Ma il programma in Fig. 8.2 del libro? Stampa hello, world, dato un input n se e solo se l equazione

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1 Problemi che i calcolatori non possono risolvere E importante sapere se un programma e corretto, cioe fa uello che ci aspettiamo. E facile vedere che il programma Ma il programma in Fig. 8.2 del libro? Stampa hello, world, dato un input n se e solo se l euazione x n + y n = z n ha una soluzione dove x, y e z sono interi. main() { } printf( hello, world\n ); Sappiamo ora che stampa hello, world con l input n = 2, e cicla per sempre su input n > 2. Ci sono voluti 3 anni per provarlo. stampa hello, world. Possiamo sperare di avere un programma che prova la correttezza di programmi? 1 2 Modifichiamo H 1 in modo che prenda P and I come un singolo input. Questo significa che P prende se stesso come input. L ipotetico programma H che testa hello, world Otteniamo il programma H 2 : Supponiamo che H esista. P H 2 yes hello, world I Hello-world tester yes P H no Diamo H 2 come input ad H 2. Modifichiamo il comando di stampa di no di H in hello, world. Otteniamo il programma H 1 H 2 H 2 yes hello, world I P H 1 yes hello, world Se H 2 stampa yes, avrebbe dovuto stampare hello, world. Se H 2 stampa hello, world, avrebbe dovuto stampare yes. 3 4

2 Problemi indecidibili Problemi per cui non c e nessun programma che li possa risolvere. Problema: appartenenza di una stringa ad un linguaggio. Quindi H 2 non puo esistere. Quindi neanche H puo esistere. Quindi il problema affrontato e indecidibile. Il numero di linguaggi diversi su un alfabeto non e numerabile. I programmi (stringhe finite su un alfabeto) sono numerabili: li ordino per lunghezza, e poi lessicograficamente primo programma, secondo programma, ecc. Quindi esistono infinitamente piu linguaggi che programmi. Quindi devono esistere problemi indecidibili (Godel 1931). 5 Riduzioni Dato un problema P 1 indecidibile, dobbiamo scoprire se P 2 e decidibile o no. Supponiamo lo sia. Allora esiste un algoritmo che risponde si se la stringa in input appartiene a P 2, altrimenti risponde no. Supponiamo allora di sapere costruire una stringa di P2 da una stringa di P 1, e una stringa non in P 2 da una stringa non in P 1. Allora abbiamo costruito un algoritmo che decide se una stringa e in P 1 o no, il che e impossibile perche P 1 e indecidibile. Quindi P 2 e indecidibile. 6 La macchina di Turing (Turing, 1936)... Finite control X 2 X i X n X 1 Una TM fa una mossa in funzione del suo stato, e del simbolo sotto la testina di lettura del nastro. In una mossa, una TM 1. cambia stato 2. scrive un simbolo del nastro nella cella sotto la testina 3. muove la testina di una cella verso destra o verso sinistra... 7

3 Una macchina di Turing deterministica e una 7-tupla dove M = (Q,Σ,Γ, δ,,, F), Q e un insieme finito di stati, Σ e un insieme finito di simboli di input, Descrizioni istantanee Una T M cambia configurazione dopo ogni mossa. Usiamo le descrizioni istantanee (ID) per descrivere le configurazioni. Una ID e una stringa della forma Γ e un insieme finito di simboli di nastro, dove X 1 X 2 X i 1 X i X i+1 X n δ e una funzione di transizione da Q Γ a Q Γ {L, R}, 1. e lo stato della TM e lo stato iniziale, Γ e il simbolo blank, e F Q e l isieme di stati finali. 2. X 1 X 2 X n e la porzione non-blank del nastro 3. La testina e sopra il simbolo i-esimo 8 9 Le mosse e il linguaggio di una TM Useremo M per indicare una mossa di M da una configurazione ad un altra. Supponiamo δ(, X i ) = (p, Y, L). Allora X 1 X 2 X i 1 X i X i+1 X n M X 1 X 2 px i 1 Y X i+1 X n Se δ(, X i ) = (p, Y, R), abbiamo Una TM per { n 1 n : n 1} M = ({, 1, 2, 3, 4 }, {,1}, {,1, X, Y, }, δ,,, { 4 }) dove δ e data dalla tabella seguente 1 X Y ( 1, X, R) ( 3, Y, R) 1 ( 1,, R) ( 2, Y, L) ( 1, Y, R) 2 ( 2,, L) (, X, R) ( 2, Y, L) 3 ( 3, Y, R) ( 4,, R) 4 Possiamo rappresentare M con il seguente diagramma di transizione X 1 X 2 X i 1 X i X i+1 X n M X 1 X 2 X i 1 Y px i+1 X n Indichiamo la chiusura riflessiva e transitiva di M con M. Una TM M = (Q,Σ,Γ, δ,,, F) accetta il linguaggio L(M) = {w Σ : w M αpβ, p F, α, β Γ } Start Y / Y / Y Y Y / / / X 1 / Y 1 2 X / / 3 4 Y X Y / / Y 1 11

