La macchina di Turing

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1 La macchina di Turing (Esercitazione) I. Frosio AIS Lab. 1/32 Cosa è la macchina di Turing? Algoritmo: sequenza di istruzioni elementari che termina in un numero finito di passi; Macchina di Turing (TM): astrazione mentale che permette l esecuzione di un qualsiasi algoritmo. 2/32 1

2 Perchè è stata inventata? 1900, Hilbert, Entscheidungsproblem: esiste un procedimento meccanico generale per la risoluzione dei problemi matematici? 1936, Turing: la TM permette di simulare qualsiasi procedimento meccanico (algoritmo!). 3/32 Come e fatta una TM? Numero finito di stati; Operazioni su numeri grandi a piacere; Alfabeto finito di simboli (0/1)*; Nastro infinito 1d (estendibile a piacere)**. * N simboli possono essere rappresentati da un opportuna codifica di 0/1; ** N nastri o nastri N-dimensionali possono essere registrati su un singolo nastro 1d. 4/32 2

3 Cosa fa un TM? Cambiodi stato(nuovostato= f [vecchio stato, lettura]); Spostamenti nastro a dx/sx di 1 casella***; Arresto; Lettura / scrittura di 1 casella del nastro. *** Spostamenti di N caselle possono essere visti come N spostamenti di 1 casella. 5/32 Esempio TM. Lista di istruzioni (ISA): 1,0>1,R,1; (La macchina è nello stato 1, legge 0 sul nastro. Allora scrive 1 sul nastro, si muove a destra e permane nello stato 1) 1,1>1,R,2; (La macchina è nello stato 1, legge 1 sul nastro. Allora scrive 1 sul nastro, si muove a destra e va nello stato 2) 2,0>0,R,2; ( ) 2,1>1,Stop,0. (La macchina termina l esecuzione; per nostra convenzione lo stato 0 corrisponde al termine dell esecuzione) 6/32 3

4 N.B.: per nostra convenzione, la TM torna a capo dopo avere eseguito I calcoli (il risultato si legge sul nastro a dx della TM). 7/32 Composizione di TM. Due o più TM che lavorano insieme costituiscono una TM (es. Algoritmo con subroutine) quindi: Studiando una TM si studia qualsiasi composizione di TM. 8/32 4

5 Come codifica i numeri una TM? Codifica unaria (o per definire la fine di un numero): 3 = 1110, 2 = 110, 1 = 10, 0 =??? 0 = 10, 1 = 110, 2 = 1110, Codifica Binaria: 0 = 00, 1 = 01, 2 = 10, ma dove finisce il numero binario? E necessario avere un carattere separatore! Notazione binaria sviluppata 9/32 Notazione binaria sviluppata: 5, 13, 0, 1, 1, 4 (decimale) 101, 1101, 0, 1, 1, 100 (binario) bin 10 binsv ; 0 bin 0 binsv ;, bin 110 binsv. 10/32 5

6 Notazione: osservazioni. Altre notazioni sono possibili; La complessità della programmazione della TM dipende dalla notazione scelta Dal punto di vista concettuale, la notazione scelta non altera nulla: la TM resta comunque un astrazione mentale che permette l esecuzione di un qualsiasi algoritmo. 11/32 La macchina di Turing universale, U. Istruzioni opportunamente codificate sul nastro nella parte sinistra. Dati opportunamente codificati sul nastro nella parte destra. La U deve spostarsi continuamente dalle istruzioni ai dati e viceversa; La U può simulare il comportamento di qualsiasi macchina di Turing. 12/32 6

7 Numerazione delle TM. Istruzioni codificate sul nastro di U: costituiscono una stringa di 0 e 1 (numero N). Al variare del numero N, abbiamo diverse TM. Indichiamo la N-esima macchina di Turing con T N. Non tutte le T N funzionano: alcune non hanno istruzioni di stop, alcune non si fermano mai, alcune hanno istruzioni mancanti Ma, per N che va ad infinto, tutte le TM sono rappresentate. Anche migliorando la codifica, non e possibile eliminare le macchine inette. 13/32 Notazione: T N (M)=P; (il risultato dell azione dell Nesima TM sul numero M è P) Anche: T N (M)=U(N,M)=P; (il risultato della macchina di Turing universale, date le istruzioni N, agente sui dati M, è P) Att.ne Anche U è una TM! Dunque esiste u t.c. U=T u! 14/32 7

8 Entscheidungsproblem (Hilbert, 1900 e 1928): Data una classe ben definita di problemi matematici, esiste una procedura meccanica per la risoluzione di ogni problema all interno della classe? Turing (1936): l Entscheidungsproblem di Hilbert può essere riformulato in questi termini (problema dell arresto): dato T n (M), esiste una TM che dice se il calcolo si ferma? 15/32 Esempio: non esistono x, y, z, w in N t.c. x w +y w =z w Possiamo costruire una TM Fermat che verifica la relazione per ogni (x, y, z, w), si arresta quanto trova un quadrupla che la verifica (Teorema di Fermat); Se riusciamo a costruire una TM che dice se TM Fermat si arresta oppure no, possiamo dimostrare il teorema di Fermat. Infatti: Se TM Fermat si arresta esistono (x, y, z, w) t.c. x w +y w =z w è vera, quindi il teorema di Fermat è falso. Se TM Fermat non si arresta non esistono (x, y, z, w) t.c. x w +y w =z w è vera, quindi il teorema di Fermat è vero. 16/32 8

