Capitolo 6: Modelli di calcolo per linguaggi imperativi e funzionali

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1 Capitolo 6: Modelli di calcolo per linguaggi imperativi e funzionali 1

2 Modelli imperativi: le RAM (Random Access Machine) I modelli di calcolo imperativi sono direttamente collegati al modello Von Neumann, e caratterizzano il linguaggio macchina, i linguaggi assemblativi e gran parte dei linguaggi di programmazione ad alto livello dei calcolatori reali. Nel modello di calcolo imperativo un algoritmo é descritto tramite un programma (una sequenza finita di istruzioni), che agisce sui dati contenuti nella memoria (un insieme finito di celle). Il calcolo é realizzato da una macchina che esegue sequenzialmente le istruzioni, modificando il contenuto della memoria. Tipiche istruzioni sono la lettura dei dati, il trasferimento, le operazioni aritmeticho-logiche elementari. 2

3 In questo modello é fondamentale il concetto di stato, cioé il contenuto della memoria in un determinato istante. L esecuzione di una istruzione comporta il passaggio da uno stato al successivo, e l intera computazione si rappresenta attraverso una sequenza di stati. La memoria di una RAM consiste in un numero finito di registri, ognuno dei quali contiene un intero grande a piacere, accessibili attraverso il loro numero d ordine. L accumulatore contiene, durante la computazione, uno degli operandi su cui agiscono le istruzioni della macchina. Il contatore delle istruzioni (CI) contiene il numero d ordine della prossima istruzione da eseguire. 3

4 Il nastro di ingresso (nastro di uscita) consiste in una sequenza di celle, ciascuna capace di contenere un intero grande a piacere. L unitá centrale esegue le istruzioni del linguaggio che governa la macchina. Il programma per RAM consiste in un insieme di istruzioni, che agiscono su operandi contenuti nei registri, con le seguenti convenzioni: 3 indica il contenuto del registro 3. (3) indica il contenuto del registro indirizzato dal registro 3 (indirizzamento indiretto). 3 indica che l operando é il numero 3. 4

5 <programma> ::= <istruzione> {<istruzione>} <istruzione> ::= LOAD [ ]<operando> (<operando>) STORE <operando> (<operando>) ADD [ ]<operando> (<operando>) SUB [ ]<operando> (<operando>) MULT [ ]<operando> (<operando>) DIV [ ]<operando> (<operando>) READ <operando> (<operando>) WRITE [ ]<operando> (<operando>) JUMP <etichetta> JGTZ <etichetta> JZERO <etichetta> HALT <operando> ::= <intero> <etichetta> ::= <intero> 5

6 Le istruzioni di trasferimento (LOAD e STORE) trasferiscono il contenuto di un registro nell accumulatore, e viceversa. Le istruzioni aritmetiche (ADD, SUB, MULT, DIV) eseguono le operazioni tra il contenuto dell accumulatore e quello di un registro. Le istruzioni sono eseguite sequenzialmente tranne nei casi in cui si presenti una instruzione di controllo (HALT o salto). Le istruzioni di salto sono salti incondizionati (JUMP) o condizionati dal contenuto dell accumulatore (JGTZ, JZERO); l operando di una istruzione di salto é il numero d ordine dell istruzione alla quale si effettua il salto. 6

7 Le istruzioni di I/O (READ e WRITE) leggono un numero intero dal nastro di input e lo trasferiscono in un registro o scrivono il contenuto di un registro sul nastro di uscita, rispettivamente. Definizione formale di alcune istruzioni: indichiamo con R[i] il contenuto del registro i-esimo, con R[0] il contenuto dell accumulatore, con CI il contenuto del contatore delle istruzioni e con n un intero non negativo. LOAD n ADD(n) R[0] := n CI := CI + 1 R[0] := R[0] + R[R[n]] CI := CI + 1 JZEROn if R[0] = 0 then CI := n else CI := CI + 1

8 Che funzione é calcolata dal seguente programma? READ 1 READ 2 LOAD 1 STORE 3 5 LOAD 2 JZERO 14 LOAD 1 MULT 3 STORE 3 LOAD 2 SUB 1 STORE 2 JUMP 5 14 WRITE 3 HALT 7