4 Una TM con output Accettazione per arresto La seguente TM calcola m n = max(m n,) 1 ( 1,, R) ( 5,, R) 1 ( 1,, R) ( 2,1, R) 2 ( 1,1, L) ( 2,1, R) ( 4,, L) 3 ( 3,, L) ( 3,1, L) (,, R) 4 ( 4,, L) ( 4,, L) ( 6,, R) 5 ( 5,, R) ( 5,, R) ( 6,, R) 6 Il diagramma di transizione e Una TM si arresta se entra in uno stato guardando un simbolo di nastro X e non ci sono mosse possibili, cioe δ(, X) non e definita. Se una TM accetta una stringa, possiamo assumere che si arresti (basta rendere indefinito δ(, X) per ogni accettante). Se non accetta, non possiamo fare in modo che si arresti. Start / / 1 / 1 / 1 / / 1 3 / 1 / 1 Linguaggi ricorsivi: esiste una TM che si arresta su ogni stringa (sia accettata che no). 1 / / 5 6 / 4 / Linguaggi ricorsivamente enumerabili: esiste una TM che si arresta se la stringa e accettata. / 1 / / 1 / Problema decidibile: esiste una TM che si arresta sempre Altri modelli di TM Estensioni: piu nastri, non-determinismo. Restrizioni: nastro illimitato solo a destra, diviet di sostituire un simbolo del nastro con, nastro come stack. Tutti i modelli sono euivalenti: accettano i linguaggi ricorsivamente enumerabili (tesi di Church, 1936). TM multinastro Tante testine uanti sono i nastri. All inizio, stato iniziale e input sul primo nastro, con testina all estrema sinistra dell input. Tutti gli altri nastri con celle vuote (), e testine in posizioni ualsiasi. In una mossa: nuovo stato, scrittura su ogni nastro (sotto la testina), mossa a destra o a sinistra per ogni testina (indipendenti)

5 Da TM multinastro a TM mononastro TM M1 con k nastri TM M2 con un nastro con 2k tracce. Ogni cella del nastro di M2 contiene un elemento fatto da 2k elementi dell alfabeto di nastro di M1. k tracce replicano i k nastri di M1, le altre k tracce contengono marcatori che indicano le posizioni delle k testine di M1. In una mossa, M2 simula una mossa di M1: scorre il nastro guardando dove sono i marcatori e legge i simboli corrispondenti nel nastro, poi scrive sopra i marcatori e i simboli e sposta i mascatori a destra o a sinistra. Quindi, le TM multinastro, come uelle mononastro, accettano tutti e soli i linguaggi ricorsivamente enumerabili. 16 Tempo di esecuzione Tempo di esecuzione di TM M su input w: numero di passi che M compie prima di fermarsi. Se non si ferma tempo infinito. Complessita in tempo di M: funzione T(n) che da il massimo tempo su tutti gli input di lunghezza n. Esempi: lineare, polinomiale, esponenziale,... Per simulare n mosse di M1, M2 ha complessita O(n 2 ). 17 TM non deterministiche Dati uno stato e un simbolo di nastro, la funzione di transizione da un insieme di triple: (nuovo stato, simbolo da scrivere, direzione dello spostamento). La TM ne sceglie una. Linguaggio accettato: insieme di stringhe per cui c e una seuenza di mosse che porta ad uno stato finale. TM non deterministiche e TM deterministiche accettano gli stessi linguaggi. TM e computer Da TM a computer: basta avere sempre memoria da aggiungere, per simulare il nastro infinito. Da computer a TM: vari nastri (memoria, contatore istruzione, indirizzo di memoria, file di input, nastro ausiliario), controllo finito per eseguire una istruzione dopo l altra leggendo e scrivendo i nastri. Differenza di tempo tra computer e TM: polinomiale. La TM puo simulare n passi di un computer in O(n 3 ) passi

