Principio di composizione delle MT

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1 Principio di composizione delle MT La definizioni date fanno riferimento a situazioni in cui la macchina sia capace di risolvere problemi singoli. E possibile far sì che macchine progettate per problemi elementari possano essere combinate in modo da svolgere compiti più complessi. Intuitivamente, è possibile far subentrare ad una macchina A che si arresta un altra macchina B a seconda del simbolo osservato nello stato finale della macchina A. Ogni macchina può essere vista come un dispositivo capace di risolvere un problema dato avendo al suo interno il programma di macchina cablato. Volendo fare il parallelo con i moderni calcolatori è come se il programma fosse memorizzato in una memoria ROM.

2 Esempio di composizione Vengono messe assieme le macchine relative all esempio 2 e all esempio 3. Esempio2! q 0 q 1 q q D q # 1 q 0 1 D q # 2 q 0 2 D q ## 3 q 0 3 D q ## 4 q 0 4 D q # 5 q 0 5 D qqq q # 6 q 0 6 D qq # 7 q 0 7 D q q # 8 q 0 8 D qq q q # # 9q 0 9 D q # 0 S " S q 1 q # 1 q 0 a D "Sq 2 S Esempio3! q 0 q 1 q 2 " D Dq 0 q 1 "Dq 2 S D * " q # S D Contatore di una sequenza di caratteri Lo stato di stop della prima macchina viene convertito nello stato iniziale della seconda. Eventualmente si procede ad una ridenominazione degli stati. Somma di due numeri, separati dal carattere *, dati come sequenza di caratteri

3 Esempio di composizione! q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 Macchina che accetta due serie di sbarre separate da un carattere *, ne calcola la somma e trasforma la somma come numero decimale. 0 D q # 1 q 3 1 D q # 2 q 3 2 D q # 3 q 3 3 D q # 4 q 3 La macchina inizia la sua computazione sommando sequenze di caratteri separati dal carattere *. Lo stato di stop, individuato dalla coppia con (q 0, *) attiva la scansione della stringa di caratteri per poterli contare 4 D q # 5 q 3 5 D q # 6 q 3 6 D q # 7 q 3 7 D q # 8 q 3 8 D q # 9 q 3 9 D q # 0 S " D Dq 0 q 1 S q 4 q # 1 q 3 "Dq 2 S D D "Sq 5 S * " q 3 S D

4 Tesi di Church-Turing Il principio di Composizione rende possibile la costruzione di macchine che risolvono problemi di notevole complessità. Ipotesi fondamentale della Teoria degli Algoritmi. Tutti gli algoritmi possono essere formulati sotto forma di matrici funzionali e quindi eseguiti dalla corrispondente macchina di Turing. L ipotesi non si riferisce solo agli algoritmi già scoperti, ma anche a tutti quelli che si potranno scoprire nel futuro. Questa ipotesi risulta indimostrabile in quanto alla nozione (vaga) di tutti gli algoritmi corrisponde la nozione (matematica) di Macchina di Turing. Tuttavia 1. Tutti gli algoritmi conosciuti possono essere espressi come matrici funzionali 2. Tutte le definizioni formali di algoritmo (Algoritmi normali di Markov, Funzioni ricorsive di Kleene e Godel etc.) arrivano alle stesse conclusioni.

5 Teorema di Jacopini-Bohm In particolare, il Teorema di Jacopini-Bohm (1966) mostra che ogni funzione calcolabile con una macchina di Turing è anche calcolabile con un programma scritto in un linguaggio che compone sottoprogrammi con tre operatori: - esecuzione sequenziale di due sottoprogrammi ( ; ) - scelta dell esecuzione tra due sottoprogrammi a seconda del valore di una condizione booleana (if then else) - esecuzione ripetuta di un sottorogramma fino a che una variabile booleana è vera (while ) Questo teorema implica che tutti i normali linguaggi di programmazione sono TURING-EQUIVALENT, hanno cioè la stessa potenza espressiva delle Macchine di Turing.

