Automi a pila. Automi a pila

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2 utomi a pila Un automa a pila (PDA) e in pratica un ǫ-nfa con una pila. In una transizione un PDA: 1 Consuma un simbolo di input. 2 Va in un nuovo stato (o rimane dove e ). 3 Rimpiazza il top della pila con una stringa (non fa niente, o elimina il top della pila, o mette una stringa in cima alla pila) Input Finite state control Accept/reject Stack

3 sempio Consideriamo L wwr = {ww R : w {0,1} }, con grammatica P 0P0, P 1P1, P ǫ. Un PDA per L wwr ha tre stati, e funziona come segue: 1 Scommette che sta leggendo w. Rimane nello stato 0, e mette il simbolo di input sulla pila. 2 Scommette che sta nel mezzo di ww R. Va spontaneamente nello stato 1. 3 Sta leggendo la testa di w R. La paragona al top della pila. Se sono uguali, fa un pop della pila, e rimane nello stato 1. Se non sono uguali, si ferma. 4 Se la pila e vuota, va nello stato 2 e accetta la stringa.

4 Il PDA per L wwr come diagramma di transizione: 0, Z 0 / 0 Z 0 1, Z 0 / 1 Z 0 0, 0 / 0 0 0, 1 / 0 1 1, 0 / 1 0 1, 1 / 1 1 0, 0 / ε 1, 1 / ε Start q 0 q q 1 2 ε, Z 0 / Z 0 ε, Z 0 / Z 0 ε, 0 / 0 ε, 1 / 1

5 efinizione formale di PDA Un PDA e una tupla di 7 elementi: P = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F), dove Q e un insieme finito di stati, Σ e un alfabeto finito di input, Γ e un alfabeto finito di pila, δ : Q Σ {ǫ} Γ 2 Q Γ e la funzione di transizione, q 0 e lo stato iniziale, Z 0 Γ e il simbolo iniziale per la pila, e F Q e l insieme di stati di accettazione.

6 sempio Il PDA 0, Z 0 / 0 Z 0 1, Z 0 / 1 Z 0 0, 0 / 0 0 0, 1 / 0 1 1, 0 / 1 0 1, 1 / 1 1 0, 0 / ε 1, 1 / ε Start q 0 q q 1 2 ε, Z 0 / Z 0 ε, Z 0 / Z 0 ε, 0 / 0 ε, 1 / 1 e la 7-tupla P = ({q 0,q 1,q 2 }, {0,1}, {0,1,Z 0 },δ,q 0,Z 0, {q 2 }), dove δ e data dalla tavola seguente:

7 sempio - funzione di transizione 0, Z 0 1, Z 0 0,0 0,1 1,0 1,1 ǫ, Z 0 ǫ, 0 ǫ, 1 q 0 q 0, 0Z 0 q 0, 1Z 0 q 0, 00 q 0, 01 q 0, 10 q 0, 11 q 1, Z 0 q 1, 0 q 1, 1 q 1 q 1, ǫ q 1, ǫ q 2, Z 0 q 2

8 escrizioni istantanee Un PDA passa da una configurazione ad un altra configurazione consumando un simbolo di input. Per ragionare sulle computazioni dei PDA, usiamo delle descrizioni istantanee (ID) del PDA. Una ID e una tripla (q,w,γ) dove q e lo stato, w l input rimanente, e γ il contenuto della pila. Sia P = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) un PDA. Allora w Σ,β Γ : (p,α) δ(q,a,x) (q,aw,xβ) (p,w,αβ). Definiamo la chiusura riflessiva e transitiva di.

