Non determinismo e grammatiche. Achille Frigeri Dipartimento di Matematica Francesco Brioschi Politecnico di Milano

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1 Non determinismo e grammatiche Achille Frigeri Dipartimento di Matematica Francesco Brioschi Politecnico di Milano

2 Modelli non deterministici - Macchine Automa a stati niti non deterministico (AFN) A = (Σ, Q, i 0, F, δ) con δ : Q Σ (Q) una parola è accettata se esiste almeno una computazione corretta che sia iniziale e nale. Automa a pila non deterministico (APN) A = (Σ, Q, Γ, i 0, F, δ, Z 0 ) con δ : Q (Σ {ε}) Γ (Q Γ ) una parola è accettata se esiste almeno una computazione corretta che sia iniziale e nale.

3 Modelli non deterministici - Grammatiche È un modello intrinsecamente non deterministico produzioni (V = V N V T ) G = (V N, V T, S, P) α β, α, β V αaβ αγβ, α, β, γ V, A V N A α, α V, A V N A ab a ε, A, B V N, a V T grammatiche non ristrette grammatiche sensibili al contesto grammatiche non contestuali grammatiche regolari

4 Automi a stati niti non deterministici - 1 Costruire un automa che riconosca il linguaggio L 2 = (ab) a(ab) I tentativo a a a b b 3 Non va bene, non è deterministico! δ(0, a) = 1? δ(0, a) = 3? Succede poiché la prima volta che leggo a non so a quale blocco appartiene

5 Automi a stati niti non deterministici - 1 Determinizzo la versione non deterministica. a a a b b 3 Ho creato un automa il cui insieme degli stati fosse l'insieme delle parti dell'automa non deterministico.

6 Automi a stati niti non deterministici - 1 Determinizzo la versione non deterministica. a a a b b 3 Ho creato un automa il cui insieme degli stati fosse l'insieme delle parti dell'automa non deterministico. 0

7 Automi a stati niti non deterministici - 1 Determinizzo la versione non deterministica. a a a b b 3 Ho creato un automa il cui insieme degli stati fosse l'insieme delle parti dell'automa non deterministico. a 0 1, 3

8 Automi a stati niti non deterministici - 1 Determinizzo la versione non deterministica. a a a b b 3 Ho creato un automa il cui insieme degli stati fosse l'insieme delle parti dell'automa non deterministico. a a 0 1, 3 2 b

9 Automi a stati niti non deterministici - 1 Determinizzo la versione non deterministica. a a a b b 3 Ho creato un automa il cui insieme degli stati fosse l'insieme delle parti dell'automa non deterministico. a a b 0 1, b

10 Automi a stati niti non deterministici - 1 Determinizzo la versione non deterministica. a a a b b 3 Ho creato un automa il cui insieme degli stati fosse l'insieme delle parti dell'automa non deterministico. a a b 0 1, b a

11 Automi a stati niti non deterministici - 2 Costruire un automa che riconosca il linguaggio L 1 = (ab + aba) a 0 1 b a a 2 3 b È ancora non deterministico, lo determinizzo.

12 Automi a stati niti non deterministici - 2 Costruire un automa che riconosca il linguaggio L 1 = (ab + aba) a 0 1 b a a 2 3 b È ancora non deterministico, lo determinizzo. 0

13 Automi a stati niti non deterministici - 2 Costruire un automa che riconosca il linguaggio L 1 = (ab + aba) a 0 1 b a a 2 3 b È ancora non deterministico, lo determinizzo. a 0 1, 2

14 Automi a stati niti non deterministici - 2 Costruire un automa che riconosca il linguaggio L 1 = (ab + aba) a 0 1 b a a 2 3 b È ancora non deterministico, lo determinizzo. a b 0 1, 2 0, 3

15 Automi a stati niti non deterministici - 2 Costruire un automa che riconosca il linguaggio L 1 = (ab + aba) a 0 1 b a a 2 3 b È ancora non deterministico, lo determinizzo. a b a 0 1, 2 0, 3 0, 1, 2

16 Automi a stati niti non deterministici - 2 Costruire un automa che riconosca il linguaggio L 1 = (ab + aba) a 0 1 b a a 2 3 b È ancora non deterministico, lo determinizzo. a b a 0 1, 2 0, 3 0, 1, 2 b a

17 Determinismo e non determinismo - 1 Si considerino i linguaggi: 1. L 1 = {a n b n n 1} {a n b 2n n 1}; 2. L 2 = {1a n b n n 1} {2a n b 2n n 1}; 3. L 3 = {a n 1b n n 1} {a n 2b 2n n 1}; 4. L 4 = {a n b n 1 n 1} {a n b 2n 2 n 1}; Per ciascuno di essi si dica qual è la macchina e la relativa grammatica a potenza minima che li genera.

