Capitolo 17 CONICHE Generalità

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1 Capitolo 17 CONICHE 17.1 Generalità La parola conica sta classicamente a significare una curva sezione di un cono (inteso come figura illimitata ottenuta facendo ruotare una retta attorno ad un asse ad essa incidente) con un piano. In questa accezione ricadono l ellisse, l iperbole e la parabola, di cui abbiamo illustrato le equazioni canoniche. Segnaliamo però che anche coppie di rette incidenti o coincidenti ricadono nella definizione suddetta, così come le sezioni costituite dal solo vertice del cono. Daremo ora al termine conica un significato più ampio. Intanto, accanto alle equazioni canoniche delle coniche già descritte (ellisse, iperbole, parabola), va aggiunta l equazione canonica della conica priva di punti reali : x 2 a + y2 2 b = 1 2 equazione che non avendo soluzioni reali rappresenta nel piano euclideo reale l insieme vuoto. Avvertiamo che può essere sviluppata una teoria di geometria analitica in cui si considerano punti a coordinate complesse. In tale ambito l equazione suddetta ha ovviamente soluzioni, per esempio il punto (ai, 0) (essendo i l unità immaginaria). L ellisse, la conica priva di punti reali, l iperbole e la parabola si dicono coniche generali. Data l equazione canonica di una conica gene- 1

2 2 CAPITOLO 17. CONICHE rale, se si attua un cambiamento di riferimento cartesiano, l equazione cambia aspetto e assume in generale la forma: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 01 x + 2a 02 y + a 00 = 0 Bisogna però avvertire che non è vero necessariamente il viceversa. Cioè, data un equazione del tipo , non è detto che rappresenti una conica generale. Diremo comunque che un equazione del tipo rappresenta una conica. Per verificare però se si tratti di una conica generale, avremo bisogno di uno strumento fornito dall algebra lineare. Si dice matrice della conica la seguente matrice simmetrica: a 00 a 01 a 02 A = a 01 a 11 a 12 a 02 a 12 a 22 Si dimostra il seguente: Teorema Condizione necessaria e sufficiente affinché l equazione rappresenti una conica generale è che det A 0. Esempio matrice La conica x 2 + 8xy + 16y 2 x + 2y + = 0 ha per A = Dato che det A = 9, la conica risulta generale. Una conica non generale si dice degenere. Per le coniche degeneri il polinomio a primo membro dell equazione risulta riducibile nel campo complesso, cioè si fattorizza in due fattori lineari a coefficienti complessi (qui i numeri reali sono intesi come particolari numeri complessi). Se tali fattori lineari non sono proporzionali, la conica si dice semplicemente degenere, in caso contrario si dice doppiamente degenere. Per esempio le coniche x 2 4y 2 = 0, x 2 +y 2 = 0, x 2 +2xy+y 2 +x+y = 0, x 2 + 2xy + y = 0, x 2 + 4xy + 4y 2 = 0 sono tutte degeneri. Si ha infatti

3 17.1. GENERALITÀ 3 1) x 2 4y 2 = (x + 2y)(x 2y). In tal caso la conica è semplicemente degenere e risulta costituita dall unione delle rette di equazioni x + 2y = 0 e x 2y = 0 (incidenti nell origine). Una conica di tal tipo viene detta iperbole degenere. 2) x 2 +y 2 = (x+iy)(x iy). E anch essa semplicemente degenere. Nel piano euclideo reale l equazione rappresenta solo un punto (l origine). Avvertiamo che la stessa equazione nel piano complesso rappresenta ancora l unione di due rette (cosiddette immaginarie ) incidenti nell origine. Una conica di questo tipo viene detta ellisse degenere. 3) x 2 +2xy+y 2 +x+y = (x+y) 2 +(x+y) = (x+y)(x+y+1). Dunque, ancora una conica semplicemente degenere. Risulta l unione delle rette parallele x + y = 0 e x + y + 1 = 0. Una conica siffatta si dice parabola degenere a punti reali. 4) x 2 + 2xy + y = (x + y) = (x + y + i)(x + y i). Anch essa è quindi conica semplicemente degenere. Nel piano euclideo reale è priva di punti. La stessa equazione nel piano complesso rappresenta due rette parallele immaginarie. Una conica di tal tipo si dice parabola degenere priva di punti reali. ) x 2 + 4xy + 4y 2 = (x + 2y) 2. E una conica doppiamente degenere. Rappresenta la retta x + 2y = 0 (contata con molteplicità 2). Si dimostra il seguente: Teorema Condizione necessaria e sufficiente affinché l equazione rappresenti una conica semplicemente (risp. doppiamente) degenere è che rga = 2 (risp. 1). A conferma del risultato precedente, si osservi che nell esempio 1) la matrice della conica è A =

