Analisi Matematica. Numeri reali e funzioni reali di variabile reale

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1 a.a. 2014/2015 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica Numeri reali e funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata.

2 L insieme dei numeri reali L insieme dei numeri reali R è un campo ordinato che soddisfa l assioma di Dedekind. Campo??? Campo ordinato??? Assioma di Dedekind??? 1

3 R è un campo In R sono definite due leggi di composizione interna + (addizione) (moltiplicazione) con le seguenti proprietà: Proprietà commutativa Per ogni a, b R: a + b = b + a, a b = b a Proprietà associativa Per ogni a, b, c R: (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c) Proprietà distributiva Per ogni a, b, c R: a (b + c) = a b + a c raccoglimento a fattor comune 2

4 Esistenza e unicità degli elementi neutri Esiste in R un unico elemento 0 tale che a + 0 = a per ogni a R. Esiste in R un unico elemento 1, diverso da 0, tale che a 1 = a per ogni a R. Esistenza e unicità degli inversi Per ogni a R esiste un unico elemento di R, che si denota con a e si chiama opposto di a, tale che a + ( a) = 0. Per ogni a R \ {0} esiste un unico elemento di R, che si denota con a 1 e si chiama reciproco di a, tale che a a 1 = 1. Notazione: R := R \ {0} 3

5 Conseguenze degli assiomi di campo Tramite gli inversi si definiscono le operazioni inverse: la sottrazione si definisce per ogni a, b, ponendo a b := a + ( b); perché? la divisione si definisce per ogni a e per ogni b 0, ponendo In particolare, 1 b = b 1. a b := a b 1. 4

6 Legge di annullamento del prodotto Per ogni a, b R : a b = 0 a = 0 oppure b = 0. Osservazioni 0 non può ammettere reciproco. La legge di annullamento del prodotto vale anche per il prodotto di tre o più fattori. 5

7 Proprietà degli inversi IN1 Per ogni a R: ( a) = a. IN2 Per ogni a R : (a 1 ) 1 = a. IN3 Per ogni a, b R: (a + b) = a b. IN4 Per ogni a, b R : (a b) 1 = a 1 b 1. IN5 Per ogni a, b R: ( a) b = (a b). IN6 Per ogni a, b R: ( a) ( b) = a b. IN7 Per ogni a R : ( a) 1 = a 1. Osservazione L opposto del prodotto non è il prodotto degli opposti; il reciproco della somma non è uguale alla somma dei reciproci. Esempio? 6

8 R è un campo ordinato In R è definita una relazione di ordine totale con le seguenti proprietà: (minore o uguale) Compatibilità rispetto all addizione Per ogni a, b, c R: a b = a + c b + c Compatibilità rispetto alla moltiplicazione Per ogni a, b, c R: a b, 0 c = a c b c 7

9 Conseguenze degli assiomi di campo ordinato A partire dalla relazione definiamo le relazioni a b DEF b a maggiore o uguale a < b a > b DEF a b e a b minore DEF a b e a b maggiore 8

10 Osservazioni Riformuliamo la proprietà di compatibilità rispetto alla moltiplicazione: Per ogni a, b, c R: a b, c 0 = a c b c. Per ogni a, b, c R: a b, c 0 = a c b c. Riformuliamo la proprietà di compatibilità rispetto all addizione: Per ogni a, b, c R: a b = a + c b + c. Per ogni a, b, c R: a < b = a + c < b + c a > b = a + c > b + c Riformuliamo la proprietà di dicotomia della relazione d ordine: Per ogni a, b R è soddisfatta una e una sola delle condizioni a < b, a = b, a > b. Per ogni a, b R: a < = > b a b < = > 0 9

11 Regole algebriche per l addizione A1 Per ogni a R: a < = > 0 = a > = < 0 A2 Per ogni a, b R: a < = > b = a > = < b A3 Per ogni a, b R: a 0, b 0 = a + b 0 a 0, b 0 = a + b 0 Se nella premessa almeno una disuguaglianza è stretta, lo è anche nella conseguenza. A4 Siano a, b R con a 0 e b 0 oppure a 0 e b 0. Se a + b = 0, allora a = b = 0. A5 Per ogni a, b, c R: a + b < = > c a < = > c b 10

