Fondamenti dell informatica

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1 Fondamenti dell informatica Macchine a registri Rosario Culmone rosario.culmone@unicam.it 9/4/2008 UNICAM - p. 1/24

2 Modello di calcolo basato sui calcolatori Le macchine a registri (RAM: Random Access Machines) sono state introdotte per sviluppare la teoria della calcolabilità con un modello di macchina che fosse un astrazione "ragionevole" di un calcolatore (macchina di von Neumann). Il nome "random" deriva dal fatto che in queste macchine l accesso alla memoria non avviene in modo sequenziale come nella macchina di Turing ma in modo "random" (accesso casuale equitemporale) 9/4/2008 UNICAM - p. 2/24

3 Macchine a registri Sono caratterizzate da: un numero arbitrario di celle di memoria (registri) contenenti un intero arbitrario: R[n] (intero matematico ovvero di dimensione arbitraria) dei registri speciali: contatore istruzioni accumulatore: R[0] Input ALU Accumulatore Contatore R1 R2... Rn Output 9/4/2008 UNICAM - p. 3/24

4 Istruzioni della macchina a registri Le operazioni che la macchina a registri può effettuare sono: operazioni LOAD e ST ORE: trasferimenti da registri ad accumulatore e viceversa operazini READ e WRITE: trasferimenti da nastro di input a registri e da registri a nastro di output operazioni di ADD, SUB, MUL, DIV, REM: operazioni aritmetiche tra accumulatore e registri. Tali operazioni lasciano il risultato nell accumlatore operazioni JGT Z, JEQZ: operazioni di salto condizionati ovvero salto che avviene se nell accumulatore vi è un valore maggiore di zero o uguale a zero operazione JU M P : operazione di salto incondizionato operazione HALT : operazione di terminazione 9/4/2008 UNICAM - p. 4/24

5 Tipologia degli operandi Tutte le operazioni prevedono un solo o operando (l altro operando implicito, se esiste, è l accumulatore) costante = n costante intera n diretto n registro n indiretto n registro puntato dal registro n Ad esempio le seguenti istruzioni: LOAD = n carica nell accumulatore la costante n ADD n somma all accumulatore il contenuto del registro n ADD n somma all accumulatore il contenuto del registro puntato dal registro n JGT Z n salta all n-esima istruzione sel il contenuto dell accumulatore è > 0 9/4/2008 UNICAM - p. 5/24

6 Macchine e programmi I programmi sono "cablati" ovvero ogni macchina esegue un solo programma. Come esempio vediamo il programma per il calcolo di x y. Si indicherà con R[n] il contenuto del registro n e con l assegnamento. 9/4/2008 UNICAM - p. 6/24

7 Programma per calcolare x y READ 1 lettura di x dall input in R[1] READ 2 lettura di y dall input in R[2] LOAD = 1 inizializzazione STORE 3 R[3] 1 il registro 3 conterrà il risultato LOAD 2 Carica da R[2] y, questa è la 5 o istruzione JEQZ 14 se R[2] = 0 salta all istruzione 14 o LOAD 1 carica R[1] MUL 3 moltiplica R[3] per R[1] STORE 3 R[1] R[1] R[3] LOAD 2 carica R[2] SUB = 1 si decrementa R[2] STORE 2 R[2] R[2] 1 JUMP 5 salta alla 5 o istruzione WRITE 3 stampa da R[3] in output, questo è la 14 o istruzione HALT 9/4/2008 UNICAM - p. 7/24

8 Costo di esecuzione Nelle MdT il costo è il numero di applicazioni della funzione di transizione. Nelle macchine a registri la definizione di costo è più complessa: Modelli a costi uniformi Modelli a costi logaritmici 9/4/2008 UNICAM - p. 8/24

9 Modello a costi uniformi Ogni istruzione costa una unità di tempo Pregio: approccio molto semplice; adatto a valutare il costo di esecuzione di programmi in linguaggi ad alto livello Difetto: analisi non realistica. Moltiplicare due interi di 32 bit costa quanto moltiplicare due interi di 1000 bit. Accedere ad una memoria di 1 kilobyte costa come accedere ad una memoria di 1 terabyte 9/4/2008 UNICAM - p. 9/24

10 Modello a costi logaritmici L elaborazione di un intero n ha costo O(log n) e l accesso al registro i ha costo O(log i). Sostanzialmente la complessità del calcolo è proporzionale al numero di bit e l accesso e proporzionale al numero di bit dell indirizzo Pregio: la valutazione dei costi è più realistica dal punto di vista asintotico (ovvero per operandi molto grandi, o per memeria molto grande). Difetto: analisi più laboriosa. 9/4/2008 UNICAM - p. 10/24