6 Linguaggi ricorsivamente enumerabili D ora in poi: calcolatore = macchina di Turing L e ricorsivamente enumerabile se L = L(M) per una TM M. M si ferma se accetta una stringa, ma potrebbe non fermarsi se non la accetta. Consideriamo il linguaggio formato dalle coppie (M, w) tali che: M e una TM (cofidicata in binario) con alfabeto {,1} Se uesto problema e indecidibile, allora lo e anche il problema in cui una TM puo avere ualunue alfabeto. Primo passo: codificare una TM come una stringa di e 1. w e una stringa di e 1 M accetta w 2 Codice per una TM Possiamo associare ad ogni stringa binaria w il numero intero 1w, cosi enumeriamo le stringhe: ǫ e la prima stringa, la seconda, 1 la terza, la uarta, 1, la uinta,... Codice per una TM Per rappresentare M = (Q, {,1},Γ, δ, 1,, F } come una stringa binaria, dobbiamo assegnare interi agli stati, simboli di nastro, e direzioni L e R: Ordinamento per lunghezza, con stringhe lunghe uguali ordinate lessicograficamente. Supponiamo che gli stati siano 1, 2,..., r. Stato iniziale 1, stato finale 2. Simbolo w i per la stringa i-esima Vogliamo fare la stessa cosa anche per le TM: vogliamo rappresentare ogni TM come una stringa binaria. Cosi possiamo parlare della i-esima TM M i. Supponiamo che i simboli di nastro siano X 1, X 2,..., X s. Inoltre: = X 1, 1 = X 2, = X 3. L = D 1 e R = D

7 Codice per una TM Per la funzione di transizione: se δ( i, X j ) = ( k, X l, D m ), la codifica e i 1 j 1 k 1 l 1 m (mai due 1 consecutivi). Per un intera TM: codici per tutte le transizioni, separati da 11: C 1 11C C n 1 11C n Esempio: M = ({ 1, 2, 3 }, {,1}, {,1, }, δ, 1,, { 2 }) δ e definita da: δ( 1,1) = ( 3,, R), δ( 3,) = ( 1,1, R), δ( 3,1) = ( 2,, R), δ( 3, ) = ( 3,1, L). Codici per le regole di transizione: Codice per M: Anche altri codici, elencando le transizioni in ordine diverso. 23 Codici e TM Data una TM M, abbiamo associato un intero i: M e la i-esima TM, scritta M i. Molti interi non corrispondono a nessuna TM. Esempio: 111 o 111. Se w i non e un codice valido, allora diciamo che M i e la TM che si arresta subito per ualunue input (un solo stato e nessuna transizione). Quindi L(M i ) =. 24 Il linguaggio di diagonalizzazione Il linguaggio di diagonalizzazione L d e l insieme delle stringhe w i tali che w i L(M i ). Tutte le stringhe w tali che M con codice w non accetta w. Matrice con TM sulle righe e stringhe sulle colonne la diagonale corrisponde a stringhe w i e TM M i. Le stringhe di L d corrispondono agli della diagonale. E possibile che la diagonale complementata sia una riga? No, perche la diagonale complementata e in disaccordo con ogni riga in almeno una posizione. Linguaggi ricorsivi L e ricorsivo se L = L(M) per una TM M tale che: se w L, allora M la accetta (e si arresta) se w L, allora M non la accetta ma si arresta. Problema (dell accettazione di L): decidibile se L e ricorsivo, altrimenti indecidibile. L d non puo essere accettato da nessuna TM

8 Classi di linguaggi ricorsivi = decidibili = M si arresta sempre Proprieta dei linguaggi ricorsivi Teorema 9.3: Se L e ricorsivo, anche L e ricorsivo. ricorsivamente enumerabili = M si arresta se accetta non ricorsivamente enumerabili. Esempio: L d. Prova: Se L e ricorsivo, esiste M che si arresta sempre. Modifichiamo M in M in modo che M accetti uando M non accetta, e viceversa. Anche M si arresta sempre e accetta L. Allora L e ricorsivo. Conseguenza: se L e RE, ma L non e RE, allora L non puo essere ricorsivo L e L Dove possono stare L e L? Proprieta dei linguaggi RE Teorema 9.4: Se L e L sono RE, allora L e ricorsivo. Prova: Sia L = L(M 1 ) e L = L(M 2 ). Costruiamo M che esegue in parallelo (due nastri, due testine) M 1 e M 2. Se l input e in L, M 1 lo accetta e si ferma, uindi anche M accetta e si ferma. Se l input non e in L, allora M 2 lo accetta e si ferma, uindi M lo rifiuta ma si ferma. Quindi M si ferma in ogni caso. sia L che L ricorsivi ne L ne L sono RE L e RE ma non ricorsivo, e L non e RE L e RE ma non ricorsivo, e L non e RE Non e possibile che un linguaggio sia ricorsivo e l altro sia RE o neanche RE (teorema 9.3). Non e possibile che siano entrambi RE ma non ricorsivi (teorema 9.4). 29 3