12 Definiamo gli insiemi R := {x R x 0} R + := {x R x 0} R := {x R x < 0} R + := {x R x > 0} insieme dei numeri reali negativi insieme dei numeri reali positivi insieme dei numeri reali strettamente negativi insieme dei numeri reali strettamente positivi Osservazioni 1 R R + = R, R R + = {0}, R R + = R, R R + = 2 R, R +, R e R + sono chiusi rispetto alla addizione. 11

13 Regole algebriche per la moltiplicazione M1 Per ogni a, b R: a 0, b 0 = a b 0 a 0, b 0 = a b 0 a 0, b 0 = a b 0 Se nelle premesse tutte le disuguaglianze sono strette, lo sono anche nelle conseguenze. Osservazioni Per ogni a R, posto a 2 := a a, risulta a 2 0. Più precisamente: a 2 = 0 a = 0 e a 2 > 0 a 0. In particolare: 1 > 0. Due numeri si dicono concordi se sono entrambi positivi oppure entrambi negativi, discordi se uno è positivo e l altro è negativo. Da M1 segue che a e b sono concordi se e solo se a b 0 e sono discordi se e solo se a b 0. 12

14 M2 Per ogni a, b, c R: a < = > b, c > 0 = a c < = > b c a < = > b, c < 0 = a c > = < b c M3 Per ogni a R : a < > 0 = a 1 < > 0 M4 Per ogni a, b R : M5 Per ogni a, b, c R: a < b, a b > 0 = a 1 > b 1 a < b, a b < 0 = a 1 < b 1 a b < = > c, b > 0 = a < = > c b a b < = > c, b < 0 = a > = < c b 13

15 Osservazione Le proprietà A5 e M5 permettono di risolvere equazioni e disequazioni di primo grado. Per esempio, se a R + e b R: a x + b 0 a x b x b a Regole di semplificazione S1 Per ogni a, b, c R: a + c < = > b + c = a < = > b S2 Per ogni a, b, c R: a c < = > b c, c > 0 = a < = > b a c < = > b c, c < 0 = a > = < b 14

16 Addizione e moltiplicazione membro a membro Siano a, b, c, d R con a b e c d. Allora: 1 a + c b + d 2 a c b d se a, b, c, d > 0 a c b d se a, b, c, d < 0 Se nella premessa almeno una disuguaglianza è stretta, lo è anche nelle conseguenze. 15

17 Alcuni sottoinsiemi speciali di R Insieme dei numeri naturali N := {0, 1, 2, 3,...} N := N \ {0} Insieme dei numeri interi (relativi) Z := N N = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Z := Z \ {0} Insieme dei numeri razionali { m Q := m Z, n Z } Q := Q \ {0} n Insieme dei numeri irrazionali R \ Q Osservazioni N Z Q N e Z non sono campi Q è un campo ordinato. Qual è la differenza con R? 16

18 L assioma di Dedekind Sia (X, ) un insieme totalmente ordinato; siano A X e B X. Diciamo che (A, B) è una sezione di X se A B = A B = X per ogni a A e per ogni b B risulta a < b. Esempio? Assioma di Dedekind Per ogni sezione (A, B) di R esiste un unico numero reale λ tale che per ogni a A e per ogni b B si ha a λ b. λ si chiama elemento separatore della sezione (A, B). 17

19 Esempio (da ricordare) Gli insiemi A = { q Q q < 0 } { q Q q 0, q 2 < 2 } B = { q Q q 0, q 2 2 } costituiscono una sezione di Q che non ha elemento separatore in Q. Dimostrazione... Al campo ordinato Q manca qualcosa. Un modo alternativo di esprimere questa proprietà si ottiene attraverso la rappresentazione geometrica. 18

20 Rappresentazione geometrica dei numeri razionali Sia data una retta r. Fissiamo su r due punti distinti O (origine) e U (punto unità); essi individuano: un verso di percorrenza positivo sulla retta, quello che porta da O a U ; una unità di misura, cioè il segmento OU. La retta r prende il nome di retta orientata. Possiamo definire una applicazione di Q nella retta orientata. Procedimento... Questa applicazione è ingettiva, se identifichiamo tra loro frazioni equivalenti; non è surgettiva. 19