4 4 CAPITOLO 17. CONICHE che ha rango eguale a 2. Analogamente avviene per gli esempi 2), 3), 4), mentre per l esempio ) la matrice è : A = che ha rango eguale a 1. La matrice della conica risulta invero uno strumento efficace per la classificazione della conica stessa, non limitandosi a fornirci l informazione se si tratti di conica generale o degenere. Considerato infatti α 00, complemento algebrico di a 00 nella matrice A, ovvero α 00 = a 11 a 12 a 12 a, 22 si ha il seguente: Teorema Data una conica di equazione , essa risulta: - ellisse o conica priva di punti reali se det A 0 e α 00 > 0; - iperbole se det A 0 e α 00 < 0; - parabola se det A 0 e α 00 = 0; - ellisse degenere se rga = 2 e α 00 > 0; - iperbole degenere se rga = 2 e α 00 < 0; - parabola degenere (a punti reali o meno) se rga = 2 e α 00 = 0; - conica doppiamente degenere se rga = 1. Le coniche con α 00 0 vengono dette coniche a centro, le altre prendono il nome di coniche senza centro. Tale denominazione è dovuta al fatto che solo le prime possiedono un centro di simmetria. Limitandoci alle coniche generali, quelle a centro sono l ellisse, l iperbole e la conica priva di punti reali. Ogni conica (generale o degenere) a centro con punti reali, possiede due assi di simmetria passanti per il centro. Le parabole (anche quelle degeneri a punti reali) possiedono invece solo un asse di simmetria.

5 17.1. GENERALITÀ Coniche generali a centro Descriviamo i procedimenti per ottenere il centro e gli assi di simmetria di coniche generali a centro, senza alcuna dimostrazione. Data una conica generale di centro P 0 (x 0, y 0 ), si ha: x 0 = α 01, y 0 = α 02 α 00 α 00 essendo α 01, α 02 i complementi algebrici di a 01, a 02 nella matrice A della conica. Le ( direzioni ) degli assi sono quelle degli autovettori della matrice a11 a A 00 = 12. a 12 a 22 Nel caso di un iperbole, gli asintoti sono le rette per il centro con parametri direttori l e m, ottenuti come soluzioni dell equazione: a 11 l 2 + 2a 12 lm + a 22 m 2 = 0 Esempi ) La conica x 2 + 4xy + 2y 2 2x + 4y 1 = 0 ha matrice A = Poiché det A = 36 0, la conica è generale. Dato che α 00 = = 6 > 0, la conica è un ellisse o una conica priva di punti reali. Essendo inoltre α 01 = = 6, α 02 = = 12, il centro è P 0(1, 2). ( ) 2 La matrice A 00 = ha autovalori 1 e 6. Gli autovettori 2 2 relativi all autovalore 1 sono (h, 2h), con h 0. L asse parallelo a tali autovettori, passando per P 0, è quindi 2(x 1)+1(y+2) = 0, cioè 2x + y = 0. Gli autovettori relativi all autovalore 6 sono (2h, h), con h 0. L asse parallelo a tali autovettori è quindi (x 1) 2(y + 2) = 0, cioè x 2y = 0.