9 sempio Su input 1111 il PDA 0, Z 0 / 0 Z 0 1, Z 0 / 1 Z 0 0, 0 / 0 0 0, 1 / 0 1 1, 0 / 1 0 1, 1 / 1 1 0, 0 / ε 1, 1 / ε Start q 0 q q 1 2 ε, Z 0 / Z 0 ε, Z 0 / Z 0 ε, 0 / 0 ε, 1 / 1 ha le seguenti sequenze di computazioni:

10 ( q 0, 1111, Z 0 ) ( q 0, 111, 1Z ) 0 ( q, , Z 0 ) ( q 2, 1111, Z 0 ) ( q 0, 11, 11Z 0 ) ( q, 1 111, 1Z 0 ) ( q, 11, 1 Z 0 ) ( q 0, 1, 111Z 0 ) ( q, 1 11, 11Z 0 ) ( q 2, 11, Z 0 ) ( q 0, ε, 1111Z 0 ) ( q, 1 1, 111Z 0 ) ( q, 1 1, 1 Z 0 ) ( q, 1 ε, 1111Z 0 ) ( q, 1 ε, 11 Z 0 ) ( q, ε, 1 Z 0 )

11 Valgono le seguenti proprieta : 1 Se una sequenza di ID e una computazione legale per un PDA, allora lo e anche la sequenza ottenuta aggiungendo una stringa alla fine della seconda componente (input). 2 Se una sequenza di ID e una computazione legale per un PDA, allora lo e anche la sequenza ottenuta aggiungendo una stringa alla fine della terza componente. 3 Se una sequenza di ID e una computazione legale per un PDA, e la coda di un input non e consumata, allora rimuovendola da tutte le ID si ottiene una computazione lecita.

12 Teorema 6.5: w Σ,β Γ : (q,x,α) (p,y,β) (q,xw,αγ) (p,yw,βγ). Prova: Induzione sulla lunghezza della sequenza sulla destra. Nota: Se γ = ǫ abbiamo la proprieta 1, e se w = ǫ abbiamo la proprieta 2. Nota: L inverso del teorema e falso. Dalla proprieta 3 abbiamo Teorema 6.6: (q,xw,α) (p,yw,β) (q,x,α) (p,y,β).

13 ccettazione per stato finale Sia P = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) un PDA. Il linguaggio accettato da P per stato finale e L(P) = {w : (q 0,w,Z 0 ) (q,ǫ,α), q F }.

14 sempio Il PDA di prima accetta esattamente L wwr. Sia P l automa visto. Proviamo che L(P) = L wwr. (direzione.) Sia x L wwr. Allora x = ww R, e la seguente e una sequenza di computazione legale (q 0,ww R,Z 0 ) (q 0,w R,w R Z 0 ) (q 1,w R,w R Z 0 ) (q 1,ǫ,Z 0 ) (q 2,ǫ,Z 0 ).

15 (direzione ) Osserviamo che l unico modo in cui il PDA puo andare in q 2 e se e nello stato q 1 con la pila vuota. Quindi e sufficiente mostrare che se (q 0,x,Z 0 ) (q 1,ǫ,Z 0 ) allora x = ww R, per una qualche stringa w. Mostreremo per induzione su x che (q 0,x,α) (q 1,ǫ,α) x = ww R. Base: Se x = ǫ allora x e una palindrome. Induzione: Supponiamo che x = a 1 a 2 a n, dove n > 0, e che l ipotesi induttiva valga per stringhe piu corte. Ci sono due mosse per il PDA da ID (q 0,x,α):

16 Mossa 1: La mossa spontanea (q 0,x,α) (q 1,x,α). Allora (q 1,x,α) (q 1,ǫ,β) implica che β < α, che implica β α. Mossa 2: (q 0,a 1 a 2 a n,α) (q 0,a 2 a n,a 1 α). In questo caso c e una sequenza (q 0,a 1 a 2 a n,α) (q 0,a 2 a n,a 1 α) (q 1,a n,a 1 α) (q 1,ǫ,α). Quindi a 1 = a n e (q 0,a 2 a n,a 1 α) (q 1,a n,a 1 α). Per il teorema 6.6 possiamo rimuovere a n. Quindi (q 0,a 2 a n 1,a 1 α (q 1,ǫ,a 1 α). Allora, per ipotesi induttiva a 2 a n 1 = yy R. Allora x = a 1 yy R a n e una palindrome.

