Capitolo 7: Teoria generale della calcolabilitá
|
|
- Battista Pastore
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Capitolo 7: Teoria generale della calcolabilitá 1
2 Differenti nozioni di calcolabilitá (che seguono da differenti modelli di calcolo) portano a definire la stessa classe di funzioni. Le tecniche di simulazione fra modelli introducono i concetti di configurazione, calcolo e codifica. Possiamo formulare una teoria astratta della calcolabilitá, indipendente dal modello di calcolo adottato?? Tesi di Church-Turing: ogni funzione calcolabile rispetto ad una qualunque nozione di algoritmo (Turing, Kleene, λ-calcolo, Markov, Post) é calcolabile secondo Turing. 2
3 Quindi si congettura che la classe delle funzioni ricorsive sia la classe di funzioni piú generale per la quale si possa dare un metodo di calcolo algoritmico. Se si accetta tale tesi, si possono utilizzare descrizioni informali di algoritmi per dimostrare la calcolabilitá di funzioni senza esibire una macchina che le calcola. 3
4 Una enumerazione delle macchine a registri elementari Abbiamo visto che ogni funzione calcolata tramite una macchina a registri elementare é ricorsiva (associando numeri naturali agli stati della macchina e alle sequenze di stati). Mostriamo che anche i programmi per macchine a registri elementari possono essere codificati (cioé esiste una aritmetizzazione o gödelizzazione). Ricordiamo che ogni programma elementare é formato da un numero finito di istruzioni del tipo: Ri = Ri + 1 i 1, n 0 Ri = Ri. 1 IF Ri = 0 GOTO 0 4
5 Per codificare una istruzione abbiamo bisogno: del suo posto nella sequenza di istruzioni, del suo tipo, dei numeri i ed n che essa contiene. Un modo per codificare queste informazioni é il seguente: Ri = Ri (i. 1) + 1 Ri = Ri. 1 3 (i. 1) + 2 IF Ri = 0 GOTO n 3 J(i. 1, n) dove J : N N N + é la biiezione J(x, y) = (x + y + 1)(x + y) 2 + x + 1 5
6 Il codice dell istruzione m-esima é usato come esponente per il numero primo p m (p 1 = 2); se il programma ha k istruzioni il suo codice sará 2 y 1... p y k k, oppure y 1,..., y k, dove y 1,..., y k sono i codici delle istruzioni. Esempio 1 Codifichiamo il seguente programma: IF R2 = 0 GOTO 0 3 J(1, 0) = 9 R2 = R = 5 R1 = R = 1 IF R3 = 0 GOTO 1 3 J(2, 1) = 27 e quindi il codice é , oppure 9, 5, 1, 27. 6
7 La codifica e la decodifica sono entrambe funzioni biiettive (perche?); ad ogni intero x = 2 y 1... p y m dove y i 0 se 1 i m, > 0 se i = m corrisponde un programma di m istruzioni, in cui la j-esima istruzione é ottenuta dividendo y i per 3 ed individuando resto e quoziente. Esempio 2 Al numero 600 corrisponde il programma: IF R1 = 0 GOTO 0 R1 = R1 + 1 R1 = R1. 1 quale funzione calcola questo programma? 7
8 Importante: la codifica di un programma produce interi x = 2 y 1,..., p y k k, con y 1,..., y k > 0. Invece, la decodifica di un numero naturale puó produrre situazioni in cui all istruzione j-esima corrisponde y j = 0. Per evitare questo problema, introduciamo l istruzione NOPE (con codice 0) che non fa nulla. Esercizio: quale programma é rappresentato dal numero ?? Esercizio: Definire una macchina a registri (non elementare) che dati in input due naturali x e y, determini l output che una macchina a registri elementare con codifica x ha per input y. 8
9 Una enumerazione delle macchine di Turing Realizziamo una corrispondenza biunivoca fra macchine di Turing e numeri naturali. Sia data una macchina M = Γ, b, Q, q 0, F, δ, la cui funzione di transizione é δ : (Q F ) (Γ { b}) Q (Γ { b}) {d, s, i}. Ogni coppia (q, a) per cui la δ non é definita é codificata come (q, a,,, ). Elenchiamo in ordine lessicografico le quintuple che costituiscono la funzione di transizione, introducendo un ordinamento arbitrario sugli insiemi Q { }, Γ { b, }, {d, s, i, }. Questo ordinamento induce un ordinamento fra le quintuple e, di conseguenza, sulle sequenze di quintuple e sulle codifiche di macchine di Turing. 9
10 Enumerazione delle funzioni ricorsive I metodi definiti determinano una corrispondenza naturali e macchine (di Turing o a registri), ma anche fra funzioni ricorsive e numeri naturali. Sia E : N {M} una biiezione fra i naturali e le descrizioni di macchine di Turing, tale che E(x) = M x, la (x + 1)-esima macchina dell enumerazione. Data una codifica C dei naturali su un opportuno alfabeto (quello di nastro della macchina), definiamo ϕ x (y) = z N se la macchina M x, inizializzata nella configurazione iniziale q 0 C(y), si arresta nella configurazione finale C(y) bq F C(z) indefinita altrimenti. 10