6 Macchina di Turing Universale Per le Macchine di Turing viste fino ad ora si fa l implicita assunzione che siano dispositivi hardware in cui il programma (la matrice funzionale) è cablato al loro interno. E possibile tuttavia costruire una macchina U (Macchina di Turing Universale) capace di accettare in ingresso una macchina di Turing M con il proprio input w e simularne l esecuzione. Cioè: U( M w ) = M(w) M(w) è una stringa che rappresenta il risultato della Macchina M sull ingresso w. In altre parole il comportamento della macchina universale U è tale che essa si ferma se e solo se M si ferma sul input w. La macchina di Turing Universale si comporta analogamente ad un qualunque computer attuale nel senso che accetta in input una stringa M, w che è assimilabile perciò all usuale programma seguito dai propri dati di ingresso. Occorre tuttavia precisare in che modo si possa codificare una Macchina di Turing sul nastro.

7 (Una) codifica di una Macchina di Turing L obiettivo è quello di esprimere in una stringa binaria ogni possibile macchina di Turing. Lo schema di codifica potrebbe essere il seguente: Simbolo Codice s 0 1 s 1 11 s s n 1 n+1! 1 n+2 Codifica dei simboli di nastro (la potenza si riferisce alla concatenazione dei simboli) q 0 1 q q Y 1 n+2 Codifica degli stati S 1 D 1 1 F Codifica degli spostamenti

8 Esempio di Codifica Macchina che accetta stringhe che iniziano con 0 oppure con 11 Si definisce una funzione di codifica EN(x) che codifica il simbolo codice simbolo x.! q q q Una transizione " Dq " q 1!(q, x) = (y, d, q ) 0 i j 0 q q 11 Y 1 con q Dq q q Y Y d #{S,D,F} e x, y #{0,1, "} S 1 D 11 viene codificata nel seguente modo F 111 EN(q i ) 0 EN(x) 0 EN(y) 0 EN(d) 0 EN(q j )

9 Esempio di codifica cont Pertanto le quattro transizioni indicate nella matrice funzionale sono così codificate!(q 0, ") = (",D,q 1 ) !(q 1,0) = 0, F, q Y !(q 1,1) = (1,D,q 2 ) !(q 2,1) = 1, F, q Y simbolo codice q 0 1 q 1 11 q q Y 1111 S 1 D 11 F 111 Si fa la convenzione che due transizioni siano separate tra di loro dalla coppia 00 e che l inizio e la fine della stringa di codifica della matrice di transizione sia rappresentata da 000, pertanto: Ne deriva che, ad esempio se vogliamo attivare la macchina M con un input 11, la stringa: non è altro che la stringa M w, che può essere interpretata come la macchina con matrice funzionale M applicata alla stringa di input 11.

10 Enumerazione di Macchine di Turing - Il sistema di codifica di una macchina di Turing ci porta a dire che queste possono essere enumerate, cioé è possibile costruire una corrispondenza tra le stringhe binarie che rappresentano le macchine di Turing e i naturali. - E sempre possibile mettere in relazione ciascuna macchina con il proprio input o, detto in altre parole, tutte le stringhe di input accettate dalla MT costituiscono il linguaggio riconosciuto dalla macchina stessa. L(Mj) = { w #! " q 0 w $ * x q y con q# Z } M w wk.... ws Mi.. Mj Una volta enumerate tutte le stringhe wi di! ", per ogni Mj è possibile definire il suo vettore caratteristico cioé un vettore che ha un 1 in corrispondenza delle stringhe wi che sono accettate dalla macchina Mj e che appartengono quindi al linguaggio L(Mj ).

11 Problema della terminazione TEOREMA: E indecidibile dire se una macchina di Turing termina la sua computazione La dimostrazione si fa per assurdo. Sia H una Macchina di Turing che risolve il problema, ciò significa che: 1. L input di H è costituito dalla stringa M w 2. Una stringa è accettata da H se la computazione di M termina altrimenti la stringa è rifiutata "M""w" H M si ferma con input w M non si ferma con input w HALT/accettazione HALT/rigetto A partire da H si costruisce la macchina H che effettua le stesse computazioni di H eccetto che H cicla indefinitivamente se H termine in uno stato di accettazione. L idea per la costruzione di H è quella di creare una macchina che si ferma se la macchina di input non si ferma e non si ferma se la macchina di input si ferma. Ciò si può facilmente ottenere se ad esempio si addizionano ad H transizioni che muovono la testina indefinitivamente a destra se H raggiunge lo stato di accettazione.