17 ccettazione per pila vuota Sia P = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) un PDA. Il linguaggio accettato da P per pila vuota e N(P) = {w : (q 0,w,Z 0 ) (q,ǫ,ǫ)}. Nota: q puo essere uno stato qualunque. Domanda: come modificare il PDA per le palindromi per accettare lo stesso linguaggio per pila vuota?

18 a pila vuota a stato finale Teorema 6.9: Se L = N(P N ) per un PDA P N = (Q,Σ,Γ,δ N,q 0,Z 0 ), allora PDA P F, tale che L = L(P F ). Prova: Sia P F = (Q {p 0,p f },Σ,Γ {X 0 },δ F,p 0,X 0, {p f }) dove δ F (p 0,ǫ,X 0 ) = {(q 0,Z 0 X 0 )}, e per ogni q Q,a Σ {ǫ},y Γ : δ F (q,a,y ) = δ N (q,a,y ), e inoltre (p f,ǫ) δ F (q,ǫ,x 0 ). ε, X 0 / ε ε, X 0 / ε Start ε, X 0 / Z 0 X p 0 0 q 0 P N p f ε, X 0 / ε ε, X 0 / ε

19 Dobbiamo mostrare che L(P F ) = N(P N ). (direzione ) Sia w N(P N ). Allora (q 0,w,Z 0 ) N (q,ǫ,ǫ), per un qualche q. Dal teorema 6.5 abbiamo Dato che δ N δ F, abbiamo Concludiamo che (q 0,w,Z 0 X 0 ) N (q,ǫ,x 0 ). (q 0,w,Z 0 X 0 ) (q,ǫ,x 0 ). F (p 0,w,X 0 ) (q 0,w,Z 0 X 0 ) (q,ǫ,x 0 ) (p f,ǫ,ǫ). F F F (direzione ) Basta esaminare il diagramma.

20 a stato finale a pila vuota Teorema 6.11: Sia L = L(P F ), per un PDA P F = (Q,Σ,Γ,δ F,q 0,Z 0,F). Allora PDA P n, tale che L = N(P N ). Prova: Sia P N = (Q {p 0,p},Σ,Γ {X 0 },δ N,p 0,X 0 ) dove δ N (p 0,ǫ,X 0 ) = {(q 0,Z 0 X 0 )}, δ N (p,ǫ,y) = {(p,ǫ)}, per Y Γ {X 0 }, e per tutti i q Q, a Σ {ǫ},y Γ : δ N (q,a,y ) = δ F (q,a,y ), e inoltre q F, and Y Γ {X 0 } : (p,ǫ) δ N (q,ǫ,y ). Start ε, any/ ε ε, X 0 / Z 0 X p 0 P 0 q 0 F p ε, any/ ε ε, any/ ε

21 Dobbiamo mostrare che N(P N ) = L(P F ). (direzione ) Basta esaminare il diagramma. (direazione ) Sia w L(P F ). Allora (q 0,w,Z 0 ) (q,ǫ,α), F per un q F,α Γ. Dato che δ F δ N, e teorema 6.5 dice che X 0 puo essere infilato sotto la pila, otteniamo Il P N puo calcolare: (q 0,w,Z 0 X 0 ) N (q,ǫ,αx 0 ). (p 0,w,X 0 ) N (q 0,w,Z 0 X 0 ) N (q,ǫ,αx 0 ) N (p,ǫ,ǫ).

22 quivalenza di PDA e CFG Un linguaggio e generato da una CFG se e solo se e accettato da un PDA per pila vuota se e solo se e accettato da un PDA per stato finale Grammar PDA by empty stack PDA by final state Faremo vedere solo come passare da una grammatica ad un automa a pila (sappiamo gia andare da pila vuota a stato finale e viceversa). Ometteremo la costruzione di una grammatica da un automa a pila.

23 a CFG a PDA Data G, costruiamo un PDA che simula lm. Scriviamo le forme sentenziali sinistre come xaα dove A e la variabile piu a sinistra. Ad esempio, (a+ }{{}}{{} E x A ) }{{} α }{{} tail Sia xaα lm xβα. Questo corrisponde al PDA che ha prima consumato x e ha Aα sulla pila, e poi, leggendo ǫ, elimina A e mette β sulla pila. Piu formalmente, sia y tale che w = xy. Allora il PDA va non deterministicamente dalla configurazione (q,y,aα) alla configurazione (q, y, βα).