11 Si ottiene una enumerazione delle funzioni ricorsive ad un argomento (domanda: quale posto occupa la funzione ϕ x in questa enumerazione? la corrispondenza fra naturali e funzioni ricorsive a un posto é una biiezione?) Si puó estendere l enumerazione a funzioni a piú argomenti attraverso una opportuna codifica (definirne una). Il valore x associato alla funzione ϕ x si dice indice della funzione (calcolata dalla macchina M x ). Dato che x é il numero naturale che codifica la macchina M x, esso é anche chiamato il programma che calcola la funzione ϕ x. 11
12 Proprietá di enumerazioni di funzioni ricorsive L enumerazione ci consente di formulare i risultiti della teoria della ricorsivitá in modo indipendente dalla macchina. Tutta l informazione relativa ad una particolare classe di macchine o programmi é contenuta negli indici delle funzioni, e dá origine ad una enumerazione (magari diversa dalle precedenti) che gode sempre delle stesse proprietá generali. Una dimostrazione fornita assumendo una enumerazione per un certo modello di calcolo diventa valida per tutte le enumerazioni associate ad altri modelli di calcolo. 12
13 Teorema 3 (esistenza della funzione universale) Sia data una qualsiasi enumerazione delle funzioni ricorsive. Per ogni k N esiste z tale che, per ogni x 1,..., x k : ϕ z (x 1,..., x k, y) = ϕ y (x 1,..., x k ) indefinita se essa é definita, altrimenti. Teorema 4 (s-m-n) Sia data una qualsiasi enumerazione delle funzioni ricorsive. Per ogni m, n 1 esiste una funzione ricorsiva s tale che, per ogni x, y 1,..., y m, z 1,..., z n : ϕ x (y 1,..., y m, z 1,..., z n ) = ϕ s(x,y1,...,y m ) (z 1,..., z n ) 13
14 Teorema 5 (forma normale di Kleene) Sia data una qualsiasi enumerazione delle funzioni ricorsive. Esistono una funzione ricorsiva U e un insieme di funzioni ricorsive T k tali che, per ogni k N, tutte le funzioni ricorsive di k argomenti sono esprimibili come segue: ϕ i (x 1,..., x k ) = U(µt[T k (i, x 1,..., x k, t) = 0]). Il teorema mostra che una funzione ricorsiva é calcolabile attraverso il calcolo di due funzioni: la prima (il predicato di Kleene) verifica che esista una computazione ammissibile; la seconda, che spacchetta il codice della computazione per restituire il risultato. 14
15 Funzioni non calcolabili Abbiamo giá introdotto i concetti di funzione calcolabile, non calcolabile, di insieme decidibile e semidecidibile. Possiamo riformulare quanto visto in modo indipendente dal modello di calcolo, avendo introdotto il concetto di enumerazione di funzioni ricorsive. Teorema 6 Sia data una qualsiasi enumerazione delle funzioni ricorsive. Non esiste alcuna funzione ricorsiva g tale che per ogni x e y: g(x, y) = 1 se ϕ x (y) é definita, 0 altrimenti. 15
16 Teorema 7 Non esiste alcuna funzione ricorsiva g tale che per ogni x: g (x) = 1 se ϕ x (x) é definita, 0 altrimenti. Corollario 8 Sia data una qualsiasi enumerazione delle funzioni ricorsive. Gli insiemi K = {x ϕ x (x)é definita} e K = { x, y ϕ x (y)é definita} non sono decidibili. 16
17 Teorema 9 Sia data una qualsiasi enumerazione delle funzioni ricorsive. Non esiste una funzione ricorsiva g tale che per ogni x: g(x) = 1 se ϕ x (0) é definita, 0 altrimenti. decidere se un generico programma si arresta su un generico input decidere se un generico programma si arresta avendo come input il proprio codice decidere se un generico programma si arresta con input prefissato sono problemi con la stessa difficoltá. 17
18 Applicando le tecniche precedenti, si provano i seguenti risultati: Teorema 10 Sia data una qualsiasi enumerazione delle funzioni ricorsive. Non esiste una funzione ricorsiva g tale che per ogni x: g(x) = 1 se ϕ x (0) é costante, 0 altrimenti. Teorema 11 Sia data una qualsiasi enumerazione delle funzioni ricorsive. Non esiste una funzione ricorsiva g tale che per ogni x, y, z: g(x, y, z) = 1 se ϕ x (y) = z, 0 altrimenti. 18