11 Esempio di analisi dei costi Se ad esempio vogliamo calcolare i costi logaritmici di una operazione si ha: ADD 3 log(3) + log(r[3])+ accesso al registro puntato dal registro 3 log(r[r[3]]) + log(r[0]) costo dell operazione di somma Tenendo conto di approssimazioni su scala asintotica il costo del programma per il calcolo di x y è: a costi uniformi O(y), il costo è proporzionale al numero di moltiplicazioni a costi logarirmici O(y 2 log(x)), il costo dipende sia da x che da y (bisogna tenere conto che man mano che si effettuano moltiplicazioni il valore del calcolo aumenta, quindi n(n+1) 2...) 9/4/2008 UNICAM - p. 11/24

12 RAM e MdT Caratterizziamo la calcolabilità delle RAM e dimostriamo che ciò che calcola RAM e calcolabile con MdT e viceversa. La f : N n N è calcolabile da una RAM se esiste un programma P tale che: se f(x 1,...,x n ) = y, allora P con input x 1,...,x n termina con y in output se f(x 1,...,x n ) non è definita, allora P non termina Sia M = {0, 1}, b, K, q 0, F, δ una MdT con nastro semifinito; esiste una RAM tale che se M esegue la computazione q 0 x q F y, la RAM inizia la computazione con la stringa x nei registri 2,..., x + 1 e termina con la stringa y nei registri 2,..., y + 1. La RAM simula T passi di M in tempo = (T log T) nel modello a costi logaritmici 9/4/2008 UNICAM - p. 12/24

13 Corrispondenze MdT e RAM Stabiliamo una corrispondenza tra la cella i del nastro di M (MdT con nastro seminfinito) e il registro i + 1 della RAM Il registro 1 della RAM contiene la posizione della testina di M All inizio contiene il valore 2 (ovvero l inizio del nastro della MdT corrispondente) P prevede una sequenza di istruzioni per ogni stato di M In pratica per ogni elemento della funzione δ della MdT si costruisce un frammento di programma della RAM 9/4/2008 UNICAM - p. 13/24

14 Costruzione di RAM da MdT Le istruzioni di P sono realizzate nel seguente modo: Alla regola δ(q 1, 0) = (q 2, 1, d) corrisponde il sottoprogramma q1: LOAD 1 lettura del contenuto del nastro nell accumulatore JGTZ q1 se è 1 vai al sottoprogramma q1 LOAD = 1 STORE 1 scrivi 1 sul nastro LOAD 1 - ADD = 1 sposta a destra la testina STORE 1 - JUMP q2 aggiorna lo stato 9/4/2008 UNICAM - p. 14/24

15 Costo della simulazione Ogni passo di M è simulato a al più 8 istruzioni ognuna con costo O(log t max ) dove t max è uguale al massimo numero di celle usate. Il valore deriva dal fatto che se l elaborazione della MdT prevede l uso del nastro sino alla cella 512 allora tale valore sarà memorizzato nel registro 1 della RAM e poiché i costi sono logaritmici sarà proporzionale al massimo a log512 Quindi se la MdT ha eseguito T passi al più avrà raggiunto la posizione T esima del nastro = t max, quindi il costo complessivo è dato dal prodotto per l esecuzione di T computazioni per l accesso alla posizione più lontana del nastro quindi il costo complessivo è O(T log T) 9/4/2008 UNICAM - p. 15/24

16 Costruzione di MdT da RAM Data una RAM che calcola la funzione f, esiste una MdT M tale che, se f(x 1,...,x n ) = y, e se sul nastro di input sono memorizzati in binario gli interi x 1,...,x n la macchina M termina con la rappresentazione binaria di y sul nastro di output; se f(x 1,...,x n ) non è definita, M non termina. 9/4/2008 UNICAM - p. 16/24

17 Costo della simulazione Se il costo della computazione della RAM è T nel modello a costi logaritmici, allora M la simula in O(T 2 ) passi. Per la simulazione utilizziamo MdT a cinque nastri: un nastro di input corrispondente esattamente al nastro RAM, un nastro di output corrispondente esattamente al nastro RAM e tre nastri di lavoro contenenti: Nastro 1 dati memorizzati nei registri della RAM preceduti dal numero d ordine del registro (in binario): #i 1 #R[i 1 ]#i 2 #R[i 2 ]#...#i m #R[i m ] Nastro 2 contenuto dell accumulatore Nastro 3 esecuzione delle istruzioni 9/4/2008 UNICAM - p. 17/24