6 6 CAPITOLO 17. CONICHE 2) La conica x 2 + 4xy + y 2 + 6x 2y = 0 ha matrice A = Poiché det A = 22 0, la conica è generale. Dato che α 00 = = 3 < 0, la conica è un iperbole. Essendo inoltre α 01 = =, α 02 = = 7, il centro è P 0 (/3, 7/3). ( ) 1 2 La matrice A 00 = ha autovalori 3 e 1. Gli autovettori 2 1 relativi all autovalore 3 sono (h, h), con h 0. L asse parallelo a tali autovettori, passando per P 0, è quindi 1(x /3) 1(y+7/3) = 0, cioè x y 4 = 0. Gli autovettori relativi all autovalore 1 sono (h, h), con h 0. L asse parallelo a tali autovettori è quindi 1(x /3) + 1(y + 7/3) = 0, cioè x + y + 2/3 = 0. Le direzioni degli asintoti sono ottenute dall equazione l 2 + 4lm + m 2 = 0. Dato che m = 0 non è soluzione dell equazione e che i parametri direttori possono essere alterati per un fattore diverso da 0, possiamo porre m = 1. L equazione diventa l 2 + 4l + 1 = 0 e ha soluzioni l = 2 ± 3. Gli asintoti hanno quindi equazioni: 1(x /3) + (2 3)(y + 7/3) = Parabole Data una parabola di equazione f(x, y) = a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 01 x + 2a 02 y + a 00 = 0, la condizione α 00 = 0 implica a 2 12 = a 11 a 22. Ne discende che a 11 e a 22 sono concordi e pertanto possono essere supposti ambedue positivi, pur di cambiare eventualmente segno a tutti i termini dell equazione. L equazione assume allora la forma f(x, y) = (ux + vy) 2 + 2a 01 x + 2a 02 y + a 00 = 0, avendo posto u = a 11, v = a 22 oppure v = a 22, a seconda che a 12 sia positivo o negativo.

7 17.1. GENERALITÀ 7 L asse della parabola ha equazione u f x + v f y = 0 Il vertice della parabola si ottiene facilmente intersecando la parabola col suo asse. Esempio La conica x 2 4xy+4y 2 4x+3y+1 = 0 ha matrice 1 2 3/2 A = /2 2 4 Poiché det A = 2/4 0, la conica è generale. Dato che α 00 = = 0, la conica è una parabola. L equazione può essere riscritta (x 2y) 2 4x+3y +1 = 0. Essendo u = 1, v = 2, l asse ha equazione 1(2x 4y 4) 2( 4x+8y +3) = 0, cioè { 10x 20y 10 = 0 che equivale a x 2y 1 = 0. Il sistema x 2 4xy + 4y 2 { 4x + 3y + 1 = 0 y 2 = 0 equivale a che ha x 2y = 1 x = 2y + 1 come unica soluzione il punto V (1/, 2/) vertice della parabola Coniche degeneri Data una conica degenere con almeno 2 punti reali, ci proponiamo di determinare le rette (dette componenti della conica) in cui si spezza. Le formule , , utili a fornire il centro e le direzioni degli asintoti di un iperbole, rimangono valide anche nel caso di un iperbole degenere, in quanto determinano il punto di incontro e le direzioni delle rette che costituiscono la conica. Ci si può limitare all uso della sola , moltiplicando le equazioni di due generiche rette con le direzioni individuate. Identificando l equazione così ottenuta con quella della conica, si ottengono i coefficienti rimasti indeterminati. Esempio La conica x 2 + xy 2y 2 + x + 2y = 0 ha matrice 0 1/2 1 A = 1/2 1 1/2. Poiché det A = 0 e α 00 = 9 < 0, la conica è 4 1 1/2 2 un iperbole degenere, si spezza quindi in una coppia di rette incidenti.