19 Teorema 12 Sia data una qualsiasi enumerazione delle funzioni ricorsive. Non esiste una funzione ricorsiva g tale che per ogni x, y: g(x, y) = 1 se ϕ x = ϕ y é definita, 0 altrimenti. Dimostreremo che ogni proprietá non banale é indecidibile. Tutte le dimostrazioni precedenti si riconducono alla indecidibilitá del problema della terminazione. Un metodo alternativo consiste nell utilizzare la diagonalizzazione (rifare le dimostrazioni con questo metodo). 19
20 Indecidibilitá in matematica e informatica Esistono numerosi problemi indecidibili in diversi settori della matematica e dell informatica. Ad esempio, nella teoria dei linguaggi formali: date due grammatiche context-free G 1 e G 2, L(G 1 ) = L(G 2 )? date due grammatiche context-free G 1 e G 2, L(G 1 ) L(G 2 ) =? data una grammatica contenstuale G, L(G) é vuoto? 20
21 Nell ambito della teoria della programmazione (riferendoci ad un linguaggio specifico, e non ad un modello di calcolo generico): un programma che contiene una dichiarazione di proceduram chiamerá la procedura stessa? una variabile di programma assumerá un particolare valore durante l esecuzione del programma? un programma, in presenza di un particolare input, fornisce un determinato output? due programmi calcolano la stessa funzione? 21
22 un programma calcola una funzione costante? un programma calcola una funzione totale? Nel campo della matematica: data una formula del calcolo dei prodicati, tale formula é un teorema? data una formula dell aritmetica, tale formula é un teorema della teoria? 22
23 Esistono casi in cui una funzione é calcolabile, ma non siamo in grado di conoscere il programma che la calcola. Ad esempio: g(x) = 1 se nell espansione di π esistono almeno x 5 consecutivi, 0 altrimenti é sicuramente calcolabile, ma non sappiamo quale sia l algoritmo corretto per calcolarla. 23
24 Teoremi di Kleene e Rice Teorema 13 (ricorsione o di Kleene) Sia data una enumerazione delle funzioni ricorsive. Se t é una funzione calcolabile totale, allora esiste e N tale che: ϕ e = ϕ t(e). Il teorema si dice anche del punto fisso. Dato un insieme S e una funzione τ : S S, si dice punto fisso di τ il valore s S tale che τ(s) = s. Corollario 14 Sia data una enumerazione delle funzioni ricorsive. Esiste un indice i tale che, per ogni x N si ha ϕ i (x) = i. 24
25 Teorema 15 (Rice) Sia data una enumerazione delle funzioni ricorsive e sia F un insieme di funzioni calcolabili. L insieme S = {x ϕ x F } é decidibile sse F = oppure F coincide con l intera classe delle funzioni calcolabili. Il teorema sancisce quanto promesso: ogni proprietá non banale delle funzioni calcolabili é indecidibile; I teoremi precedenti sono applicazioni del teorema di Rice. Una conseguenza importante nella teoria della programmazione é che é impossibile provare proprietá delle funzioni calcolate dai programmi (costanza, crescenza, correttezza). 25
26 Insiemi decidibili e semidecidibili Abbiamo giá introdotto i concetti di insieme decidibile e semidecidibile, con riferimento alla T-calcolabilitá. Possiamo riformulare quanto visto astraendo dal modello di calcolo. Definizione 16 Un insieme A N é detto ricorsivo se la sua funzione caratteristica C A : C A (x) = é ricorsiva totale. 1 se x A, 0 altrimenti 26
27 Definizione 17 Un insieme A N é detto ricorsivamente enumerabile (r.e.) se A = o se esiste una funzione ricorsiva totale f : N N tale che A = imm(f). In tal caso diciamo che la funzione f enumera l insieme A. Dimostreremo che la classe degli insiemi ricorsivi (risp., ricorsivamente enumerabili) coincide con la classe degli insiemi decidibili (semidecidibili). 27
28 Esempio 18 l insieme dei numeri pari é ricorsivo? l insieme dei numeri primi é ricorsivo o r.e.? l insieme { y, t ϕ y (y)si arresta in meno di t passi } é ricorsivo? l insieme K = {y ϕ y (y)é definita} é ricorsivo? l insieme Z = { x, y, z ϕ x (y) = z} é ricorsivo? l insieme T = {x ϕ x é totale} é ricorsivo? 28
29 Forniamo tre proprietá sugli insiemi ricorsivi: Teorema 19 Un insieme S N é ricorsivo sse é decidibile. Teorema 20 Se un insieme A é ricorsivo allora l insieme complemento A = N A é ricorsivo. Teorema 21 Se insiemi A e B sono ricorsivi allora gli insiemi A B e A B sono ricorsivi. 29