21 Formulazione equivalente dell assioma di Dedekind: esiste una corrispondenza biunivoca tra R e la retta orientata che prolunga la applicazione definita in Q con il procedimento descritto. Punti che corrispondono ai numeri irrazionali? Più avanti... In base a questa proprietà, possiamo identificare ciascun numero reale x con il punto P x che corrisponde a x sulla retta orientata r. Sottointendendo questa identificazione, chiameremo retta reale l insieme dei numeri reali R. Osservazione La relazione di ordine in R si esprime come segue: se x, y R e x < y, allora P x precede P y rispetto al verso di percorrenza positivo. Cosa corrisponde in R ai concetti geometrici di segmento, semiretta, distanza? 20

22 Intervalli limitati Siano a, b R, con a b: [a, b] := {x R a x b} (a, b) := {x R a < x < b} [a, b) := {x R a x < b} (a, b] := {x R a < x b} intervallo chiuso intervallo aperto int. chiuso a sinistra, aperto a destra int. aperto a sinistra, chiuso a destra Casi particolari: [a, a] = {a} (a, a) = [a, a) = (a, a] = 21

23 Intervalli illimitati Sia a R: [a, + ) := {x R x a} (a, + ) := {x R x > a} (, a] := {x R x a} (, a) := {x R x < a} (, + ) := R interv. chiuso illimitato superiormente interv. aperto illimitato superiormente interv. chiuso illimitato inferiormente interv. aperto illimitato inferiormente Casi particolari: [0, + ) = R +, (, 0] = R (0, + ) = R +, (, 0) = R 22

24 Notazioni e terminologia: + e si leggono più infinito e meno infinito ; sono simboli, non numeri reali. R {, + } =: R retta reale ampliata Invece di [a, + ) {+ } scriveremo [a, + ]; analogamente negli altri casi. Osservazione Ciascuno degli insiemi che abbiamo chiamato intervallo ha la proprietà che comunque si scelgano x e y in esso, tutti i numeri compresi tra x e y vi appartengono. Non tutti i sottoinsiemi di R hanno questa proprietà. Per esempio: l insieme dei numeri naturali N non è un intervallo; l insieme R non è un intervallo. 23

25 Valore assoluto Per ogni numero reale x si chiama valore assoluto (o modulo) di x il numero reale, denotato con x, definito ponendo x se x 0 x := x se x < 0. Osservazioni x coincide con la distanza dall origine di P x. x y coincide con la distanza tra P x e P y. 24

26 Proprietà immediate del valore assoluto x 0 per ogni x R x = 0 x = 0; x > 0 x 0 x = x per ogni x R r > 0, x = r x = r oppure x = r x < r r < x < r x > r x > r oppure x < r r < 0, x = r mai x < r x > r mai per ogni x 25

27 Ulteriori proprietà del valore assoluto x y = x y per ogni x, y R x y = x per ogni x, y R, y 0 y x x x per ogni x R x + y x + y per ogni x, y R (disuguaglianza triangolare) x y x y 26

28 Conseguenze dell assioma di Dedekind Sia E R un insieme non vuoto. Sia x R. Se per ogni x E si ha x x, diciamo che x è un maggiorante di E. Se esiste un maggiorante di E che appartiene a E, lo chiamiamo massimo di E e lo denotiamo con max E. Osservazioni Non è detto che E abbia maggioranti. Esempio? Se E ha maggioranti, diciamo che E è limitato superiormente. Un insieme limitato superiormente ha infiniti maggioranti. Un insieme limitato superiormente può non avere massimo; tuttavia il massimo, se esiste, è unico. 27

29 Sia E R un insieme non vuoto. Sia x R. Se per ogni x E si ha x x, diciamo che x è un minorante di E. Se esiste un minorante di E che appartiene a E, lo chiamiamo minimo di E e lo denotiamo con min E. Osservazioni Mutatis mutandis, sono le stesse della pagina precedente. 28