9 Esercizio: definire il programma che calcola le funzioni somma di tre numeri, sottrazione cut-off, resto, fattoriale. Determinare (vedi paragrafo successivo) il costo di esecuzione dei programmi, con i due modelli di costo. 8

10 Modelli di costo per i programmi RAM: un metodo semplice Come si valuta il costo di esecuzione di un programma RAM? Nel modello a costi uniformi, ogni istruzione ha un costo unitario, quindi basta contare quante volte le istruzioni sono eseguite (in funzione dell input del programma). Nell esempio precedente, ci sono tre parti: lettura dell input e inizializzazione (costo 4) esecuzione del ciclo (costo 9y+2) terminazione (costo 2). In totale, il costo di computazione é 9y + 8 O(y). 9

11 Due ipotesi troppo generali nel modello a costi uniformi: 1. il costo di esecuzione é indipendente dalla lunghezza degli operandi; 2. l accesso a un registro ha costo unitario a prescindere dal numero di registri accessibili. Modelli di costo: un metodo piú raffinato Realisticamente, il costo di esecuzione delle istruzioni deve dipendere dalla lunghezza degli operandi. Se si opera su un intero n (contenuto in un registro), si paga un costo dell ordine di log n. Inoltre, il costo di accesso alla memoria deve dipendere dalla quantitá di memoria indirizzabile. Sia l(n) = if n = 0 then 1 else log 2 n + 1. Nel modello a costi logaritmici, elaborare un operando n ha costo l(n); accedere a un registro i ha costo l(i). 10

12 I costi delle istruzioni sono in tabella: LOAD op c(op) STORE op c (op) + l(r[0]) ADD op c(op) + l(r[0]) SUB op c(op) + l(r[0]) MULT op c(op) + l(r[0]) DIV op c(op) + l(r[0]) READ op c (op) + l(input) WRITE op c(op) JGTZ et l(r[0]) JZERO et l(r[0]) JUMP et 1 HALT 1 dove c(op) e c (op) dipendono dall operando op; infatti: 11

13 c( n) = l(n), c(i) = l(i) + l(r[i]), c((i)) = l(i) + l(r[i]) + l(r[r[i]]); c (i) = l(i), c ((i)) = l(i) + l(r[i]). Valutiamo il programma dell esempio (ultima colonna=numero di volte che l istruzione é eseguita): 12

14 READ 1 l(1) + l(x) O(log x) 1 READ 2 l(2) + l(y) O(log y) 1 LOAD 1 l(1) O(1) 1 STORE 3 l(3) + l(1) O(1) 1 5 LOAD 2 l(2) + l(y) O(log y) y + 1 JZERO 14 l(y) O(log y) y + 1 LOAD 1 l(1) + l(x) O(log x) y MULT 3 l(3) + l(x) + l(x y ) O(log x + y log x) y STORE 3 l(3) + l(x y ) O(y log x) y LOAD 2 l(2) + l(y) O(log y) y SUB 1 l(1) + l(y) O(log y) y STORE 2 l(2) + l(y) O(log y) y JUMP 5 1 O(1) y 14 WRITE 3 l(3) + l(x y ) O(y log x) 1 HALT 1 O(1) 1 In totale, O(y 2 log x) é il costo del programma. 13

15 Macchine a registri e Macchine di Turing Le macchine a registri possono calcolare funzioni numeriche? Definizione 1 Una funzione f : N n N é calcolabile con macchine a registri se esiste un programma P per RAM tale che, se f(x 1,..., x n ) = y allora il programma, inizializzato con x 1,..., x n sul nastro di input, termina con y sul nastro di output; se f(x 1,..., x n ) non é definita allora il prgramma non termina. Quali sono le funzioni calcolabili da una macchina a registri, e che rapporto c é con le funzioni calcolabili da una macchina di Turing?? 14

16 Teorema 2 Data un macchina di Turing M con nastro semiinfinito e con alfabeto di nastro Γ = {0, 1}, esiste una macchina a registri con programma P tale che se M realizza la transizione dalla configurazione iniziale q 0 x alla configurazione finale q F y e se la RAM é inizializzata con la stringa x nei registri 2,..., x +1, alla fine della computazione la RAM avrá nei registri 2,..., y +1 la stringa y. Se la macchina M opera in tempo T, allora la RAM opera in tempo O(T log T ) (nel modello a costi logaritmici). Quindi le RAM possono calcolare (via simulazione) tutte le funzioni calcolabili secondo Turing. 15