30 Teorema 22 Sia dato un insieme S N; sono equivalenti: 1. S é ricorsivamente enumerabile; 2. S é semidecidibile; 3. S é il dominio di una funzione g S parziale calcolabile; 4. S é l immagine di una funzione h S parziale calcolabile. Conseguenza di questo risultato: (i) gli insiemi ricorsivi sono decidibili, e (ii) la classe degli insiemi decidibili quella dei semidecidibili allora ogni insieme ricorsivo é anche r.e., ed esistono insiemi r.e., ma non ricorsivi. Esempio 23 L insieme K = {x ϕ x (x)é definita} non é ricorsivo, ma é r.e. Infatti K = dom(ψ), dove: ψ(x) = 1 se ϕ x (x) é definita, indefinita altrimenti. 30
31 Teorema 24 L insieme T = {x ϕ x é totale} non é ricorsivamente enumerabile Teorema 25 Se insiemi A e B sono ricorsivamente enumerabili allora gli insiemi A B e A B sono ricorsivamente enumerabili. Teorema 26 Se un insieme A é ricorsivamente enumerabile e se l insieme complemento A = N A é ricorsivamente enumerabile, allora A é ricorsivo. Come conseguenza di questo teorema, se un insieme é r.e., ma non ricorsivo, allora il suo complemento non é r.e. Questo significa che il complemento di un insieme r.e., ma non ricorsivo, ha delle proprietá di indecidibilitá maggiori dell insieme stesso. 31
32 Esempio 27 L insieme K = {y ϕ y (y) non é definita} non é r.e. Infatti K é semidecidibile, e quindi r.e.; ma K non é ricorsivo, e quindi K non puó essere r.e. Per verificare se x appartiene a K dobbiamo verificare se esiste y tale che ϕ x (x) si arresta in meno di y passi. Per verificare se x appartiene a K dobbiamo verificare se per ogni y,ϕ x (x) richiede piú di y passi. I predicati ϕ x (x) richiede meno di y passi e ϕ x (x) richiede piú di y passi sono entrambi decidibili. Il predicato esiste y tale che ϕ x (x) richiede meno di y passi é ricorsivamente enumerabile. Il predicato per ogni y ϕ x (x) richiede piú di y passi non é r.e. 32
33 Il fenomeno vale in generale: Teorema 28 Sia A N non vuoto. A é ricorsivamente enumerabile sse esiste un insieme ricorsivo B N 2 tale che x A sse y[(x, y) B]. Teorema 29 Sia A N. A é il complemento di un insieme ricorsivamente enumerabile sse esiste un insieme ricorsivo B N 2 tale che x A sse y[(x, y) B]. Gli ultimi due risultati possono essere estesi al caso in cui siano usati piú quantificatori esistenziali ed universali alternati. 33
34 Definizione 30 Per ogni insieme A N, A Σ k se esiste un predicato ricorsivo P (x, y 1,..., y k ) tale che x A sse y 1 y 2... Qy k P (x, y 1,..., y k ), dove Q = per k dispari, Q = per k pari. Definizione 31 Per ogni insieme A N, A Π k se esiste un predicato ricorsivo P (x, y 1,..., y k ) tale che x Asse y 1 y 2... Qy k P (x, y 1,..., y k ), dove Q = per k dispari, Q = per k pari. 34
35 Definizione 32 Per ogni insieme A N, A k se A Σ k e A Π k. Dalle definizioni deriva che A Σ n se e solo se A Π n. L insieme delle classi Σ k e Π k si chiama gerarchia di Kleene o aritmetica. Σ 0 e Π 0 coincidono con la classe degli insiemi ricorsivi; Σ 1 coincide con la classe degli insiemi r.e.; Π 1 con la classe degli insiemi complemento di insiemi r.e. 35
36 Due proprietá fondamentali: (i) i[σ i Σ i+1 ] e i[π i Π i+1 ]; (ii) i[σ i Π i Σ i+1 Π i+1 ]. La gerarchia aritmetica é utilizzata per esprimere il livello di indecidibilitá di un insieme; ad esempio, l insieme T = {x ϕ x é totale } coincide con l insieme {x y k[ϕ x (y) richiede meno di k passi]}; quindi T appartiene a Π 2. 36
La macchina universale
La macchina universale Una immediata conseguenza della dimostrazione è la seguente Corollario il linguaggio L H = {M (w) M rappresenta una macchina di Turing che si ferma con input w} sull alfabeto {0,1}*
DettagliNote del corso di Calcolabilità e Linguaggi Formali - Lezione 6
Note del corso di Calcolabilità e Linguaggi Formali - Lezione 6 Alberto Carraro 30 novembre DAIS, Universitá Ca Foscari Venezia http://www.dsi.unive.it/~acarraro 1 Funzioni Turing-calcolabili Finora abbiamo
DettagliTipologie di macchine di Turing
Tipologie di macchine di Turing - Macchina di Turing standard - Macchina di Turing con un nastro illimitato in una sola direzione - Macchina di Turing multinastro - Macchina di Turing non deterministica
DettagliMacchine di Turing, problemi ricorsivi e ricorsivamente enumerabili
Macchine di Turing, problemi ricorsivi e ricorsivamente enumerabili roblemi che i calcolatori non possono risolvere E importante sapere se un programma e corretto, cioe fa quello che ci aspettiamo. E facile
DettagliCos è un Calcolatore?