30 Teorema 1 Sia E R un insieme non vuoto e limitato superiormente. Allora: esiste il minimo dell insieme dei maggioranti di E, che si chiama estremo superiore di E e si denota con sup E. 2 Sia E R un insieme non vuoto e limitato inferiormente. Allora: esiste il massimo dell insieme dei minoranti di E, che si chiama estremo inferiore di E e si denota con inf E. Dimostrazione... Notazioni Sia E R un insieme non vuoto. Se E è illimitato superiormente, scriviamo sup E = +. Se E è illimitato inferiormente, scriviamo inf E =. 29

31 Osservazioni Sia E un insieme limitato superiormente. Se E ha massimo, allora max E = sup E ; in particolare, sup E appartiene a E. Se sup E appartiene a E, allora sup E è il massimo di E. Analoghe considerazioni valgono per un insieme limitato inferiormente. Esempio Determinare gli estremi dell insieme { n 1 } E = n N n 30

32 Conseguenze dell esistenza dell estremo superiore banale se b 0 1 Proprietà archimedea di R Per ogni a, b R, con a > 0, esiste n N tale che n a > b. 2 Proprietà di densità di Q in R Per ogni x, y R, con x < y, esiste q Q tale che x < q < y. Interpretazione geometrica? Dimostrazione... Osservazione La proprietà archimedea (con x = 1) implica che l insieme N non è limitato superiormente. 31

33 Parentesi: rappresentazione decimale Allineamento decimale: espressione della forma c 0 N, c 1, c 2,... {0, 1, 2,..., 8, 9}. Allineamento decimale limitato: ± c 0. c 1 c 2 c 3... ( ) esiste k N tale che c n = 0 per ogni n k + 1. ( ) si interpreta come somma: ( ± c 0 + c c ) k 10 k Allineamento decimale illimitato Somma? Serie numerica! periodico: un gruppo di cifre si ripete indefinitamente non periodico 32

34 Esempi = = = Osservazioni Ogni allineamento decimale limitato può essere pensato come periodico di periodo 0. Identifichiamo gli allineamenti decimali illimitati periodici di periodo 9 con allineamenti decimali limitati. Esempi: 4. 9 = 5, = A ogni numero razionale corrisponde un allineamento decimale periodico, e viceversa. 33

35 Formulazione equivalente dell assioma di Dedekind: esiste una corrispondenza biunivoca tra R e l insieme degli allineamenti decimali (periodici o non periodici). Osservazioni Le operazioni in R corrispondono alle operazioni con gli allineamenti decimali. La relazione d ordine in R corrisponde all ordinamento lessicografico tra allineamenti decimali. I numeri irrazionali corrispondono ad allineamenti decimali non periodici. Rappresentazione sulla retta orientata... 34

36 Tramite gli allineamenti decimali illustriamo la proprietà di densità dei numeri razionali (e anche dei numeri irrazionali) in R, cioè : { q Q t.c. x < q < y x, y R, x < y = p R \ Q t.c. x < p < y x = y = q = p = x = y = q = p = Implicazioni geometriche... 35

37 Osservazione È impossibile scrivere un allineamento decimale illimitato. Nella pratica dobbiamo approssimare allineamenti illimitati con allineamenti limitati; dobbiamo tener conto dell errore di approssimazione, a cominciare dalla scrittura: π = 3.14 X π = X Fine della parentesi 36

38 Funzioni reali di variabile reale Una funzione f : D C si dice reale se C R; di variabile reale se D R. Esempi La funzione che a ogni numero intero associa il suo doppio è reale di variabile reale. La funzione che associa al peso (in grammi) di una lettera l affrancatura (in centesimi di euro) necessaria alla spedizione è reale di variabile reale. La funzione che a ogni città sulla terra, individuata in base alla sua latitudine e longitudine, associa l altitudine è reale ma non di variabile reale (è di due variabili reali). 37

39 Sia f : D R R. Ricordiamo che: D è il dominio o insieme di definizione di f ; notazione alternativa: dom(f ); per x D : f (x) è l unico elemento di R che f associa a x, chiamato valore di f in x, o anche immagine di x tramite f per D D, l insieme f (D ) := { f (x) x D } è l immagine di D tramite f ; f (D) è l immagine di f ; notazione alternativa: imm(f ); per y R, l insieme { x D f (x) = y } è la controimmagine di y tramite f ; per Y R, l insieme { x D f (x) Y } è la controimmagine di Y tramite f. 38