17 Teorema 3 Data una macchina a registri con programma P che calcola la funzione f, esiste una macchina di Turing M tale che se f(x 1,..., x n ) = y e sul nastro di input sono memorizzati in binario gli interi x 1,..., x n, la macchina M termina con la raappresentazione binaria di y sul nastro di output; se f(x 1,..., x n ) non é definita la macchina M non termina in una configurazione finale. Se la RAM ha costo T (nel modello a costi logaritmici), allora M opera in tempo O(T 2 ). Quindi le macchine di Turing possono simulare il comportamento delle RAM. 16

18 I due teoremi dimostrano che ogni funzioni calcolabile secondo Turing é anche calcolabile tramite macchine a registri, e viceversa (Church-Turing). Un problema é ritenuto trattabile se é risolubile in tempo polinomiale. Abbiamo visto che M DT e RAM a costi logaritmici si possono reciprocamente simulare con costi polinomiali. Allora i due modelli sono interscambiabili per determinare se un problema é trattabile. Cosa accade se usiamo RAM a costi uniformi? 17

19 Macchine a registri e linguaggi imperativi Il liguaggio delle macchine a registri é basato su istruzioni fondamentali in qualsiasi linguaggio imperativo. I risultati validi per le RAM si estendono a macchine astratte programmate con linguaggi piú complessi. Ad esempio, le istruzioni del linguaggio Assembler INTEL (con istruzioni a due indirizzi) sono del tipo: trasferimento tra registri e memoria o tra registri di interfaccia e memoria (MOV <locazione><registro>, IN <porta><registro>,...); aritmetiche (ADD <locazione><registro>, SUB <locazione><registro logiche (AND <locazione><registro>) o di rotazione (ADL <registro>); di controllo; 18

20 Possiamo definire le funzioni calcolabili con questo linguaggio, e sembra chiaro che esse sono tutte calcolabili con macchine a registri. Se consideriamo linguaggi ad alto livello (Pascal, Fortran,...) possiamo definire le funzioni da essi calcolabili; i compilatori garantiscono che possiamo tradurre un programma ad alto livello in assembler. Quindi tutte le funzioni calcolabili ad alto livello lo sono anche con le RAM (Church-Turing). 19

21 Macchina a registri elementare (M REL) La memoria di una MREL consiste in un numero finito di registri, ognuno dei quali contiene un intero grande a piacere, accessibili attraverso il loro numero d ordine. Il contatore delle istruzioni (CI) contiene il numero d ordine della prossima istruzione da eseguire. La macchina non prevede accumulatore e nastri di ingresso e uscita. 20

22 I valori degli argomenti della funzione da calcolare x 1,..., x n sono forniti nei registri R 1,..., R n. Il valore della funzione calcolato da programma f(x 1,..., x n ) é in R 1. Tutti gli altri registri contengono il valore 0 all inizio dell esecuzione del programma. Il programma per RAM consiste in un insieme di istruzioni, che agiscono su operandi contenuti nei registri; tre soli tipi: incremento, decremento, salto condizionato. 21

23 <programma> <istruzione> <etichetta> ::= <istruzione> {<istruzione>} ::= R<intero positivo>:= R <intero positivo>+1 ::= R<intero positivo>:= R <intero positivo> 1 ::= IF R<intero positivo>= 0 THEN GOTO <etiche ::=< intero> Esercizio: definire la MREL per il calcolo della somma di due interi. 22

24 Funzioni ricorsive Le macchine di Turing e le macchine a registri caratterizzano le funzioni calcolabili. Una caratterizzazione matematica delle stesse funzioni é rappresentata dalle funzioni ricorsive. Lambda-notation: permette di specificare l insieme delle variabili su cui la funzione é definita. Una funzione di n variabili x 1,..., x n, associata ad un espressione algebrica f(x 1,..., x n ) in forma chiusa, é descritta come λx 1 λx 2... λx n.f(x 1,..., x n ). Ad esempio, la corrispondenza che ad ogni coppia di valori associa la somma si indica con λx 1 λx 2.x 1 + x 2. 23