Cos è un Calcolatore? Definizione A computer is a machine that manipulates data according to a (well-ordered) collection of instructions. 24/105 Riassumendo... Un problema è una qualsiasi situazione per
DettagliAppunti sulla Macchina di Turing. Macchina di Turing
Macchina di Turing Una macchina di Turing è costituita dai seguenti elementi (vedi fig. 1): a) una unità di memoria, detta memoria esterna, consistente in un nastro illimitato in entrambi i sensi e suddiviso
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
DettagliVarianti Macchine di Turing
Varianti Macchine di Turing Esistono definizioni alternative di macchina di Turing. Chiamate Varianti. Tra queste vedremo: MdT a più nastri e MdT non deterministiche. Mostriamo: tutte le varianti ragionevoli
DettagliCONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE
CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e
Dettagli1. PRIME PROPRIETÀ 2
RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,
DettagliINTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.
INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati
DettagliTeoria degli insiemi
Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di
DettagliLE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE
LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
DettagliLinguaggi. Claudio Sacerdoti Coen 11/04/2011. 18: Semantica della logica del prim ordine. <sacerdot@cs.unibo.it> Universitá di Bologna
Linguaggi 18: Semantica della logica del prim ordine Universitá di Bologna 11/04/2011 Outline Semantica della logica del prim ordine 1 Semantica della logica del prim ordine Semantica
Dettaglix u v(p(x, fx) q(u, v)), e poi
0.1. Skolemizzazione. Ogni enunciato F (o insieme di enunciati Γ) è equisoddisfacibile ad un enunciato universale (o insieme di enunciati universali) in un linguaggio estensione del linguaggio di F (di
DettagliStima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una
DettagliESERCIZI SVOLTI. 1) Dimostrare che l insieme. non è ricorsivo. Soluzione: Definiamo l insieme
ESERCIZI SVOLTI 1) Dimostrare che l insieme Allora notiamo che π non è vuoto perché la funzione ovunque divergente appartiene all insieme avendo per dominio l insieme. Inoltre π non coincide con l insieme
DettagliI sistemi di numerazione
I sistemi di numerazione 01-INFORMAZIONE E SUA RAPPRESENTAZIONE Sia dato un insieme finito di caratteri distinti, che chiameremo alfabeto. Utilizzando anche ripetutamente caratteri di un alfabeto, si possono
DettagliINTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI
INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI Prima di riuscire a scrivere un programma, abbiamo bisogno di conoscere un metodo risolutivo, cioè un metodo che a partire dai dati di ingresso fornisce i risultati attesi.
DettagliFondamenti dell Informatica Ricorsione e Iterazione Simona Ronchi Della Rocca (dal testo: Kfoury, Moll and Arbib, cap.5.2)
Fondamenti dell Informatica Ricorsione e Iterazione Simona Ronchi Della Rocca (dal testo: Kfoury, Moll and Arbib, cap.5.2) Definiamo innanzitutto una relazione d ordine tra le funzioni. Siano φ e ψ funzioni
DettagliSemantica dei programmi. La semantica dei programmi è la caratterizzazione matematica dei possibili comportamenti di un programma.
Semantica dei programmi La semantica dei programmi è la caratterizzazione matematica dei possibili comportamenti di un programma. Semantica operazionale: associa ad ogni programma la sequenza delle sue
DettagliMATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010
elementi di teoria dei grafi anno acc. 2009/2010 Grafi semplici Un grafo semplice G è una coppia ordinata (V(G), L(G)), ove V(G) è un insieme finito e non vuoto di elementi detti vertici o nodi di G, mentre
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1)
ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) Un insieme è una collezione di oggetti. Il concetto di insieme è un concetto primitivo. Deve esistere un criterio chiaro, preciso, non ambiguo, inequivocabile,
DettagliLe parole dell informatica: modello di calcolo, complessità e trattabilità
Le parole dell informatica: modello di calcolo, complessità e trattabilità Angelo Montanari Dipartimento di Matematica e Informatica Università degli Studi di Udine Ciclo di seminari su un Vocabolario
DettagliCapitolo 6: Modelli di calcolo per linguaggi imperativi e funzionali
Capitolo 6: Modelli di calcolo per linguaggi imperativi e funzionali 1 Modelli imperativi: le RAM (Random Access Machine) I modelli di calcolo imperativi sono direttamente collegati al modello Von Neumann,
DettagliFondamenti dei linguaggi di programmazione
Fondamenti dei linguaggi di programmazione Aniello Murano Università degli Studi di Napoli Federico II 1 Riassunto delle lezioni precedenti Prima Lezione: Introduzione e motivazioni del corso; Sintassi
DettagliElementi di Informatica e Programmazione
Elementi di Informatica e Programmazione Il concetto di Algoritmo e di Calcolatore Corsi di Laurea in: Ingegneria Civile Ingegneria per l Ambiente e il Territorio Università degli Studi di Brescia Cos
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
DettagliLezioni di Matematica 1 - I modulo
Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può
Dettagli1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali
1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................
