Le funzioni trigonometriche e l esponenziale complesso

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1 Le funzioni trigonometriche e l esponenziale complesso 1

2 r1 Sia xoy un sistema di riferimento cartesiano ortonormale Una circonferenza che: 1. ha centro l origine O degli assi y. ha raggio r1 O x E una circonferenza GONIOMETRICA E una circonferenza GONIOMETRICA

3 r1 In generale un punto P è individuato dalle proprie coordinate cartesiane (x 1,y 1 ) y y 1 P(x 1,y 1 ) O x 1, x Come è possibile sfruttare la la proprietàdi di appartenere ad ad una circonferenza GONIOMETRICA? 3

4 P è univocamente determinato dall angolo α descritto dal raggio r. y y 1 P(x 1,y 1 ) O r1 α x 1, x Come definire le le coordinate cartesiane di di P (x 1,y,y 1 ) in in funzione dell angolo α?

5 Poniamo per definizione: Ascissa del punto P x 1 cos(α) y y 1 Ordinata del punto P y 1 sen(α) P(cos(α), sen(α) ) O r1 α x 1, x Noto αsi possono calcolarele le coordinate di di P e viceversa!! 5

6 Esempio: α0 απ/ απ α3π/ cos(0)1 cos(π/)0 cos(π)-1 cos(3π/)0 sen(0)0 sen(π/)1 sen(π)0 sen(3π/)-1 y P(0,1) P(-1,0) O P(1,0) x P(0,-1) 6

7 Le funzioni : cos(α) sen(α) sono assumono valori in [-1,1] -1 cos(α) 1-1 sen(α) 1 (-1,0) sono periodiche di periodo π ovvero: O (0,1) (0,-1) (1,0) cos(α +kπ) cos(α) sen (α +kπ) sen(α) Es. Partendo da α si effettua un giro α+π si ritrova il punto P O α P 7

8 inoltre sfruttando le simmetrie del cerchio: x 1 -x cos(α)-cos(π-α) y 1 y sen(α)sen(π-α) x 1 x cos(α)cos(-α) y 1 -y sen(α)-sen(-α) x 1 -x 3 cos(α)-cos(π+α) y 1 -y 3 sen(α)-sen(π+α) P (x,y 3 ) α+π π-α O y r1 α -α P 1 (x 1,y 1 ) x P 3 (x 3,y 3 ) P (x,y ) Proprietà degli archi associati 8

9 I numeri complessi e l esponenziale complesso 9

10 Esempio 1 Risolviamo l equazione x -1 la soluzione non esiste nell insieme dei Numeri Reali R ma posto i 1 la soluzione e data da: ± i i viene detta unità immaginaria i è un numero complesso 10

11 L unità immaginaria i gode delle proprietà i 1 i 1 i 3 i i i i i 3 i 1 i 5 i i i... Le potenze dell unità immaginaria sono cicliche (hanno periodo ) 11

12 Esempio Risolviamo l equazione x - la soluzione è ± i i è un numero complesso (immaginario puro) In generale un numero complesso e del tipo zx+iy con x,y numeri reali Esempi z-3i z1+7i z6+9i 1

13 L insieme: { z x iy : x, y reali } C : + si chiama insieme dei numeri complessi. Assegnato un numero complesso zx+iy Re(z)x si chiama parte reale Im(z)y si chiama parte immaginaria Esempio z 3 +i5 Re(z)3 è la parte reale Im(z)i5 è la parte immaginaria 13

14 Come si sommano (o sottraggono) due numeri complessi? 1

15 Esempio z 1 3 +i5 z i quanto vale zz 1 +z? z(3 +i5)+( i)(3+)+i(5-) 7+3i Si sommano separatamente le parti reali e quelle immaginarie In generale z 1 a +ib z c +id zz 1 + z (a+c)+i(d+b) zz 1 + z (a+c)+i(d+b) 15

16 Come si moltiplicano due numeri complessi? 16

17 Esempio z 1 3 +i5 z i quanto vale zz 11 z? z(3 +i5)( i)1-i6+i0-i i(-6+0)+10+i1 Si moltiplicano algebricamente i numeri complessi e si sfruttano le proprietà dell unità immaginaria In generale zz 1 z z 1 a +ib (a+ib)(c+id)ac+ibc+iad+i bd. z c +id zz 1 z (ac-bd)+i(ad+bc) zz 1 z (ac-bd)+i(ad+bc) 17

18 Quanto costa computazionalmente effettuare una somma o una moltiplicazione complessa? 18

19 1 somma complessa zz 1 + z (a+c)+i(d+b) zz 1 + z (a+c)+i(d+b) richiede op. fl.p. (ovvero due somme f.p.) 1 moltiplicazione complessa zz 1 z (ac-bd)+i(ad+bc) zz 1 z (ac-bd)+i(ad+bc) richiede 6 op. fl.p. (ovvero prodotti f.p.. somme) Le operazioni complesse hanno un costo maggiore rispetto a quelle reali!! 19