25 F = {f f : N n N, n 0} é l insieme di tutte le funzioni intere. f (n) indica che la funzione f ha n argomenti. n = 0 = f é una costante. In F individuiamo la classe di funzioni che corrispondono al concetto di calcolabile, nel modo seguente: definiamo funzioni di base ovviamente calcolabili e degli operatori (dei costrutti) con i quali definire nuove funzioni a partire da quelle giá disponibili. Definizione 4 Le funzioni base sono le seguenti: 1. 0 (n) = λx 1,... λx n.0, con n 0 (funzioni zero); 2. S = λx.x + 1 (funzione successore); 3. U (n) i = λx 1,... λx n.x i (funzioni selettrici o identitá). 24

26 Definizione 5 La classe delle funzioni ricorsive primitive P é la piú piccola classe che contiene le funzioni base e inoltre: 1. se le funzioni h (m), g (n) 1,..., g(n) m sono ricorsive primitive allora anche la funzione f (n) definita per composizione: f(x 1,..., x n ) = h(g 1 (x 1,..., x n ),..., g n (x 1,..., x n )) é ricorsiva primitiva; 2. se le funzioni h (n+2), g (n) sono ricorsive primitive allora anche la funzione f (n+1) definita per ricorsione primitiva: f(x 1,..., x n, 0) = g 1 (x 1,..., x n ), f(x 1,..., x n, y + 1) = h(x 1,..., x n, y, f(x 1,..., x n, y)) é ricorsiva primitiva. 25

27 Esempio 6 Le seguenti funzioni sono ricorsive primitive: incr2 = λxλy.x + 2. Tale funzione si esprime utilizzando le funzioni base e la composizione come incr2 = S(S(U 2 1 )). somma = λxλy.x + y. Tale funzione si esprime utilizzando la ricorsione primitiva come somma(x, 0) = x somma(x, y + 1) = somma(x, y) + 1. La funzione g coincide con la selettrice U1 1 ; la funzione h ha tre argomenti ed é λx 1 λx 2 λx 3.S(U3 3(x 1, x 2, x 3 )). 26

28 Esempio 7 Se p é ricorsiva primitiva con valori 0 e 1, e g e h sono ricorsive primitive, la funzione f(x) = é ricorsiva primitiva. se p(x) = 1 allora g(x) altrimenti h(x). λxλy.x y é ricorsiva primitiva. λx.x 1 é ricorsiva primitiva. λx.x! é ricorsiva primitiva. λx.2 x é ricorsiva primitiva. 27

29 La definizione di una funzione ricorsiva ha spesso una struttura piú semplice basata sul seguente schema: f(0) = c f(x + 1) = h(g(x), f(x)). dove le funzioni g e h sono ricorsive primitive, e c é una costante (questa asserzione é da dimostrare). Esistono funzioni definite ricorsivamente, ma che non rientrano nella classe P? Un esempio é la funzione di tre argomenti cosí definita: 28

30 f(x, y, 0) = x + y f(x, y, 1) = x y f(x, y, 0) = x y e, per n 2, f(x, y, n + 1) = 1 se y = 0, f(x, f(x,..., f(x, 0, n),..., n), n) altrimenti. }{{} oppure, in termini finiti: f(x, 0, 0) = x f(x, y + 1, 0) = f(x, y, 0) + 1 f(x, 0, 1) = 0 f(x, 0, n + 2) = 1 f(x, y + 1, n + 1) = f(x, f(x, y, n + 1), n). La funzione sopra definita (funzione di Ackermann), non é ricorsiva primitiva, pur essendo definita in termini ricorsivi. 29

31 Introduciamo un nuovo operatore per estendere la classe delle funzioni ricorsive primitive (e il concetto di calcolabilitá). Definizione 8 Data una funzione g (n+1), la funzione f (n) si dice definita mediante l operatore di minimalizzazione µ se f(x 1,..., x n ) assume come valore il minimo t tale che g(x 1,..., x n, t) = 0; se g(x 1,..., x n, t) 0 per tutti i valori di t, allora la funzione f(x 1,..., x n ) é indefinita. Indichiamo f con la notazione f = λx 1,..., λx n.µt(g(x 1,..., x n, t) = 0). 30

