Indecidibilità del problema della fermata in C

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1 Indecidibilità del problema della fermata in C Si può vedere che si può dimostrare l indecidibilità del problema della fermata usando un qualsiasi linguaggio di programmazione, che è quindi un linguaggio Turing-equivalent. Consideriamo ad esempio il linguaggio C. La tesi del teorema è che non è possibile in C scrivere una funzione int t(int x,y); Tale che: t(x,y) = 0 se la funzione x termina con input y = 1 se la funzione x non termina con input y La definizione di questa funzione presuppone a sua volta l esistenza di una funzione di codifica che data una funzione C ne ricavi la sua enumerazione (ad esempio basandosi sulla codifica ASCII del testo della funzione). Per semplicità ometteremo questa funzione, lasciando intendere che un nome di funzione rappresenti sia una chiamata alla funzione secondo la sintassi consueta del C, sia la sua enumerazione quando usata come variabile intera. La dimostrazione del teorema avviene per assurdo. Supponiamo quindi che sia possibile scrivere in C la funzione t(x,y). Possiamo allora definire la funzione h: int h(int x) {return t(x,x);} Quindi abbiamo che: h(x) = 0 se la funzione x termina con input x = 1 se la funzione x non termina con input x (la funzione h ha lo scopo della MdT Copia nella dimostrazione standard)

2 Indecidibilità del problema della fermata in C Si consideri ora la seguente funzione: int absurd(int x) { int y=0; while(y==0) y = h(x); return y } Vale quindi: absurd(x) non termina se la funzione x termina con input x termina con risultato 1 se la funzione x non termina con input x Se applichiamo la funzione absurd alla propria codifica abbiamo quindi: absurd(absurd) non termina se la chiamata absurd(absurd) termina termina con risultato 1 se la chiamata absurd(absurd) non termina L ipotesi quindi che sia possibile scrivere in C la funzione t(x,y) è quindi non valida. Si noti che le funzioni che abbiamo definito usano il tipo int come se fosse il tipo astratto dei numeri naturali: il tipo int del C non è però in grado di contenere gli enormi numeri che genero considerando la codifica ASCII di funzioni C qualsiasi. La limitatezza della memoria quindi sembra rendere il linguaggio non Turing equivalent. D altra parte, si potrebbe utilizzare una rappresentazione potenzialmente illimitata degli interi usando una lista collegata che ne memorizzi tutte le cifre in una base data, nell ipotesi (non molto realistica, ma approssimabile usando memoria secondaria) che sia sempre disponibile la memoria necessaria per allocare tutti gli elementi necessari.

3 Riducibilita Un problema decisionale P si dice Turing riducibile a un problema P se c è una macchina di Turing che presa qualsiasi istanza p! P come input produce un associata istanza p! P in cui la soluzione di p può essere ricavata dalla soluzione di p. Input Risultato p i! P Riduzione di P a P' p' i! P' Algoritmo per P' Yes/not Teorema - Se un problema decisionale P è indecidibile, e P è riducibile a P, allora è indecidibile! anche il problema P - Se un problema decisionale P è non ricorsivamente enumerabile, e P è riducibile a P,! allora il problema P non è ricorsivamente enumerabile.

4 Teorema di Rice TEOREMA (Rice) :Ogni proprietà non banale dei linguaggi ricorsivamente enumerabili è!! indecidibile In altre parole è impossibile riconoscere per mezzo di una MT le stringhe binarie che rappresentano codici di una MT il cui linguaggio soddisfa la proprietà. [Una proprietà individua un sottoinsieme dei linguaggi Ricorsivamente enumerabili] Esempio: essere un linguaggio Contex-free. La proprietà essere liberi dal contesto individua tutti i linguaggi liberi dal contesto all interno della classe dei linguaggi ricorsivamente enumerabili. Pertanto il teorema di Rice afferma che non esiste una MT capace di decidere se una MT accetti un linguaggio Contex-free. Def. Una proprietà si dice banale se appartiene a tutti i linguaggi ricorsivamente enumerabili oppure a nessuno. Altrimenti si dice non banale. Se P è una proprietà dei linguaggi ricorsivamente enumerabili il linguaggio LP è l insieme dei codici di macchine di Turing Mi tali che L(Mi) è un linguaggio in P, ovvero LP = {Mi : L(Mi )! P} per cui quando parliamo di decidibilità di una proprietà P si intende la decidibilità del linguaggio LP. [In altre parole si pone attenzione al riconoscimento delle MT che accettano quei linguaggi.] Il Teorema di Rice dice in sostanza che non è decidibile poter individuare un sottoinsieme proprio dei linguaggi ricorsivamente enumerabili.