40 Esempio Sia f : R R tale che f (x) = 2x + 1. Determiniamo: f (0) f (1.5) f ( 2.34) f (π) f ({ 3, 2, 2.1}) f ([ 2, 4.5)) controimmagine di 3.6 controimmagine di [1, 8) 39

41 Siano A e B insiemi qualsiasi e sia f : A B. Il grafico di f è l insieme graf(f ) := { } (x, y) A B y = f (x). In particolare, se f è una funzione reale di variabile reale, il grafico di f è un sottoinsieme di R R. Apriamo una parentesi... 40

42 Parentesi: rappresentazione geometrica di R R A partire dalla corrispondenza biunivoca tra R e la retta orientata, possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca tra il prodotto cartesiano R R e il piano cartesiano. Concetti di base: sistema ortogonale / ortonormale assi coordinati come associare alla coppia (x, y) un punto nel piano come associare al punto P nel piano una coppia di numeri ascissa ordinata 41

43 Grazie alla corrispondenza tra R 2 e il piano cartesiano, possiamo descrivere cartesianamente un oggetto geometrico, ossia tradurre le proprietà geometriche che lo caratterizzano in una o più relazioni (equazioni e/o disequazioni) tra le ascisse e le ordinate dei punti che lo compongono. Esempi assi coordinati rette parallele agli assi coordinati semipiani strisce parallele agli assi coordinati quadranti bisettrici di primo e terzo quadrante (prima bisettrice) e di secondo e quarto quadrante (seconda bisettrice) (in un sistema monometrico) Fine della parentesi 42

44 Se f è una funzione reale di variabile reale: il grafico di f è un sottoinsieme di R R, che è in corrispondenza biunivoca con il piano cartesiano; il grafico di f si identifica con un sottoinsieme del piano cartesiano (una curva ); il grafico di f può essere disegnato. Attenzione: non tutte le curve sono grafici di funzione! Test delle rette verticali Una curva nel piano cartesiano è grafico di una funzione della variabile x se e solo se ogni retta parallela all asse delle y interseca la curva al più una volta. Esempi... 43

45 Informazioni immediatamente deducibili da un grafico Assegnato il grafico di una funzione f = f (x): dom(f ) è la proiezione del grafico sull asse delle ascisse; imm(f ) è la proiezione del grafico sull asse delle ordinate; per x 0 dom(f ), il valore f (x 0 ) è l ordinata dell unico punto del grafico di f che si trova sulla retta di equazione x = x 0 ; per y 0 imm(f ), la controimmagine di y 0 è formata dalle ascisse dei punti del grafico di f che si trovano sulla retta di equazione y = y 0. 44

46 Esempio Stabilire se la curva disegnata è il grafico di una funzione. In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare (approssimativamente) dom(f ) imm(f ) f (0) f (2) f ([ 1, 1.5]) controimmagine di 0 controimmagine di 6 controimmagine di 2.5 controimmagine di [1.5, 7] 45

47 Alcune funzioni modello Grafici Funzione costante Sia c R. Sia f : R R tale che f (x) = c per ogni x R. Funzione identica Sia f : R R tale che f (x) = x per ogni x R. Funzione opposto Sia f : R R tale che f (x) = x per ogni x R. Funzione reciproco Sia f : R R tale che f (x) = 1 x per ogni x R. 46

48 Funzione valore assoluto Sia f : R R tale che f (x) = x per ogni x R. Esplicitando: f (x) = { x se x 0 x se x < 0 (funzione definita a tratti) Funzione segno Sia sign : R R tale che 1 se x > 0 sign(x) = 0 se x = 0 1 se x < 0 Funzione parte intera inferiore o floor Sia f : R R tale che f (x) = x per ogni x R. Funzione mantissa o parte frazionaria Sia m : R R tale che m(x) = x x per ogni x R. 47

49 Come ottenere funzioni da funzioni 1 Operazioni algebriche A partire da due funzioni reali f e g possiamo definire le seguenti funzioni: nome simbolo valore in x dominio somma f + g f (x) + g(x) dom(f ) dom(g) differenza f g f (x) g(x) dom(f ) dom(g) prodotto f g f (x) g(x) dom(f ) dom(g) reciproco 1 g 1 g(x) { x dom(g) g(x) 0 } rapporto f g f (x) g(x) { x dom(f ) dom(g) g(x) 0 } 48