32 Definizione 9 La classe delle funzioni ricorsive (dette anche ricorsive generali o ricorsive parziali) R é la piú piccola classe che contiene le funzioni base, ed é chiusa rispetto a composizione, ricorsione primitiva e minimalizzazione. Esempio 10 La funzione λn. n é ricorsiva in quanto definibile come n = µt((n + 1) (t + 1) (t + 1) = 0) 31

33 Funzioni ricorsive e linguaggi imperativi Le funzioni ricorsive sono calcolabili con i modelli di calcolo giá visti. Ad esempio, appare banale dimostrare che il linguaggio C calcola le funzioni ricorsive e, quindi, le RAM calcolano le funzioni ricorsive. Viceversa, ogni funzione calcolata da una RAM é ricorsiva? Se questo é vero, le funzioni calcolabili con macchine a registri e i linguaggi di programmazione imperativi coincidono con le funzioni ricorsive. 32

34 P n = λx 1,..., λx n [2 x 1... p x n n ], dove p n é l n-esimo numero primo (p 1 = 2). K i = λz[ esponenente di p i in z]. M(t) = if t = 0 then 0 else max{n p n divide t}. Notazione: P n (x 1,..., x n ) x 1,..., x n ); K i (z) (z) i. 33

35 Teorema 11 Uno stato di una macchina a registri elementare con programma π, che utilizza m registri ed é costituito da l istruzioni, é rappresentato da un intero: s = i, r 1,..., r m dove i (0 i l) é il numro d ordine dell istruzione da eseguire, e r 1,..., r m sno gli interi contenuti nei registri. Teorema 12 Sia s 1,..., s t una computazione finita eseguita da una macchina a registri elementare con programma π. Tale computazione puó essere codificata tramite un intero c = 2 s 1 3 s 2... p s t t. Teorema 13 Data una macchina a registri elementare con programma π, la funzione λx 1,... λx n.f(x 1,... x n ) calcolata da π é una funzione ricorsiva parziale. 34

36 Funzioni ricorsive e linguaggi funzionali La teoria delle funzioni ricorsive ha avuto un impatto notevole sulla definizione e lo sviluppo del paradigma di programmazione funzionale. I linguaggi funzionali permettono di definire funzioni senza far riferimento al modello di macchina che le calcola (come per le funzioni ricorsive). valutazione di una espressione, invece che esecuzione di una computazione. 35

37 Un semplice linguaggio funzionale (formalismo di McCarthy) X = {x 1, x 2,...} insieme di simboli di variabile; B = {b 1, b 2,...} insieme di simboli di funzione base; F = {F 1, F 2,...} insieme di simboli di variabile funzione; a : N + N aritá delle funzioni in B; A : N + N + aritá delle funzioni in F. 36

38 Definizione 14 Un termine su < X, B, F > é definito induttivamente come segue: 1. se x X allora x é un termine; 2. se b j B, con aritá a(j) = n 0, e t 1,..., t n sono termini, allora b(t 1,..., t n ) é un termine; 3. se F i F, con aritá A(i) = m > 0, e t 1,..., t n sono termini, allora F i (t 1,..., t n ) é un termine. 4. se la aritá di una funzione base b k () é 0, allora la funzione é detta costante, e viene rappresentata come b k. 37

39 Definizione 15 Dati tre insiemi X, B, F, uno schema di programma sulla terna < X, B, F > é costituito da una sequenza finita di coppie di termini del tipo F i (x 1,..., x n ) = t j dove F i F e t j é un generico termine su < X, B, F >, seguita da un temine del tipo F h (b 1,..., b m ), dove F h F e A(h) = m e b 1,..., b m sono costanti. sono termini, allora F i (t 1,..., t n ) é un termine. L interpretazione di uno schema di programma vede la sequenza di coppie come una sequenza di dichiarazioni di funzioni, e il termine contenente la costante b é la richiesta di determinare il valore di F h sugli argomenti b 1,..., b m. 38

40 Se un insieme di funzioni base é messo in corrispondenza con i simboli di B, allora otteniamo il linguaggio SLF, per la definizione di funzioni intere. B = N {S, P, if then else}. Teorema 16 Il linguaggio SLF consente la definizione di tutte le funzioni ricorsive. 39