5 Teorema di Rice Sia P una proprietà non banale, allora deve esistere un linguaggio L RE che abbia la proprietà P. Sia ML la macchina che accetta L. La dimostrazione verrà fatta riducendo il linguaggio LH, linguaggio della macchina universale, al linguaggio Lp. x w M Accetta start ML Accetta Accetta M L input della riduzione è la coppia (M,w), l output è la macchina M tale che L(M ) =! se M non accetta w, L(M ) = L se M accetta w. - M simula M su w comportandosi perciò come la macchina Universale. Si osservi che w non è l input alla macchina M. - Se M non accetta w allora M non fa niente e quindi M non accetta nessuna stringa in input e quindi L(M )=!. Poiché assumiamo che! " P ciò significa che il codice di M non è in LP - Se M accetta w allora M comincia a simulare ML sul proprio input x per cui siccome L# $ P il codice di M è in LP Dato che l algoritmo di riduzione trasforma l istanza (M,w) in una macchina M che è in LP se e solo se (M,w) è in LH, dalla indecidibilità di LH segue l indecidibilità di LP

6 Alcune Conseguenze del Teorema di Rice Nell ambito della programmazione. E indecidibile -La decidibilità di ogni problema P (halting Problem) - Dire se un dato programma C va in ciclo infinito su un certo ingresso o termini la sua esecuzine [quindi l impossibilità di definire un perfetto sistema di debugging] - Dire se due programmi C producano lo stesso risultato in corrispondenza degli stessi dati di ingresso. [quindi l impossibilità di definire un programma che controlli la correttezza dei programmi, pertanto siamo costretti ad usare le tecniche di testing per la verifica degli errori in un programma] Nell ambito dei linguaggi E indecidibile - Data una grammatica context-free dire se L(G) = V T * - Date due grammatiche context-free G 1 e G 2 dire se L(G 1 ) = L(G 2 ) - Dati due automi Pushdown dire se accettano precisamente lo stesso linguaggio. - Il linguaggio accettato da una MT contiene la stringa aabb? - Il linguaggio accettato da una MT contiene tutti i numeri pari?

7 Perché ci sono tanti problemi indecidibili? Abbiamo fatto l assunto che risolvere un problema significhi verificare l appartenenza di una stringa ad un linguaggio. L insieme dei linguaggi non è enumerabile (Teorema di Cantor) L insieme dei programmi è enumerabile (data l enumerabilità delle Macchine di Turing) Se ne deduce che ci sono infinitamente meno programmi che problemi. Il motivo per cui sembra che la maggior parte dei problemi sia decidibile è perché focalizziamo l attenzione su problemi semplici e strutturati.

8 Complessità computazionale di una MT Data una Macchina di Turing deterministica M si definisce complessità in tempo di M la funzione t M : N! N tale che t M (n) è il massimo numero di transizioni processate da una computazione di M su una stringa di dimensione n. Data una Macchina di Turing non deterministica si definisce la complessità di una computazione t M (n) come il massimo numero di transizioni effettuate per ogni possibile scelta di transizioni su una stringa di ingresso di lunghezza n.

9 Complessità Computazionale La teoria della Computabilità cattura la nozione di algoritmo nel senso che per ogni problema sia esso decisionale o di calcolo di funzione stabilisce dei criteri per determinare o meno l esistenza di algoritmi risolutivi. La teoria della complessità computazionale cattura la nozione di algoritmo eseguibile in tempo utile ovvero in un tempo che sia accettabile per gli scopi che l algoritmo si prefigge. Es: TRAVELLING SALESMAN: ci sono 10 città collegate tra di loro e per ogni collegamento è data la distanza in Km. Trovare il più piccolo percorso significa analizzare i (10-1)! possibili itinerari ovvero Se tuttavia le città sono ad esempio 40 esistono 39!! itinerari che, supposto di esaminarne al secondo, implicherebbe un tempo di esecuzione irrealizzabile. (Una) Scala di complessità significative O(log n) < O(n) < O(n log n) < P(n) < 2 n Convenzionalmente si stabilisce che i problemi aventi complessità maggiore della polinomiale siano intrattabili (affermazione da prendere comunque con cautela). Es: N 10 > 2 N! N < 59

10 Complessità Computazionale T(n) n n 3 /2 5n 2 Valore di taglio - valore di n al di sotto del quale è più conveniente usare un algoritmo di complessità peggiore rispetto ad un algoritmo di complessità migliore n Es: Ta = 100n Tb = 5n 2 Il programma b risulta più veloce del programma a se n! 20 T(n) 100n 5n 2 n 3 /2 2 n n dim. per dim. per incremento % Supposto di avere una macchina 10 volte più veloce al medesimo costo si osserva come un miglioramento del 900% nella velocità della macchina comporti un miglioramento nella dimensione del problema di solo il 30% se si una un algoritmo esponenziale.