50 Esempi Determinare le funzioni somma, prodotto, reciproco di f, rapporto di f e g, specificandone il dominio: f (x) = x + 1 g(x) = x 2 f (x) = x g(x) = 1 x 49

51 2 Composizione funzionale Siano f e g due funzioni (qualsiasi) e sia D := { x dom(f ) f (x) dom(g) }. Se D è non vuoto, definiamo la funzione composta di f e g, che denotiamo con g f, ponendo (g f )(x) := g(f (x)) per ogni x D. Osservazioni In generale, dom(g f ) dom(f ); l uguaglianza è garantita se imm(f ) dom(g). La composizione funzionale non è commutativa. 50

52 Esempi Determinare (se possibile) g f e f g, specificandone il dominio: f (x) = x + 1 f (x) = x g(x) = x g(x) = 1 x f (x) = x 2 1 g(x) = 1 x f (x) = x g(x) = 1 x 51

53 3 Inversione funzionale Sia f : D R R. Se per ogni y f (D) l equazione f (x) = y ha una e una sola soluzione in D, diciamo che f è invertibile in D. Osservazione (test delle rette orizzontali) Con le stesse notazioni: f è invertibile se e solo se ogni retta parallela all asse delle x interseca il grafico di f al più in un punto. Funzioni modello? Sia f : D R R invertibile. La funzione che a ogni elemento y di f (D) fa corrispondere l unico elemento x di D tale che f (x) = y si chiama funzione inversa di f e si denota con il simbolo f 1. 52

54 Conseguenze immediate della definizione Il dominio di f 1 coincide con l immagine di f. L immagine di f 1 coincide con il dominio di f. f 1 (y) = x f (x) = y f 1 (f (x)) = x x D f 1 f funzione identica di D f (f 1 (y)) = y y f (D) f f 1 funzione identica di f (D) 53

55 Proprietà generali delle funzioni 1 Periodicità Sia T R +. Una funzione si dice periodica di periodo T se per ogni x dom(f ) si ha x ± T dom(f ), f (x + T ) = f (x) per ogni x dom(f ). Interpretazione grafica della periodicità? Funzioni modello? 54

56 2 Simmetria Sia f una funzione tale che dom(f ) sia simmetrico rispetto all origine. Diciamo che f è una funzione pari se per ogni x dom(f ) si ha f ( x) = f (x). Diciamo che f è una funzione dispari se per ogni x dom(f ) si ha f ( x) = f (x). Osservazione f pari dispari il grafico di f è simmetrico rispetto all asse delle y all origine degli assi Esistono funzioni della variabile x il cui grafico sia simmetrico rispetto all asse delle x? Funzioni modello? 55

57 Esercizio teorico Giustificare le seguenti affermazioni: f = f 1/f f 1 pari pari pari!!! dispari dispari dispari dispari f g = f + g f g f g pari pari pari pari pari dispari dispari dispari pari dispari pari dispari dispari pari dispari pari Osservazione Le affermazioni su somma e prodotto valgono anche per differenza e rapporto, rispettivamente. 56

58 3 Limitatezza ed estremi Sia f : D R R. Diciamo che f è limitata (superiormente, inferiormente) se lo è la sua immagine f (D). Maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore dell immagine di f si chiamano, rispettivamente, maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore di f. In simboli: sup f := sup f (D), D inf D f := inf f (D). Se esiste, il massimo/minimo dell immagine di f si chiama massimo/minimo globale di f. In simboli: max D f := max f (D), min f := min f (D) D 57

59 Esplicitiamo alcune delle nozioni ora introdotte: f limitata superiormente c R t.c. x D : f (x) c f limitata inferiormente c R t.c. x D : f (x) c f ha massimo globale in D x D t.c. x D : f (x) f ( x) f ha minimo globale in D x D t.c. x D : f (x) f ( x) Interpretazione grafica... Funzioni modello? Nota x si chiama punto di massimo minimo globale di f in D. 58