Dettagli4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0
Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
DettagliSistemi di Numerazione
Fondamenti di Informatica per Meccanici Energetici - Biomedici 1 Sistemi di Numerazione Sistemi di Numerazione I sistemi di numerazione sono abitualmente posizionali. Gli elementi costitutivi di un sistema
DettagliCorrettezza. Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica 1. Dispensa 10. A. Miola Novembre 2007
Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica 1 Dispensa 10 Correttezza A. Miola Novembre 2007 http://www.dia.uniroma3.it/~java/fondinf1/ Correttezza 1 Contenuti Introduzione alla correttezza
DettagliInterpretazione astratta
Interpretazione astratta By Giulia Costantini (819048) e Giuseppe Maggiore (819050) Contents Interpretazione astratta... 2 Idea generale... 2 Esempio di semantica... 2 Semantica concreta... 2 Semantica
DettagliAlgebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE
Algebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE Andrea Bobbio Anno Accademico 2000-2001 Algebra Booleana 2 Calcolatore come rete logica Il calcolatore può essere visto come una rete logica
DettagliPROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE
Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ -
DettagliIniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:
Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione
DettagliL interesse nella macchina di Turing
Aniello Murano Macchina di Turing universale e problema della fermata 6 Lezione n. Parole chiave: Universal Turing machine Corso di Laurea: Informatica Codice: Email Docente: murano@ na.infn.it A.A. 2008-2009
DettagliLezione 1. Gli Insiemi. La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme:
Lezione 1 Gli Insiemi La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme: degli iscritti ad un corso di laurea delle stelle in cielo dei punti di un piano
DettagliDI D AGRA R MM M I M A BLOCC C H C I TEORI R A E D D E SERC R I C ZI 1 1
DIAGRAMMI A BLOCCHI TEORIA ED ESERCIZI 1 1 Il linguaggio dei diagrammi a blocchi è un possibile formalismo per la descrizione di algoritmi Il diagramma a blocchi, o flowchart, è una rappresentazione grafica
Dettagli4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI
119 4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI Indice degli Argomenti: TEMA N. 1 : INSIEMI NUMERICI E CALCOLO
DettagliMATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).
MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica
DettagliEsercizio su MT. Svolgimento
Esercizio su MT Definire una macchina di Turing deterministica M a nastro singolo e i concetti di configurazione e di transizione. Sintetizzare una macchina di Turing trasduttore che trasformi un numero
DettagliCAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
DettagliAlgoritmi e Strutture Dati
Elementi di Programmazione Dinamica Maria Rita Di Berardini, Emanuela Merelli 1 1 Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Camerino Il problema La CMC produce automobili in uno stabilimento
DettagliMacchine a stati finiti. Sommario. Sommario. M. Favalli. 5th June 2007
Sommario Macchine a stati finiti M. Favalli 5th June 27 4 Sommario () 5th June 27 / 35 () 5th June 27 2 / 35 4 Le macchine a stati si utilizzano per modellare di sistemi fisici caratterizzabili mediante:
DettagliMetodologie di programmazione in Fortran 90
Metodologie di programmazione in Fortran 90 Ing. Luca De Santis DIS - Dipartimento di informatica e sistemistica Anno accademico 2007/2008 Fortran 90: Metodologie di programmazione DIS - Dipartimento di
DettagliLe Macchine di Turing
Le Macchine di Turing Come è fatta una MdT? Una MdT è definita da: un nastro una testina uno stato interno un programma uno stato iniziale Il nastro Il nastro è infinito suddiviso in celle In una cella
DettagliNozione di algoritmo. Gabriella Trucco
Nozione di algoritmo Gabriella Trucco Programmazione Attività con cui si predispone l'elaboratore ad eseguire un particolare insieme di azioni su particolari informazioni (dati), allo scopo di risolvere
DettagliSommario. Definizione di informatica. Definizione di un calcolatore come esecutore. Gli algoritmi.