11 Limitazioni polinomiali Una Macchina di Turing deterministica è detta limitata polinomialmente se c è un polinomio P tale per cui: per ogni input x la condizione di halt viene raggiunta in al più P( x ) passi. Un linguaggio si dice polinomialmente decidibile se esiste una macchina di Turing polinomialmente limitata che lo decide. La classe dei linguaggi polinomialmente decidibile è denotata da P. Le macchine di Turing limitate polinomialmente e quindi la classe P, catturano la nozione intuitiva di algoritmo e di problema realisticamente risolvibile. Proprietà di chiusura della classe P La classe P è chiusa rispetto al complemento Se un linguaggio L è decidibile in tempo polinomiale da una macchina M basta considerare la macchina M che inverte la condizione di q Y con q N. Con considerazioni analoghe si può mostrare come P sia chiuso anche rispetto all unione, intersezione e concatenazione.

12 Alcuni problemi per cominciare E conveniente fare una casistica di problemi per verificare la loro appartenenza o meno alla classe P. Esistono infatti taluni problemi che sono tra di loro similari, ma che non apparttengono alla stessa categoria di classi di complessità Abbiamo visto come la CHIUSURA RIFLESSIVA E TRANSITIVA di una relazione sia di complessità polinomiale, ovvero O(n 3 ) Si esamini ora il seguente problema: RAGGIUNGIBILITA Dato un Grafo diretto G = (N,V), dove N={n 1,n 2,...n n } è un insieme finito, esiste un percorso tra n i e n j? E facile verificare come il problema della RAGGIUNGIBILITA è polinomiale in quanto può essere risolto ispezionando la chiusura transitiva del grafo G. Il problema RAGGIUNGIBILITA può essere visto come un problema di tipo decisionale. Nella teoria della Complessità i problemi decisionali hanno un importanza fondamentale.

13 Sulla tipologia di problemi Le tipologie di problemi più comuni possono essere raggruppate nelle seguenti categorie: Decisionali Dato un insieme di istanze del problema P si vuol verificare se un certo predicato (SI/NO) è verificato Ricerca Dato un insieme di istanze del problema P si vuol trovare una possibile soluzione Enumerazione Dato un insieme di istanze del problema P si vuol trovare tutte le possibili soluzioni Ottimizzzazione Dato un insieme di istanze del problema P si vuol trovare la soluzione migliore secondo un criterio di misura prefissato. Esempio1 : Dato un Grafo G, e due nodi u e v in esso, trovare il più lungo cammino che porta da u a v senza passare due volte dallo stesso nodo. Esempio2 : Dato un Grafo G, e due nodi u e v in esso e un intero k, esiste un cammino che porta da u a v di lunghezza " k? Problema di ottimizzazione Problema decisionale Risolvendo il problema di ottimizzazione si risolve quello di decisione per tutti i valori di k. Risolvendo il problema di decisione si risolve quello di ottimizzazione trovando il più piccolo valore di k per cui il problema di decisione risulti vero.

14 Ancora sulla tipologia di problemi I problemi di tipo decisionale hanno l interessante proprietà che è possibile associarvi in modo naturale un linguaggio costituito da tutte le possibili istanze del problema. Inoltre, un problema decisionale ha le seguenti due caratteristiche peculiari: 1. La possibilità di discriminare tra due insiemi di stringhe quelle che corrispondono alle istanze positive (soluzioni del problema) e quelle che corrispondono alle istanze negative (che non sono soluzione del problema o non rappresentano il problema). 2. La non necessità di preoccuparsi del lavoro svolto dall algoritmo per la restituzione del risultato, dato che la risposta al problema è rappresentato da un solo bit (SI/NO) Per questi motivi la teoria della complessità computazionale enfatizza l uso di rappresentazioni di tipo decisionale per i problemi che essa studia.

15 Cicli Eureliani CICLI DI EULERO: Dato un grafo G = (N,V) esiste un percorso chiuso che usi ciascun arco esattamente una volta sola? (Si osservi che il percorso sugli archi può passare un numero arbitrario di volte dai singoli nodi) Un grafo si dice Eureliano se e solo se sono rispettate le due seguenti proprietà 1. Per ogni coppia di nodi u e v " N nessuno dei nodi è isolato ed esiste un percorso da u a v 2. Tutti i nodi hanno un ugual numero di archi entranti ed archi uscenti Euleriano Non Euleriano La complessità del problema è certamente in P in quanto per la proprietà 1 si può far uso dell algoritmo di chiusura riflessiva-transitiva e per la proprietà 2 un conteggio effettuabile in tempo polinomiale.

16 Cicli Hamiltoniani CICLO HAMILTONIANO: Dato un grafo G= (N,V) Esiste un ciclo che passa attraverso ciascun nodo esattamente una sola volta? (Si osservi che il percorso può non usare tutti gli archi) Hamiltoniano A fronte dell apparente similitudine dei due problemi non è stato ancora trovato un algoritmo polinomiale che lo risolva. Dato che il numero dei cicli Hamiltoniani è pari a n! L unico modo possibile consiste nell enumerare tutte le permutazioni dei nodi ed effettuare un test se la permutazione è un ciclo Hamiltoniano.