60 Sia f : D R R, x D. x si dice punto di esiste δ R + tale che massimo minimo locale di f in D se f (x) f ( x) f (x) f ( x) per ogni x D ( x δ, x + δ). Osservazioni e terminologia Un intervallo del tipo ( x δ, x + δ) si chiama intorno di x (anche: intorno sferico, intorno completo). x si dice punto di estremo locale/globale se è punto di massimo oppure di minimo locale/globale. Un punto di estremo globale è anche di estremo locale; il viceversa non è vero. Esempi? Il valore di f in un punto di estremo si chiama estremo di f. Unicità? Molteplicità? 59

61 4 Monotonia Sia f : D R R. Diciamo che f è crescente strettamente crescente in D se strettamente decrescente decrescente f (x 1 ) f (x 2 ) per ogni x 1, x 2 D : x 1 < x 2 = f (x 1 ) < f (x 2 ) f (x 1 ) > f (x 2 ) f (x 1 ) f (x 2 ) Una funzione (strettamente) crescente o decrescente si dice (strettamente) monotòna. Interpretazione grafica... Funzioni modello? 60

62 Esercizio teorico Giustificare le seguenti affermazioni: f monotona = f monotona di tipo opposto f e g monotone dello stesso tipo = f + g monotona dello stesso tipo f di segno costante e monotona = 1/f monotona di tipo opposto f e g positive e monotone dello stesso tipo = f g positiva e monotona dello stesso tipo f e g negative e monotone dello stesso tipo = f g positiva e monotona di tipo opposto f strett. monotona = f 1 strett. monotona dello stesso tipo f e g monotone dello stesso tipo = f g crescente f e g monotone di tipo opposto = f g decrescente 61

63 Trasformazioni di grafici: traslazioni Supponiamo che una funzione sia ottenuta dalla funzione f mediante una determinata operazione; descriviamo come ottenere il suo grafico a partire da quello di f. Sia c R e sia g(x) = f (x) + c. Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante una traslazione verticale verso l alto se c > 0 verso il basso se c < 0 62

64 Trasformazioni di grafici: traslazioni Sia c R e sia g(x) = f (x + c). Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante una traslazione orizzontale verso sinistra se c > 0 verso destra se c < 0 Esistono funzioni il cui grafico resta inalterato rispetto a una traslazione orizzontale? E rispetto a una traslazione verticale? 63

65 Trasformazioni di grafici: dilatazioni e compressioni Sia c (0, 1) (1, + ) e sia g(x) = c f (x). Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante una dilatazione verticale se c > 1 una compressione verticale se c < 1 64

66 Trasformazioni di grafici: dilatazioni e compressioni Sia c (0, 1) (1, + ) e sia g(x) = f (c x). Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante una compressione orizzontale se c > 1 una dilatazione orizzontale se c < 1 65

67 Trasformazioni di grafici: riflessioni Siano g(x) = f (x) e h(x) = f ( x). Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante una riflessione rispetto all asse delle ascisse. Il grafico di h si ottiene da quello di f mediante una riflessione rispetto all asse delle ordinate. Esistono funzioni il cui grafico resta inalterato rispetto a una riflessione rispetto all asse delle ordinate? E rispetto all asse delle ascisse? 66

68 Trasformazioni di grafici: composizione con il valore assoluto Sia g(x) = f (x). Il grafico di g si ottiene da quello di f lasciando invariata la porzione nel semipiano superiore, riflettendo la porzione nel semipiano inferiore simmetricamente rispetto all asse delle ascisse. 67

69 Trasformazioni di grafici: composizione con il valore assoluto Sia g(x) = f ( x ). Il grafico di g si ottiene da quello di f trascurando la porzione nel semipiano sinistro, lasciando invariata la porzione nel semipiano destro e riflettendola simmetricamente rispetto all asse delle ordinate. 68

70 Trasformazioni di grafici: passaggio al reciproco Sia g(x) = 1 f (x). Osserviamo che: g è definita in tutti i punti in cui f è definita e diversa da 0; g non assume mai il valore 0; g è positiva dove f è positiva, negativa dove f è negativa; se in un intervallo f ha segno costante ed è monotona, nel medesimo intervallo g ha lo stesso segno di f e monotonia opposta. 69

