Somme superiori e inferiori
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- Alessandro Turco
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1 Somme superiori e inferiori Materiale integrativo del Corso integrato di Matematica per le scienze naturali ed applicate Paolo Baiti, Lorenzo Freddi Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 1/6
2 y x 0 x 1 x i 1 x i x 4 x Consideriamo una partizione di [a, b]. Sul generico intervallo [x i 1, x i ] costruiamo il rettangolo di figura, con area Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 2/6
3 y x 0 x 1 x i 1 x i x 4 x Consideriamo una partizione di [a, b]. Sul generico intervallo [x i 1, x i ] costruiamo il rettangolo di figura, con area (x i x i 1 ) Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 2/6
4 y x 0 x 1 x i 1 x i x 4 x Consideriamo una partizione di [a, b]. Sul generico intervallo [x i 1, x i ] costruiamo il rettangolo di figura, con area (x i x i 1 ) inf [x i 1,x i ] f Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 2/6
5 y x 0 x 1 x i 1 x i x 4 x Consideriamo una partizione di [a, b]. Sul generico intervallo [x i 1, x i ] costruiamo il rettangolo di figura, con area (x i x i 1 ) inf [x i 1,x i ] f Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 2/6
6 y x 0 x 1 x i 1 x i x 4 x Consideriamo una partizione di [a, b]. Sul generico intervallo [x i 1, x i ] costruiamo il rettangolo di figura. Sommando n s(f, P) = (x i x i 1 ) inf f [x i 1,x i ] i=1 Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 2/6
7 y x 0 x 1 x i 1 x i x 4 x Analogamente consideriamo il rettangolo di figura, con area Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 3/6
8 y x 0 x 1 x i 1 x i x 4 x Analogamente consideriamo il rettangolo di figura, con area (x i x i 1 ) Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 3/6
9 y x 0 x 1 x i 1 x i x 4 x Analogamente consideriamo il rettangolo di figura, con area (x i x i 1 ) sup [x i 1,x i ] f Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 3/6
10 y x 0 x 1 x i 1 x i x 4 x Analogamente consideriamo il rettangolo di figura, con area (x i x i 1 ) sup [x i 1,x i ] f Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 3/6
11 y x 0 x 1 x i 1 x i x 4 x Analogamente consideriamo il rettangolo di figura. Sommando S(f, P) = n i=1 (x i x i 1 ) sup [x i 1,x i ] f Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 3/6
12 s(f, P) e S(f, P) hanno il significato geometrico di somma delle aree dei rettangoli inscritti e circoscritti, rispettivamente, al sottografico di f Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 4/6
13 Consideriamo la funzione f(x) = x 2 5x + 7, x [0, 2] Compariamo s(f, P) e S(f, P) per partizioni in n intervallini di uguale ampiezza Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 5/6
14 Consideriamo la funzione f(x) = x 2 5x + 7, x [0, 2] Compariamo s(f, P) e S(f, P) per partizioni in n intervallini di uguale ampiezza s(f, 2) = S(f, 2) = Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 5/6
15 Consideriamo la funzione f(x) = x 2 5x + 7, x [0, 2] Compariamo s(f, P) e S(f, P) per partizioni in n intervallini di uguale ampiezza s(f, 3) = S(f, 3) = Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 5/6
16 Consideriamo la funzione f(x) = x 2 5x + 7, x [0, 2] Compariamo s(f, P) e S(f, P) per partizioni in n intervallini di uguale ampiezza s(f, 4) = S(f, 4) = Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 5/6
17 Consideriamo la funzione f(x) = x 2 5x + 7, x [0, 2] Compariamo s(f, P) e S(f, P) per partizioni in n intervallini di uguale ampiezza s(f, 5) = S(f, 5) = Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 5/6
18 Consideriamo la funzione f(x) = x 2 5x + 7, x [0, 2] Compariamo s(f, P) e S(f, P) per partizioni in n intervallini di uguale ampiezza s(f, 6) = S(f, 6) = Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 5/6
19 Consideriamo la funzione f(x) = x 2 5x + 7, x [0, 2] Compariamo s(f, P) e S(f, P) per partizioni in n intervallini di uguale ampiezza s(f, 7) = S(f, 7) = Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 5/6
20 Consideriamo la funzione f(x) = x 2 5x + 7, x [0, 2] Compariamo s(f, P) e S(f, P) per partizioni in n intervallini di uguale ampiezza s(f, 8) = S(f, 8) = Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 5/6
21 Consideriamo la funzione f(x) = x 2 5x + 7, x [0, 2] Compariamo s(f, P) e S(f, P) per partizioni in n intervallini di uguale ampiezza s(f, 9) = S(f, 9) = Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 5/6
22 Consideriamo la funzione f(x) = x 2 5x + 7, x [0, 2] Compariamo s(f, P) e S(f, P) per partizioni in n intervallini di uguale ampiezza s(f, 10) = S(f, 10) = Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 5/6
23 Consideriamo la funzione f(x) = x 2 5x + 7, x [0, 2] Compariamo s(f, P) e S(f, P) per partizioni in n intervallini di uguale ampiezza s(f, 11) = S(f, 11) = Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 5/6
24 In tabella sono riportati i valori delle somme inferiori e superiori per varie partizioni in n intervallini di uguale ampiezza. n s(f, n) S(f, n) Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 6/6
25 In tabella sono riportati i valori delle somme inferiori e superiori per varie partizioni in n intervallini di uguale ampiezza. n s(f, n) S(f, n) Dalla tabella si vede che la differenza tra le aree S(f, n) e s(f, n) diventa sempre più piccola. Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 6/6
26 In tabella sono riportati i valori delle somme inferiori e superiori per varie partizioni in n intervallini di uguale ampiezza. n s(f, n) S(f, n) Dalla tabella si vede che la differenza tra le aree S(f, n) e s(f, n) diventa sempre più piccola. In effetti, calcolando l integrale si troverà che 2 0 x 2 5x + 7dx = 20 3 = Somme superiori e inferiori - Capitolo 22: Calcolo integrale - pagina p. 6/6
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