8 8 CAPITOLO 17. CONICHE L equazione diventa l 2 + lm 2m 2 = 0. Scegliendo, com è lecito, m = 1, si ha l 2 + l 2 = 0, che ha soluzioni l = 1 e l = 2. Le due rette cercate hanno quindi equazioni x y + h = 0, x + 2y + k = 0, con h e k coefficienti da determinare. Dato che l equazione della conica, della forma (x y + h)(x + 2y + k) = 0, cioè x 2 + xy 2y 2 + (h + k)x + (2h k)y +hk = 0, deve essere equivalente a x 2 +xy 2y 2 +x+2y = 0, si deduce: h + k = 1 2h k = 2 hk = 0 da cui discende h = 1 e k = 0. x y + 1 = 0, x + 2y = 0. Le rette componenti sono quindi La formula è valida anche per fornire la direzione delle rette (parallele) componenti di una parabola degenere e quella delle rette (coincidenti) che costituiscono una conica doppiamente degenere. Anche in questi casi si può perciò utilizzare il procedimento descritto per l iperbole degenere. Esempio La conica x 2 2xy +y 2 +3x 3y +2 = 0 ha matrice 2 3/2 3/2 A = 3/ Poiché det A = 0, rga=2 e α 00 = 0, la 3/2 1 1 conica è una parabola degenere, si spezza quindi in una coppia di rette parallele distinte. L equazione diventa l 2 2lm + m 2 = 0. Scegliendo m = 1, si ha l 2 2l + 1 = 0, che ha soluzioni coincidenti l = 1. Le due rette cercate hanno quindi equazioni x y + h = 0, x y + k = 0, con h e k coefficienti da determinare. Dato che l equazione della conica, della forma (x y + h)(x y + k) = 0, cioè x 2 2xy + y 2 + (h + k)x (h + k)y + hk = 0, deve essere equivalente a x 2 2xy + y 2 + 3x 3y + 2 = 0, si deduce: { h + k = 3 hk = 2 da cui discende h = 1 e k = 2 o viceversa. Le rette componenti sono quindi x y + 1 = 0, x y + 2 = 0.

9 17.2. RIDURRE A FORMA CANONICA CONICHE GENERALI 9 Esempio La conica x 2 2xy + y 2 + 2x 2y + 1 = 0 ha matrice A = Poiché rga=1, la conica è doppiamente degenere, si spezza quindi in una coppia di rette coincidenti. L equazione diventa l 2 2lm + m 2 = 0, che comporta l = 1 e m = 1. La retta cercata ha quindi equazione x y + h = 0 con h coefficiente da determinare. Dato che l equazione della conica, della forma (x y + h) 2 = 0, cioè x 2 2xy + y 2 + 2hx 2hy + h 2 = 0, deve essere equivalente a x 2 2xy + y 2 + 2x 2y + 1 = 0, si deduce h = 1. La conica ha quindi come componente doppia la retta x y + 1 = Ridurre a forma canonica coniche generali Sia assegnata una conica generale C di equazione nel riferimento RC(Oxy). Illustriamo brevemente il procedimento, per ottenere l equazione canonica di C, tramite un opportuno cambiamento di riferimento Riduzione di coniche a centro Supponiamo di aver determinato il centro P 0 (x 0, y 0 ) e gli assi della conica con i procedimenti descritti nel Se tali assi hanno equazioni rispettive ax + by + c = 0, bx ay + d = 0 (ricordiamo che detti assi sono perpendicolari), imponendo che essi diventino rispettivamente gli assi x e y del riferimento RC(P 0 x y ), di equazioni rispettive y = 0, x = 0, si ottiene: { x = hbx hay + hd y = kax + kby + kc essendo h e k opportuni fattori di proporzionalità non nulli ( da determinare. A questo proposito, osservando che la matrice M = ) hb ha ka kb è ortogonale e che quindi sia le righe che le colonne rappresentano versori, si deduce immediatamente che h = ± 1 a2 + b, k = ± 1 2 a2 + b. 2