12 Problema della terminazione cont. "M""w" H' M si ferma con input w M non si ferma con input w LOOP HALT/rigetto Il passo successivo è quello di combinare la macchina H con una macchina Copia che sia capace di replicare il suo input. M COPIA "M "M" D H' M si ferma con input M M non si ferma con input M LOOP HALT/rigetto La macchina D accetta in input una matrice funzionale ne crea una copia e fornisce la coppia M M in ingresso ad H la cui esecuzione da parte di H produce la stringa M(M) ovvero il risultato della M applicata a se stessa.

13 Problema della terminazione cont. Poiché è possibile codificare ogni macchina di Turing come stringa binaria anche la macchina D può essere codificata e data in input a D stessa. D COPIA "D" "D" D H' D si ferma con input D D non si ferma con input D LOOP HALT/rigetto Si ha contraddizione in quanto la macchina D si ferma se si verifica la condizione che D non si ferma sull input D. Oppure D non si ferma se D si ferma sull input D.

14 La macchina universale Una immediata conseguenza della dimostrazione è la seguente Corollario il linguaggio L H = {M (w) M rappresenta una macchina di Turing che si ferma con input w} sull alfabeto {0,1}* è un linguaggio non ricorsivo [e quindi non decidibilie]. L H in altre parole è costituito dalle stringhe che rappresentano una MT seguita dall input da essa accettato ovvero che corrispondono ai valori 1 del vettore caratteristico della MT. Tuttavia è possibile dimostrare il seguente Teorema: il linguaggio L H è ricorsivamente enumerabile [e quindi semidecidibile]. Sapendo perciò che un linguaggio ricorsivo è anche ricorsivamente numerabile si avrà l importante risultato: Corollario: la classe dei linguaggi ricorsivi è contenuta in modo proprio nella classe dei linguaggi ricorsivamente enumerabili ovvero L R! L RE La dimostrazione del teorema si basa su una macchina universale che lavora secondo il seguente schema "M""w" U M si ferma con input w M non si ferma con input w Accettazione Loop In sintesi si deve dimostrare che la macchina universale U simula perfettamente ogni altra Macchina di Turing

15 Ricorsiva enumerabilità di L H La dimostrazione verrà fatta con una macchina a tre nastri. Nel nastro 1 verrà codificato l input mentre il nastro 3 verrà usato per effettuare la simulazione dell esecuzione della macchina M. Una computazione della macchina U viene ad essere definita nel seguente modo: 1. Se la stringa di input non è della forma M w, U si muove indefinitivamente verso destra. 2. Viene ricopiata la stringa w sul nastro 3, la testina viene quindi riposizionata a sinistra al primo carattere, cosicché sul nastro 3 viene ad essere definita la configurazione iniziale di una computazione di M con input w. 3. viene scritto sul nastro 2 lo stato q 0 (il simbolo 1 nella nostra codifica) 4. Passo di simulazione. La transizione di M viene determinata dal simbolo x scandito sul nastro 3 e lo stato q i codificato sul nastro 2. a) Viene scandito il nastro 1 alla ricerca della coppia EN(q i ) EN (x) se tale transizione non esiste U si ferma e accetta l input (configurazione finale). b) Assunto che il nastro 1 contenga la transizione EN(q i ) 0 EN(x) 0 EN(y)0 EN(d) 0 EN(q j ) i) EN(q i ) è rimpiazzato da EN(q j ) sul nastro 2 ii) il simbolo y è scritto sul nastro 3 iii) la testina del nastro 3 è mossa nella direzione specificata da d 5. si ripete il passo di simulazione (punti 4 e 5) La simulazione della macchina U accetta stringhe in L H mentre per stringhe in {0,1}* - L H cicla indefinitivamente. Poiché L H = L(U) L H è ricorsivamente enumerabile essendo ricorsivamente enumerabile L(U).

16 Indecidibilità del Linguaggio di diagonalizzazione Ld = { wi! "* wi! L(Mi} Teorema il linguaggio Ld è non ricorsivamente enumerabile Ld = tutte le stringhe wi tali che wi non è in L(Mi) M Mi Mj w Supponiamo wj ws Ld = L(M) per una macchina M, allora deve esistere una Macchina di Turing nella enumerazione ovvero un indice i che individua la macchina M i che riconosce w i! L d se wi! Ld allora Mi accetta wi pertanto per definizione di Ld wi non è in Ld poiché Ld contiene solo stringhe wj tale che Mj non accetta wj - se wi! Ld allora Mi non accetta wi pertanto per definizione di Ld wi è in Ld Evidentemente si ha contraddizione poiché wi non può essere o non essere in Ld