Algoritmi 1 Sommario Definizione di informatica. Definizione di un calcolatore come esecutore. Gli algoritmi. 2 Informatica Nome Informatica=informazione+automatica. Definizione Scienza che si occupa dell
Dettagliu 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k
Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliParte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai
DettagliAlgoritmi e Complessità
Algoritmi e Complessità Università di Camerino Corso di Laurea in Informatica (tecnologie informatiche) III periodo didattico Docente: Emanuela Merelli Email:emanuela.merelli@unicam.it Lezione 2 Teoria
DettagliSISTEMI INFORMATIVI AVANZATI -2010/2011 1. Introduzione
SISTEMI INFORMATIVI AVANZATI -2010/2011 1 Introduzione In queste dispense, dopo aver riportato una sintesi del concetto di Dipendenza Funzionale e di Normalizzazione estratti dal libro Progetto di Basi
DettagliSemantica Assiomatica
Semantica Assiomatica Anche nella semantica assiomatica, così come in quella operazionale, il significato associato ad un comando C viene definito specificando la transizione tra stati (a partire, cioè,
Dettagli2. Leggi finanziarie di capitalizzazione
2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M
DettagliIntroduzione Ordini parziali e Reticoli Punti fissi
Introduzione Ordini parziali e Reticoli Punti fissi By Giulia Costantini (819048) & Giuseppe Maggiore (819050) Table of Contents ORDINE PARZIALE... 3 Insieme parzialmente ordinato... 3 Diagramma di Hasse...
DettagliIl sapere tende oggi a caratterizzarsi non più come un insieme di contenuti ma come un insieme di metodi e di strategie per risolvere problemi.
E. Calabrese: Fondamenti di Informatica Problemi-1 Il sapere tende oggi a caratterizzarsi non più come un insieme di contenuti ma come un insieme di metodi e di strategie per risolvere problemi. L'informatica
DettagliFasi di creazione di un programma
Fasi di creazione di un programma 1. Studio Preliminare 2. Analisi del Sistema 6. Manutenzione e Test 3. Progettazione 5. Implementazione 4. Sviluppo 41 Sviluppo di programmi Per la costruzione di un programma
DettagliAppunti di informatica. Lezione 2 anno accademico 2015-2016 Mario Verdicchio
Appunti di informatica Lezione 2 anno accademico 2015-2016 Mario Verdicchio Sistema binario e logica C è un legame tra i numeri binari (0,1) e la logica, ossia la disciplina che si occupa del ragionamento
Dettagli11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni
2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi
DettagliLezione 8. La macchina universale
Lezione 8 Algoritmi La macchina universale Un elaboratore o computer è una macchina digitale, elettronica, automatica capace di effettuare trasformazioni o elaborazioni su i dati digitale= l informazione
DettagliMacchine a stati finiti. Sommario. Sommario. M. Favalli. Le macchine a stati si utilizzano per modellare di sistemi fisici caratterizzabili mediante:
Sommario Macchine a stati finiti M. Favalli Engineering Department in Ferrara 4 Sommario (ENDIF) Analisiesintesideicircuitidigitali / 35 (ENDIF) Analisiesintesideicircuitidigitali 2 / 35 4 Le macchine
Dettagli1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero
1 Giochi a due, con informazione perfetta e somma zero Nel gioco del Nim, se semplificato all estremo, ci sono due giocatori I, II e una pila di 6 pedine identiche In ogni turno di gioco I rimuove una
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
DettagliProof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme
G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero
DettagliIdee guida. Finite State Machine (1) Un automa a stati finiti è definito da una 5- pla: FSM = <Q,,, q0, F>, dove: Finite State Machine (2)
Idee guida ASM = FSM con stati generalizzati Le ASM rappresentano la forma matematica di Macchine Astratte che estendono la nozione di Finite State Machine Ground Model (descrizioni formali) Raffinamenti
Dettaglif(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da
Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede
DettagliRELAZIONI E FUNZIONI. Per ricordare. Figura 1. Figura 2. Figura 3. Figura 4
RELAZIONI E FUNZIONI 3 Per ricordare H Dati due insiemi A e B e una proposizione aperta px,y, con x 2 A e y 2 B, si dice che x eá in relazione con y, e si scrive x R y, sepx,y eá vera; si parla allora
DettagliMatematica in laboratorio
Unità 1 Attività guidate Attività 1 Foglio elettronico Divisibilità tra numeri naturali Costruisci un foglio di lavoro per determinare se a è divisibile per b, essendo a e b due numeri naturali, con a
DettagliFunzioni in C. Violetta Lonati
Università degli studi di Milano Dipartimento di Scienze dell Informazione Laboratorio di algoritmi e strutture dati Corso di laurea in Informatica Funzioni - in breve: Funzioni Definizione di funzioni
DettagliI tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione
Lezioni del 29 settembre e 1 ottobre. 1. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Sia f : A B una funzione da un insieme A ad un insieme B. Sia a A e sia b = f (a) B l elemento che f associa ad a, allora
DettagliSemantica operazionale dei linguaggi di Programmazione
Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione Oggetti sintattici e oggetti semantici Rosario Culmone, Luca Tesei Lucidi tratti dalla dispensa Elementi di Semantica Operazionale R. Barbuti, P.