24 Alla configurazione (q,y,βα) il PDA si comporta come prima, a meno che ci sono terminali nel prefisso di β. In questo caso, il PDA li elimina, se li legge nell input. Se tutte le scommesse sono giuste, il PDA finisce l input con la pila vuota. Formalmente, sia G = (V,T,Q,S) una CFG. Definiamo P G come ({q},t,v T,δ,q,S), dove per A V, e per a T. δ(q,ǫ,a) = {(q,β) : A β Q}, δ(q,a,a) = {(q,ǫ)},

25 DA deterministici Un PDA P = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) e deterministico se e solo se 1 δ(q,a,x) e sempre o vuoto o con un solo elemento. 2 Se δ(q,a,x) non e vuoto, allora δ(q,ǫ,x) deve essere vuoto. Esempio: Definiamo L wcwr = {wcw R : w {0,1} } Allora L wcwr e riconosciuto dal seguente DPDA 0, Z 0 / 0 Z 0 1, Z 0 / 1 Z 0 0, 0 / 0 0 0, 1 / 0 1 1, 0 / 1 0 1, 1 / 1 1 0, 0 / ε 1, 1 / ε Start q 0 q q 1 2 c, Z 0 / Z 0 ε, Z 0 / Z 0 c, 0 / 0 c, 1 / 1

26 Mostreremo che Regolari L(DPDA) CFL Teorema 6.17: Se L e regolare, allora L = L(P) per qualche DPDA P. Prova: Dato che L e regolare, esiste un DFA A tale che L = L(A). Sia A = (Q,Σ,δ A,q 0,F) definiamo il DPDA dove per tutti i p,q Q e a Σ. Un induzione su w ci da P = (Q,Σ, {Z 0 },δ P,q 0,Z 0,F), δ P (q,a,z 0 ) = {(δ A (q,a),z 0 )}, (q 0,w,Z 0 ) (p,ǫ,z 0 ) ˆ δ A (q 0,w) = p

27 i DPDA che accettano per pila vuota? Possono riconoscere solo CFL con la proprieta del prefisso. Un linguaggio L ha la proprieta del prefisso se non esistono due stringhe distinte in L, tali che una e un prefisso dell altra. Esempio: L wcwr ha la proprieta del prefisso. Esempio: {0} non ha la proprieta del prefisso. Teorema 6.19: L e N(P) per qualche DPDA P se e solo se L ha la proprieta del prefisso e L e L(P ) per qualche DPDA P.

28 Abbiamo visto che Regolari L(DPDA). L wcwr L(DPDA)\ Regolari Ci sono linguaggi in CFL\L(DPDA). Si, per esempio L wwr. Cosa possiamo dire su DPDA e grammatiche ambigue? L wwr ha una grammatica non ambigua S 0S0 1S1 ǫ ma non e L(DPDA). Per l inverso abbiamo Teorema 6.20: Se L = N(P) per qualche DPDA P, allora L ha una CFG non ambigua. Prova: Guardando la prova del teorema 6.14 vediamo che se la costruziuone e applicata ad un DPDA, il risultato e un CFG con derivazioni a sinistra uniche per ogni stringa.

29 Il teorema 6.20 puo essere rafforzato: Teorema 6.21: Se L = L(P) per qualche DPDA P, allora L ha una CFG non ambigua. Prova: Sia $ un simbolo fuori dell alfabeto di L, e sia L = L$. E facile vedere che L ha la proprieta del prefisso. Per il teorema 6.20 abbiamo che L = N(P ) per qualche DPDA P. Per il teorema 6.20 N(P ) puo essere generato da una CFG G non ambigua Modifichiamo G in G, tale che L(G) = L, aggiungendo la produzione $ ǫ Dato che G ha derivazioni a sinistra uniche, anche G le ha, dato che l unica cosa nuova e l aggiunta di derivazioni alla fine. w$ lm w