20 Come è possibile rappresentare graficamente i numeri complessi? 0

21 Consideriamo un piano cartesiano del tipo iyim(z) iy 1 i z+i zx 1 +iy 1 w O x 1, Re(z)x Esempio z+i E possibile rappresentare un numero complesso su un piano w detto piano complesso sull asse x ci sono tutti i numeri reali sull asse iy gli immaginari puri 1

22 Esempio Consideriamo il numero immaginario puro ziπ quanto vale l esponenziale e iπ? Sfruttando l identità di Eulero Si ottiene e iy cos(y) + isen(y) π e i cos( π) + isen( π) 1

23 e iy cos(y) + isen(y) Nell esponenziale complessodi un immaginario puro intervengono le le funzioni trigonometriche e e possibile rappresentarlo opportunamente nel piano complesso w? 3

24 Utilizzando la circonferenza goniometrica π e i cos( π) iy + isen( π) 1 P(cos(s), sen(s)) P(cos(π), sen(π))(-1,0) O r1 x In generale e is cos(s) + isen(s) L esponenziale complesso e is is rappresenta il il punto della circonferenza goniometrica sul piano complesso individuato dall angolo s

25 r1 e is cos(s) + isen(s) iy P(cos(s), sen(s)) O x Esiste uno stretto legame tra l esponenziale complesso di di un un immaginario puro e le le funzioni trigonometriche sin(α), cos(α) 5

26 Esempio Consideriamo il numero complesso z 1 e iπ/ z π cos( ) π + isen( ) iy i / 1 e π + i, P( ) Calcoliamo z 1 9 O x z 9 1 (e iπ/ ) 9 e 9π 9π cos( ) + isen( ) π π cos( π + ) + isen( π + ) + i z iπ9/ Per le proprietà di periodicità delle funzione trigonometriche!! Per le proprietà di periodicità delle funzione trigonometriche!! 6 1

27 Esempio Consideriamo i numeri complesso z 1 e iπ/ z e i5π/ z z π π cos( ) + isen( ) 5π 5π cos( ) + isen( ) i / 1 e π + i i5π / e cos( π + + isen( π + i iy π ), P 1 ( ) π ), P ( ) O x z 1 - z z 1 - z Per le proprietà degli archi associati delle funzione trigonometriche!! Per le proprietà degli archi associati delle funzione trigonometriche!! 7

28 Esempio Consideriamo il numero complesso z 1 e iπ/ z π cos( ) π + isen( ) + iy i / 1 e π i, P( ) Calcoliamo z 1 O x z 8 1 (e iπ/ ) 8 e iπ8/ 8π cos( ) 8π + isen( ) cos( π) + isen( π) 1 z 1 si dice radice ottava dell unità!! z 1 si dice radice ottava dell unità!! 8

29 DEFINIZIONE z e i s è una radice N-ma dell unità def z N 1 9

30 Esempio Consideriamo l esponenziale complesso w N e π π cos( ) + isen( ) N N iπ /n w N e -iπ/n iy O x Cosa rappresentano le potenze di questi numeri sulla circonferenza goniometrica? 30

31 Esempio: N w e -i π/ s0 s1 s 0 -i π/ 0 π π w e cos( 0) isen( 0) 1 -i π/ 1 π π w e cos( 1) isen( 1) 1 -i π/ π π w e cos( ) isen( ) 1 1 w w 0 w w s N (s 0,,N 1) sono le radici primitive dell unità 31 twiddle factor

32 Esempio: N w e -i π/ s0 s1 0 -i π/ 0 π π w e cos( 0) isen( 0) 1 1 -i π/ 1 π π w e cos( 1) isen( 1) i -i π/ π π s w e cos( ) isen( ) 1 s3 3 -i π/ 3 π π w e cos( 3) isen( 3) i i w 3 w -1 1 w 0 -i w 1 3

33 Esempio: N w e -i π/ s s6 -i π/ π π w e cos( ) isen( ) w 6 e -i π/ 6 cos( π 6) isen( π 6) 1 1 cos(3 π ) isen(3 π ) cos( π + π ) isen ( π + π ) s9 w 9 e -i π/ 9 cos( π 9) isen( π 9) i cos( 9 π ) isen( 9 π ) cos( π + π ) isen ( π + π ) w w -i w 9 33

34 Definizione Assegnati N numeri complessi posto w N e-i π /N il vettore f 0, f 1,., f N-1 cos (π /N ) - i sin (π /N) F (F 0,F 1,F N -1 ) con N 1 jk Fk fj w N k j 0 0,...N - 1 èdetto Trasformata Discreta di Fourier (DFT) del vettore f (f 0, f 1, f N-1 ) 3

35 FINE LEZIONE!! 35