10 10 CAPITOLO 17. CONICHE Scegliamo i segni arbitrariamente, per esempio quello positivo in entrambi i casi. Quindi le formule di trasformazione delle coordinate da RC(Oxy) a RC(P 0 x y ) sono: x = y = b a x 2 +b 2 a a x + 2 +b 2 a a y + 2 +b 2 b a y + 2 +b 2 d a 2 +b 2 c a 2 +b 2 Essendo M matrice ) ortogonale, quindi con M 1 = M t = ( b a 2 +b 2 a a 2 +b a a 2 +b 2 b a 2 +b 2, le formule inverse sono: x = y = b a x + 2 +b 2 a a x + 2 +b 2 a a 2 +b 2 y + x 0 b a 2 +b 2 y + y 0 con termini noti eguali alle coordinate in RC(Oxy) del centro P 0 (che ha coordinate nulle in RC(P 0 x y )). Operando nell equazione le sostituzioni dettate dalle , si ottiene l equazione canonica della conica nelle coordinate x, y. Esempio Torniamo a considerare l ellisse x 2 +4xy+2y 2 2x+ 4y 1 = 0, studiata nel primo degli esempi Ricordiamo che il centro è P 0 (1, 2) e gli assi hanno equazioni 2x + y = 0, x 2y = 0. Assumendo di scegliere la prima retta come asse x (di equazione y = 0) e la seconda come asse y (di equazione x = 0), abbiamo perciò : x = 1 x 2 y y = 2 x + 1 y e conseguentemente: x = 1 x + 2 y + 1 y = 2 x + 1 y 2 Sostituendo queste ultime nell equazione della conica, si ottiene l equazione x 2 + 6y 2 6 = 0 ovvero x y 2 = 1.

11 17.2. RIDURRE A FORMA CANONICA CONICHE GENERALI 11 I semiassi della conica valgono pertanto 6 (semiasse maggiore) e 1. La semidistanza focale è c = 6 1 =. L eccentricità vale e = 6. Il fuoco F, di coordinate x =, y = 0 in RC(P 0 x y ), ha quindi coordinate in RC(Oxy): x = = 2, y = = 4. Il fuoco F di coordinate x =, y = 0, ha invece coordinate: x = = 0, y = 2( ) = 0. Le direttrici di equazioni x = ± a, cioè e x = ± 6 in RC(P 0 x y ), 1 hanno equazioni in RC(Oxy): x 2 y = ± 6, ovvero x 2y 11 = 0 e x 2y + 1 = Riduzione di parabole Sia assegnata una parabola di equazione (con α 00 = 0) nel riferimento RC(Oxy). Una volta calcolati l asse di simmetria r e il vertice V (x 0, y 0 ) con i procedimenti illustrati nel , si determini la retta n per V perpendicolare a r. Siano ax + by + c = 0 e bx ay + d = 0 le equazioni rispettive di n e r. Si assuma la retta n come asse x e la retta r come asse y del nuovo riferimento. Operando come nel caso delle coniche a centro si perviene di nuovo alle formule che, utilizzate nell equazione , permettono anche in questo caso di pervenire all equazione canonica. Esempio Riduciamo ad equazione canonica la parabola x 2 4xy+4y 2 4x+3y+1 = 0, studiata nell esempio Ricordiamo che il vertice è V (1/, 2/) e l asse r ha equazione x 2y 1 = 0. La retta n per V perpendicolare a r ha equazione 2(x 1/)+y+2/ = 0 ovvero 2x+y = 0. Assumendo di scegliere n come asse x (di equazione y = 0) e r come asse y (di equazione x = 0), abbiamo perciò : x = 1 x 2 y 1 e conseguentemente: y = 2 x + 1 y x = 1 x + 2 y + 1 y = 2 x + 1 y 2

