = t y = t z = t Equazioni parametriche della retta richiesta L equazione cartesiana della suddetta retta si ottengono eliminando il parametro t dalle sue equazioni parametriche. 6 Pagina 9 di 5

20 Maturità Scientifica 05 Questionario Sessione ordinaria = y y = 0 y = z y + z = 0 rispettivamente equazioni: y 0 La retta richiesta è l intersezione di due piano particolari aventi = y+ z = 0. L equazione di una retta passante per il punto P ( ; y ; z ) e parallela al vettore v = abc,, = a i + b j+ c k ( ) o o o o y y z z a b c o o o ha equazione: = = y z Nel caso nostro abbiamo: = = e quindi: = y = z = y y = z y = 0 y + z = 0 (6) Sia f la funzione, definita per tutti gli reali, da: Determinare il minimo di f. ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( 4) + ( 5) f Eseguendo tutti i calcoli, la funzione assume la seguente forma: ( ) f = Si tratta di una parabola con la concavità rivolta verso l alto. Il suo vertice è l immagine geometrica del minimo assoluto. V b 0 = = = = punto di minimo assoluto yv f ( ) 0 a 0 = = = minimo assoluto V ( ;0 ) vertice della parabola. ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( 5) ( 5 5) 0( ) f = = = ( ) 0 f = = punto di minimo assoluto in quanto lim f ( ) ± = + _ O + f '() f ( ) = 0 = minimo assoluto della funzione proposta 7 Pagina 0 di 5

21 Maturità Scientifica 05 Questionario Sessione ordinaria (7) Detta An ( ) l area del poligono regolare di n lati inscritto in un cerchio C di n π raggio r, verificare che An ( ) = rsin e calcolarne il limite per n +. n Ogni poligono regolare di n lati, inscritto in una circonferenza di raggio r, è composto da n triangoli isosceli congruenti tra loro che hanno: la base congruente al lato del poligono regolare il lato obliquo congruente al raggio r della circonferenza l angolo al vertice che misura π n Indicando con O il centro della circonferenza e con AB il lato del poligono regolare inscritto di n lati, l area An ( ) = Sn del poligono si ottiene moltiplicando per n l area del triangolo isoscele AOB. Essendo ˆ AOB π n = e ricordando che l area di un triangolo si può calcolare come il semiprodotto di due lati per il seno dell angolo compreso, abbiamo: π π Sn = n S ( AOB) = n r r sin Sn = nr sin n n E così verificato quanto richiesto dal quesito. Calcoliamo il limite di An ( ) = Sn per n +. Intanto osserviamo che, all aumentare del numero dei lati, il poligono regolare tende alla circonferenza nella quale è inscritto. E ragionevole prevedere che il limite per n + dell area An ( ) = Sn del poligono regolare inscritto sia l area del cerchio, cioè è ragionevole prevedere che il risultato del limite proposto sia π r. 8 Pagina di 5

22 Maturità Scientifica 05 Questionario Sessione ordinaria π sin π lim nr sin = πr lim n = πr = πr n + n n + π n (8) I lati di un triangolo misurano, rispettivamente, 6cm, 6cm e 5cm. Preso a caso un punto P all interno del triangolo, qual è la probabilità che P disti più di cm da tutti e tre i vertici del triangolo? Un punto P dista più di cm da uno dei vertici se non appartiene al cerchio di raggio cm e centro in quel vertice. I punti interni al triangolo ABC che distano più di cm da tutti e tre i vertici sono i punti nella parte colorata della figura. La probabilità richiesta è data dal rapporto tra l area favorevole e l area possibile. La probabilità che un punto P preso a caso all interno del triangolo disti più di cm da ciascuno dei vertici è data dal rapporto tra l area colorata (seconda figura) o l area non colorata (terza figura) e l area totale del triangolo ABC. 9 Pagina di 5

23 Maturità Scientifica 05 Questionario Sessione ordinaria Calcoliamo l area della somma dei tre settori circolari S A, S B, S C. I tre settori hanno lo stesso raggio r = cm e la somma delle loro ampiezze è uguale alla somma degli angoli interni di un triangolo che è π. Ne deduciamo che l area della somma dei tre settori circolari è l area di un semicerchio di raggio r = cm. 4 SA+ SB + SC = πr = π = πcm L area favorevole, cioè l area colorata della seconda figura, è uguale alla differenza tra l area del triangolo ABC e l area della somma dei tre settori circolari. Calcoliamo l area del triangolo isoscele ABC. L altezza h di tale triangolo rispetto alla base AB si ottiene applicando il teorema di Pitagora h = 6 = 6 = = 9 cm S ABC AB h cm 4 ( ) = = 5 9 = Area favorevole = S = S ( ABC) ( S + S + S ) = π cm A B C La probabilità che un punto P preso a caso all interno del triangolo ABC disti più di cm da tutti e tre i vertici è data da: 5 area favorevole S S ( ABC) ( S ) 9 A+ SB + S π C 4 8π p = = = = = 0,54 = 54% area possibile S ( ABC ) S ( ABC ) (9) Data la funzione f ( ) se 0 = k + k se < determinare il parametro k in modo che nell intervallo [ 0; ] sia applicabile il teorema di Lagrange e trovare il punto di cui la tesi assicura l esistenza. Per applicare il teorema di Lagrange si deve verificare quanto segue: 0 Pagina di 5

24 Maturità Scientifica 05 Questionario Sessione ordinaria f ( ) deve essere continua su [ 0; ] f ( ) deve essere derivabile su ] 0; [ La continuità di f ( ) impone che sia: lim f ( ) lim f ( ) + = La funzione proposta nel punto = è continua k Cerchiamo ora le condizioni per cui f ( ) è derivabile f ( ) ( ) = lim ( ) lim lim ( k) lim f f + f ( ) se 0 = + se < + = = k k = = lim = lim ( k + k ) + = k se < se 0 Per k = la funzione proposta è continua nell intervallo [ 0; ] e derivabile nell intervallo ] 0; [. Le ipotesi del teorema di Lagrange sono soddisfatte. Pertanto esiste almeno un punto c ] 0;[ tale che sia: ( ) f ( a) f b b a = f ( c) f ( ) f ( 0) 0 = f ( c) 5 0 = 0 f ( c) 5 = f ( c) Per k = la derivata f ( ) ha equazione f ( ) = + se < se 0 5 =. Cerchiamo c ] 0;[ tale che sia f ( c) 5 4 c + = c = ] 0;[ Tale valore non è un punto di Lagrange Cerchiamo c ] 0;[ tale che sia f ( c) =. c = c = 6 c = ± c = non si accetta in quanto non appartiene all intervallo ] 0; [ Quindi 6 l unico punto di Lagrange per la funzione proposta. 5 c = è 6 Pagina 4 di 5

25 Maturità Scientifica 05 Questionario Sessione ordinaria (0) Il grafico della funzione y = (, 0 ) divide in due porzioni il rettangolo ABCD avente vertici A ( ; 0), B ( 4;0), C ( 4;) e D (, ). Calcolare il rapporto tra le aree delle due porzioni. La figura sottostante rappresenta il rettangolo ABCD ed il grafico della funzione y =. Sia A l area della porzione di rettangolo sottostante il grafico della funzione proposta A = d= d= = 4 = 8 ( ) S ( ABCD ) = = 6= area del rattangolo ABCD Sia A l area della porzione di rettangolo sovrastante il grafico della funzione proposta. Risulta: A S A 4 4 = = 6 = Il rapporto tra le due aree è: r 4 A 7 = = = A 4 A = 4 Pagina 5 di 5