18 Funzionamento Per ogni istruzione della RAM, M ha un insieme di stati per eseguire le trasformazioni previste dall istruzione stessa (ovvero cambiamento del contenuto dei registri o dell accumulatore ecc...) 9/4/2008 UNICAM - p. 18/24

19 Istruzione per istruzione JU M P Istruzioni di salto: JGT Z si controlla se il contenuto dell accumulatore sul nastro 2 JEQZ verifica le condizioni e si effettua i corrispondenti salti HALT (cambiamento di stato) LOAD WRITE ADD SU B MUL DIV ST ORE READ Istruzioni che non modificano il contenuto dei registri: si cerca sul nastro 1 il registro su cui si deve operare e si esegue sul nastro contenente la rappresentazione dell accumulatore l operazione prevista Istruzioni che modificano il contenuto dei registri: si trascrive sul nastro 3 il contenuto del nastro 1, si esegue l operazione che modifica il contenuto del registro, si ricopia sul nastro 1 9/4/2008 UNICAM - p. 19/24

20 Costo della simulazione Sia N1 il numero di celle del nastro 1 utilizzate allora se la RAM impiega tempo T nel modello a costi logaritmici, allora abbiamo N1 T (dove la somma è eseguita su tutti i registri effettivamente utilizzati da RAM). Infatti N1 = ( i + R[i] ) dove la somma è effettuata sui registri effettivamente utilizzati Inoltre se sul nastro 1 è presente l indirizzo i vuol dire che la RAM ha acceduto almeno una volta al registro R[i] e quindi ha pagato almeno una volta log i, d altro canto l indirizzo i occupa sul nastro 1 proprio log i celle (tutto è espresso in binario) Analogamente se sul nastro 1 compare il contenuto del registro i allora la RAM ha pagato almeno una volta log(r[i]) d altro canto R[i] occupa su nastro 1 proprio log(r[i]) celle 9/4/2008 UNICAM - p. 20/24

21 Calcolo In conclusione se definiamo: C costo impiegato dalla macchina di Turing N numero di istruzioni della RAM M costo massimo di esecuzione di ogni istruzione abbiamo: C = O(N M) = O(N N1) = O(T T) = O(T 2 ) Il costo di esecuzione di una istruzione della RAM può essere al più il costo di scansione dell intero nastro della MdT N 1. D altro lato il costo pagato dalla RAM è al più T se T è il costo pagato dalla RAM e sicuramente N1 è minore di T pertanto il costo della simulazione della MdT è dell ordine di O(T 2 ). 9/4/2008 UNICAM - p. 21/24

22 Potere espressivo delle MdT e RAM Da quanto visto le RAM e le MdT hanno lo stesso potere computazionale. Questo conferma la tesi di Church-Turig ovvero non vi è modello di calcolo più espressivo delle MdT. Inotre RAM e MdT hanno lo stesso potere computazionale anche con limitazione di tempo polinomiale. Questo vuol dire che essendo la simulazione reciproca limitata da tempo polinomiale se la soluzione ad un problema richiede un tempo esponenziale per RAM allora anche MdT necessiterà di tempo esponenziale e viceversa Questo significa che se si vuole caratterizzare la complessità computazionale di un problema può farlo indifferentemente con RAM o con MdT e tutti i risultati in termini di camplessità computazionale ottenuti con un modello possono essere utilizzati per l altro. 9/4/2008 UNICAM - p. 22/24

23 Macchine a registri elementari Si può semplificare ulteriormente il modello RAM senza perdere potenza espressiva. Esistono modelli di calcolo più elementari delle RAM dotati dello stesso potere computazionale. Tre sole istruzioni. R[i] R[i] + 1 R[i] R[i] 1 IF R[i] = 0 THEN GOTO n incremento di un registro di memoria decremento di un registro di memoria se il registro è uguale a 0 si va all istruzione n eliminazione di nastri di ingresso e uscita, i parametri e i risultati possono essere lasciati sui registi eliminazione dell accumulatore eliminazione dell indirizzamento indiretto la terminazione può essere realizzato con il salto ad un istruzione che non esiste 9/4/2008 UNICAM - p. 23/24

24 Potere computazionale delle MREL Si può mostrare che le MREL hanno lo stesso potere computazionale delle RAM Ogni funzione f : N n N calcolabile con una RAM è calcolabile con una MREL e viceversa Si può facilmente dimostrare l equivalenza tra RAM e MREL simulando ogni istruzione di RAM con una serie di istruzioni in MREL e viceversa. 9/4/2008 UNICAM - p. 24/24