71 Trasformazioni di grafici: passaggio all inversa funzionale Supponiamo che f sia invertibile e sia g la inversa funzionale di f. Osserviamo che: dom(g) = imm(f ), imm(g) = dom(f ) (a, b) graf(f ) = b = f (a) = a = g(b) = (b, a) graf(g) Quindi: i grafici di f e g sono simmetrici rispetto alla retta di equazione y = x. 70

72 Osservazione importante 1 Le funzioni (reciproco di f ) e f 1 (inversa funzionale di f ) f sono inversi di f rispetto a leggi di composizione diverse. Pertanto, sono funzioni diverse tra loro e non devono essere confuse. Esempi f := x R x f := x R 1 x f 1 non esiste!??? f := x R 2x + 1 { 1 f := x R \ 1 } 1 2 2x + 1 Confrontare i grafici... f 1 := x R x

73 R I C H I A M I 72

74 Relazione di ordine totale Una relazione binaria R su un insieme X si dice relazione d ordine totale se soddisfa le seguenti proprietà: Proprietà riflessiva Per ogni a X : a R a. Proprietà antisimmetrica Per ogni a, b X : a R b, b R a = a = b. Proprietà transitiva Per ogni a, b, c X : a R b, b R c = a R c. Proprietà di dicotomia Per ogni a, b X : a R b oppure b R a. Esempio di relazione d ordine non totale? 73

75 G R A F I C I 74

76 Esempio Stabilire se la curva disegnata è il grafico di una funzione. In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare (approssimativamente) dom(f ) imm(f ) f (0) f (2) f ([ 1, 1.5]) controimmagine di 0 controimmagine di 6 controimmagine di 2.5 controimmagine di [1.5, 7] 75

77 Esempio Stabilire se la curva disegnata è il grafico di una funzione. In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare (approssimativamente) dom(f ) imm(f ) f (0) f (2) f ([ 1, 1.5]) controimmagine di 0 controimmagine di 6 controimmagine di 2.5 controimmagine di [1.5, 7] 76

78 Esempio Stabilire se la curva disegnata è il grafico di una funzione. In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare (approssimativamente) dom(f ) imm(f ) f (0) f (2) f ([ 1, 1.5]) controimmagine di 0 controimmagine di 6 controimmagine di 2.5 controimmagine di [1.5, 7] 77

79 Esempio Stabilire se la curva disegnata è il grafico di una funzione. In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare (approssimativamente) dom(f ) imm(f ) f (0) f (2) f ([ 1, 1.5]) controimmagine di 0 controimmagine di 6 controimmagine di 2.5 controimmagine di [1.5, 7] 78

80 Esempio Stabilire se la curva disegnata è il grafico di una funzione. In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare (approssimativamente) dom(f ) imm(f ) f (0) f (2) f ([ 1, 1.5]) controimmagine di 0 controimmagine di 6 controimmagine di 2.5 controimmagine di [1.5, 7] 79

81 Esempio Stabilire se la curva disegnata è il grafico di una funzione. In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare (approssimativamente) dom(f ) imm(f ) f (0) f (2) f ([ 1, 1.5]) controimmagine di 0 controimmagine di 6 controimmagine di 2.5 controimmagine di [1.5, 7] 80

82 Esempio Stabilire se la curva disegnata è il grafico di una funzione. In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare (approssimativamente) dom(f ) imm(f ) f (0) f (2) f ([ 1, 1.5]) controimmagine di 0 controimmagine di 6 controimmagine di 2.5 controimmagine di [1.5, 7] 81

83 Esempio Stabilire se la curva disegnata è il grafico di una funzione. In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare (approssimativamente) dom(f ) imm(f ) f (0) f (2) f ([ 1, 1.5]) controimmagine di 0 controimmagine di 6 controimmagine di 2.5 controimmagine di [1.5, 7] 82

84 Esempio Stabilire se la curva disegnata è il grafico di una funzione. In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare (approssimativamente) dom(f ) imm(f ) f (0) f (2) f ([ 1, 1.5]) controimmagine di 0 controimmagine di 6 controimmagine di 2.5 controimmagine di [1.5, 7] 83

85 Grafici delle funzioni modello - I funzione costante funzione identica funzione opposto funzione reciproco 84

86 Grafici delle funzioni modello - II funzione valore assoluto funzione segno funzione parte intera inferiore funzione mantissa 85