DettagliStatistica. Lezione 6
Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 6 a.a 011-01 Dott.ssa Daniela Ferrante
DettagliAnno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza
Anno 3 Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza 1 Introduzione In questa lezione parleremo delle funzioni. Ne daremo una definizione e impareremo a studiarne il dominio in relazione alle diverse
DettagliRette e curve, piani e superfici
Rette e curve piani e superfici ) dicembre 2 Scopo di questo articolo è solo quello di proporre uno schema riepilogativo che metta in luce le caratteristiche essenziali delle equazioni di rette e curve
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
DettagliProdotto libero di gruppi
Prodotto libero di gruppi 24 aprile 2014 Siano (A 1, +) e (A 2, +) gruppi abeliani. Sul prodotto cartesiano A 1 A 2 definiamo l operazione (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). Provvisto
DettagliSiamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.
DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti
DettagliMacchine di Turing. a n B B. Controllo Finito
Macchine di Turing Il modello standard di macchina di Turing era un controllo finito, un nastro di input, diviso in celle, e una testina che prende in considerazione una cella del nastro alla volta. Il
DettagliTeoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26
Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo
DettagliCorso di Calcolo Numerico
Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa M.C. De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Sistemi di Numerazione Sistema decimale La
DettagliLinguaggi e Paradigmi di Programmazione
Linguaggi e Paradigmi di Programmazione Cos è un linguaggio Definizione 1 Un linguaggio è un insieme di parole e di metodi di combinazione delle parole usati e compresi da una comunità di persone. È una
DettagliTesti di Esercizi e Quesiti 1
Architettura degli Elaboratori, 2009-2010 Testi di Esercizi e Quesiti 1 1. Una rete logica ha quattro variabili booleane di ingresso a 0, a 1, b 0, b 1 e due variabili booleane di uscita z 0, z 1. La specifica
DettagliFondamenti di Informatica. Computabilità e Macchine di Turing. Prof. Franco Zambonelli Gennaio 2011
Fondamenti di Informatica Computabilità e Macchine di Turing Prof. Franco Zambonelli Gennaio 2011 Letture Consigliate: Roger Penrose, La Mente Nuova dell Imperatore, Sansoni Editrice. Martin Davis, Il
Dettaglib. Che cosa succede alla frazione di reddito nazionale che viene risparmiata?
Esercitazione 7 Domande 1. L investimento programmato è pari a 100. Le famiglie decidono di risparmiare una frazione maggiore del proprio reddito e la funzione del consumo passa da C = 0,8Y a C = 0,5Y.
DettagliRisolvere un problema significa individuare un procedimento che permetta di arrivare al risultato partendo dai dati
Algoritmi Algoritmi Risolvere un problema significa individuare un procedimento che permetta di arrivare al risultato partendo dai dati Il procedimento (chiamato algoritmo) è composto da passi elementari
DettagliLuigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it
Automazione industriale dispense del corso 10. Reti di Petri: analisi strutturale Luigi Piroddi piroddi@elet.polimi.it Analisi strutturale Un alternativa all analisi esaustiva basata sul grafo di raggiungibilità,
DettagliLE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
DettagliEntropia. Motivazione. ? Quant è l informazione portata dalla sequenza? Abbiamo una sequenza S di N simboli (campioni audio, pixel, caratteri,...
Entropia Motivazione Abbiamo una sequenza S di N simboli (campioni audio, pixel, caratteri,... ) s,s 2,s 3,... ognuno dei quali appartiene ad un alfabeto A di M elementi.? Quant è l informazione portata
DettagliOttimizazione vincolata
Ottimizazione vincolata Ricordiamo alcuni risultati provati nella scheda sulla Teoria di Dini per una funzione F : R N+M R M di classe C 1 con (x 0, y 0 ) F 1 (a), a = (a 1,, a M ), punto in cui vale l
DettagliEsercitazione del 16-11-11 Analisi I
Esercitazione del 6-- Analisi I Dott.ssa Silvia Saoncella silvia.saoncella 3[at]studenti.univr.it a.a. 00-0 Esercizio. Determinare se la funzione f() è continua nel suo dominio sin se 0 f() = 0 se = 0
DettagliSchemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana
Schemi delle Lezioni di Matematica Generale Pierpaolo Montana A volte i fenomeni economici che ci interessano non variano con continuitá oppure non possono essere osservati con continuitá, ma solo a intervalli
Dettagli