12 12 CAPITOLO 17. CONICHE Sostituendo queste ultime nell equazione della conica, si ottiene l equazione x 2 y = 0 ovvero y = x 2. Il fuoco F, di coordinate x = 0, y = 1 4 in RC(V x y ), ha quindi coordinate in RC(Oxy): x = = 3, y = = La direttrice, che in RC(V x y ) ha equazione y = 1 4, ha in RC(Oxy) equazione 2 x + 1 y = 1 4 ovvero 8x + 4y + 1 = Metodo degli invarianti La riduzione a forma canonica di una conica risulta piuttosto laboriosa, come testimoniano gli esempi illustrati nel paragrafo precedente. Si può pervenire più agevolmente al risultato utilizzando il cosiddetto metodo degli invarianti. Premettiamo alcune definizioni. Data una conica C di equazione , poniamo A = det A, essendo A la matrice della conica. A viene detto invariante cubico di C. Il valore α 00 (complemento algebrico di a 00 in A) è detto invariante quadratico di C. Il valore I = a 11 + a 22 (traccia della matrice A 00 ) è detto invariante lineare di C. Osserviamo che moltiplicando l equazione per un fattore ρ non nullo, i valori A, α 00, I vengono alterati rispettivamente di ρ 3, ρ 2, ρ. Dichiareremo equivalenti le terne (A, α 00, I), (ρ 3 A, ρ 2 α 00, ρi). Il nome di invariante attribuito a A, α 00, I è dovuto al seguente: Teorema Sia assegnata una conica C di equazione nel riferimento RC(Oxy), con relativa terna di invarianti (A, α 00, I). Se si passa ad un nuovo riferimento RC(O x y ), l equazione di C in tale riferimento presenta una terna equivalente di invarianti. Questo teorema permette di determinare l equazione canonica di una conica, senza ricorrere esplicitamente alle formule di cambiamento di coordinate. Distinguiamo due casi Uso degli invarianti per le coniche a centro Per una conica a centro, di equazione nel riferimento RC(Oxy), l equazione canonica in un riferimento opportuno RC(O x y ) è del tipo

13 17.3. METODO DEGLI INVARIANTI 13 αx 2 + βy 2 1 = 0 (con coefficienti α e β da determinare). Poiché la matrice della conica rispetto a tale equazione è A = α 0, 0 0 β la relativa terna (incognita) di invarianti è ( αβ, αβ, α + β). Ne consegue che tale terna è equivalente alla terna (nota) degli invarianti (A, α 00, I) determinati dall equazione Si ha quindi: αβ = ρ 3 A αβ = ρ 2 α 00 α + β = ρi Dalle prime due equazioni si ricava ρ 3 A = ρ 2 α 00, ovvero ρ = α 00 /A. Sostituendo nelle ultime due equazioni del sistema, si ricava: { αβ = α 3 00 /A 2 α + β = α 00 I/A Conoscendo la somma e il prodotto delle incognite α e β, possiamo determinarle (a meno dell ordine) come soluzioni dell equazione di secondo grado: t 2 + α 00 I A t + α3 00 A 2 = 0. Esempio Consideriamo di nuovo l ellisse studiata in e successivamente in Dato che la matrice della conica è A = , con A = det A = 36, α 00 = 6, I = 7, l equazione diventa: t t = 0 equivalente a 2 6t2 7t + 1 = 0, che ha soluzioni 1/6 e 1. Si osservi che possiamo porre α = 1/6, β = 1 o viceversa. Se vogliamo però che il semiasse maggiore sia sull asse delle ascisse, dobbiamo operare la prima scelta. Troviamo così l equazione x y 2 = 1, già determinata in

14 14 CAPITOLO 17. CONICHE Uso degli invarianti per le parabole Per una parabola, di equazione nel riferimento RC(Oxy) (con α 00 = 0), l equazione canonica in un riferimento opportuno RC(O x y ) è del tipo αx 2 + y = 0 (con α da determinare). Poiché la matrice della conica rispetto a tale equazione è A = α la relativa terna (incognita) di invarianti è ( 1 α, 0, α). Ne consegue 4 che tale terna è equivalente alla terna (nota) degli invarianti (A, 0, I) determinati dall equazione Si ha quindi: { 1 α = 4 ρ3 A α = ρi Dalla seconda equazione si ricava ρ = α/i, che, sostituita nella prima, fornisce: 1 4 α = α3 A, da cui: I 3 I α = ± 4A. Si osservi che, se si vuole scegliere la parabola con concavità verso l alto, si deve scegliere la determinazione negativa del segno, in modo da ottenere l equazione y = I3 4A x 2. Esempio Consideriamo ancora la parabola studiata in e successivamente in Dato che la matrice della conica è A = 1 2 3/ , con A = det A = 2/4, I =, l equazione /2 2 4 diventa: y 3 = 2 x 2, cioè y = x 2, già determinata in ,