9 Entscheidungsproblem e intelligenza artificiale (IA) Se la risposta all Entsheidungsproblem è negativa Non è possibile trovare una soluzione algoritmica (automa) per risolvere tutti i problemi appartenenti ad una classe ben specificata Implicazioni in IA! 17/32 Entscheidungsproblem Turing: l Entscheidungsproblem di Hilbert può essere riformulato in questi termini (problema dell arresto): dato T n (M), esiste una MT che dice se il calcolo si ferma? La risposta e No! Anche se, analizzando una particolare T n (M), riusciamo a capire se questa si ferma oppure no, non è possibile trovare un metodo generale per risolvere il problema. 18/32 9

10 Dimostrazione. Per assurdo, sia H(M,N) una macchina di Turing che dia in uscita 0 se la T N (M) non si arresta, 1 se la T N (M) si arresta. L esistenza di H corrisponde ad una risposta positiva per l Entscheidungsproblem. 19/32 Si definisca una macchina di Turing, Q(N,M)=T N (M)xH(N,M), dove x indica il prodotto. Le uscite di T N (M) possono essere 0, 1 oppure δ (dove δ indica che la macchina non si ferma mai). Per il prodotto vale la proprietà δx0=0, dunque Q(N,M) fornisce in uscita 1 se la T N (M)=1, 0 se T N (M)=0 oppure T N (M)=δ. H(N,M) gira prima di T N (M) quando viene utilizzata la Q(N,M), altrimenti rischieremmo di avere una TM che non si ferma mai [T N (M) viene lanciata solo se H(N,M)=1]. 20/32 10

11 Definiamo una nuova TM nel modo seguente: T K (N)=1+Q(N,N)=1+T N (N)xH(N,N), dove abbiamo supposto che la TM possa essere rappresentata dal numero K attraverso la TM universale, U. Proviamo a calcolare T K (K) 21/32 T K (K)=1+Q(K,K)=1+T K (K)xH(K,K) Se T K (K) si ferma, H(K,K)=1, dunque T K (K)=1+T K (K) Assurdo! Se T K (K) non si ferma [dunque T K (K)=δ], H(K,K)=0, dunque T K (K)=δ=1+0 Assurdo! Dunque la H non può esistere!!! Q.D.E. 22/32 11

12 Hilbert: Esiste un algoritmo generale per la risoluzione di tutti i problemi appartenenti ad una classe ben specificata (Entscheidungsproblem)? Turing: Riformulazione del problema nei termini del problema dell arresto. Non esiste la TM che dice se un altra TM si arresta Non è quindi possibile sviluppare una procedura algoritmica per la risoluzione di ogni problema matematico E questa la differenza tra intelligenza umana (intuito, ) e artificiale? 23/32 Per approfondire: Articolo Turing (vedi pagina web del corso); R. Penrose, La mente nuova dell imperatore, Bur, pp /32 12

13 Turing machine: codice M Implementazione Matlab di una TM: [Machine]=Turing_Create; Crea una macchina di Turing senza istruzioni; >> Machine=Turing_Create Machine = NumberOfInstructions: 0 Instructions: [] 25/32 Turing machine: codice M Implementazione Matlab di una TM: [Machine]=Turing_AddInstruction(Machine, CurrentState, Read, Write, Move, NewState); Aggiunge un istruzione alla macchina di Turing, Move= L, R, S ; >> Machine=Turing_AddInstruction(Machine,1,1,0, L',1) Machine = NumberOfInstructions: 1 Instructions: [1x1 struct] 26/32 13

14 Turing machine: codice M Implementazione Matlab di una TM: Turing_SeeInstructions(Machine); Visualizza le istruzioni di una macchina di Turing; >> Turing_SeeInstructions(Machine); Turing machine instruction set: Number of instructions: 1 1) Current state: 1 Read: 1 Write: 0 Move: L New state: 1 27/32 Turing machine: codice M Implementazione Matlab di una TM: Turing_Simulate(Machine,Tape); Simula il funzionamento di una macchina di Turing; >> Turing_Simulate(Machine,[ ]); _ Tape: Instruction not found! Execution terminated. 28/32 14

15 Turing machine: codice M CopyNumber.m, CopyNumber2.m, CopyNumber3.m, per la copia di un numero N; AddOne.m, Incrementa di un unità il numero n; Utilizzo codice M: test, esercizi, Importante notare: analogia tra macchina di Turing / macchina a stati finiti. 29/32 Turing machine: Esercizio 1 Sia data la seguente sequenza di istruzioni per una TM: (1,0)>(0,'R',1), (1,1)>(1,'R',2), (2,1)>(1,'R',2), (2,0)>(1,'L',3), (3,1)>(1,'L',3), (3,0)>(0,'S',0). Si supponga che la MT utilizzi una codifica unaria dei numeri (1 = 10, 2 = 110, ) e che parta dallo stato 1 sulla prima casella di sinistra del nastro. Spiegare il funzionamento della MT sul nastro [ ]. A cosa serve la MT implementata? Esistono situazioni critiche per le quali la MT non funziona? Come e possibile risolverle? Soluzione sul sito web 30/32 15

16 Turing machine: esercizio 2 Si progetti una TM per la copia di un numero qualsiasi. Si supponga che la TM utilizzi una codifica unaria dei numeri (1 = 10, 2 = 110, ) e che parta dallo stato 1 sulla prima casella di sinistra del nastro. Si disegni poi il grafo degli stati della TM. Soluzione sul sito web 31/32 Turing machine, altri esercizi TM per la somma di due numeri M+N (suggerimento: basta aggiungere un 1 tra i due numeri e cancellare il primo 1 di M o l ultimo 1 di N); MT per la moltiplicazione di due numeri M*N (è necessario copiare N volte il numero M a sinistra di M ). 32/32 16

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