18 Determinismo e non determinismo L 1 = {a n b n n 1} {a n b 2n n 1}.

19 Determinismo e non determinismo L 1 = {a n b n n 1} {a n b 2n n 1}. L 1 è unione di due linguaggi riconosciuti da automi a pila deterministici, ma non può essere riconosciuto da un automa a pila deterministico. Un automa a pila non deterministico che lo riconosce è a, A AAA b, A ε a, Z 0 Z 0 AA b, A ε ε, Z 0 Z a, Z 0 Z 0 A b, A ε a, A AA 4

20 Determinismo e non determinismo L 1 = {a n b n n 1} {a n b 2n n 1}. Una grammatica non contestuale che genera L 1 è denita da V N = {S, S 1, S 2 }, V T = {a, b}, assioma S e produzioni S as 1 b as 2 bb S 1 as 1 b ε S 2 as 2 bb ε

21 Determinismo e non determinismo L 1 = {a n b n n 1} {a n b 2n n 1}. Una grammatica non contestuale che genera L 1 è denita da V N = {S, S 1, S 2 }, V T = {a, b}, assioma S e produzioni Infatti S as 1 b as 2 bb S 1 as 1 b ε S 2 as 2 bb ε S as 1 b n a n+1 S 1 b n+1 a n+1 b n+1 as 2 bb n a n+1 S 2 (bb) n+1 a n+1 b 2(n+1)

22 Determinismo e non determinismo L 2 = {1a n b n n 1} {2a n b 2n n 1}.

23 Determinismo e non determinismo L 2 = {1a n b n n 1} {2a n b 2n n 1}. L 2 è unione di due linguaggi riconosciuti da automi a pila deterministici, e anch'esso lo è. Un automa a pila deterministico che lo riconosce è a, Z 0 Z 0 AA a, A AAA b, A ε 2, Z 0 Z 0 b, A ε ε, Z 0 Z , Z 0 Z 0 b, A ε a, Z 0 Z 0 A a, A AA 4

24 Determinismo e non determinismo L 2 = {1a n b n n 1} {2a n b 2n n 1}. Una grammatica non contestuale che genera L 2 è denita da V N = {S, S 1, S 2 }, V T = {a, b, 1, 2}, assioma S e produzioni S 1aS 1 b 2aS 2 bb S 1 as 1 b ε S 2 as 2 bb ε

25 Determinismo e non determinismo L 2 = {1a n b n n 1} {2a n b 2n n 1}. Una grammatica non contestuale che genera L 2 è denita da V N = {S, S 1, S 2 }, V T = {a, b, 1, 2}, assioma S e produzioni Infatti S 1aS 1 b 2aS 2 bb S 1 as 1 b ε S 2 as 2 bb ε S 1aS 1 b n 1a n+1 S 1 b n+1 1a n+1 b n+1 2aS 2 bb n 2a n+1 S 2 (bb) n+1 2a n+1 b 2(n+1)

26 Determinismo e non determinismo L 3 = {a n 1b n n 1} {a n 2b 2n n 1}.

27 Determinismo e non determinismo L 3 = {a n 1b n n 1} {a n 2b 2n n 1}. L 3 è unione di due linguaggi riconosciuti da automi a pila deterministici, e anch'esso lo è. Un automa a pila deterministico che lo riconosce è ε, Z 0 Z 0 a, Z 0 Z 0 A a, A AA 2, A A b, A ε b, A A 1, A A ε, Z 0 Z 0 b, A ε 4

28 Determinismo e non determinismo L 3 = {a n 1b n n 1} {a n 2b 2n n 1}. Una grammatica non contestuale che genera L 3 è denita da V N = {S, S 1, S 2 }, V T = {a, b, 1, 2}, assioma S e produzioni S as 1 b as 2 bb S 1 as 1 b 1 S 2 as 2 bb 2

29 Determinismo e non determinismo L 3 = {a n 1b n n 1} {a n 2b 2n n 1}. Una grammatica non contestuale che genera L 3 è denita da V N = {S, S 1, S 2 }, V T = {a, b, 1, 2}, assioma S e produzioni Infatti S as 1 b as 2 bb S 1 as 1 b 1 S 2 as 2 bb 2 S as 1 b n a n+1 S 1 b n+1 a n+1 1b n+1 as 2 bb n a n+1 S 2 (bb) n+1 a n+1 2b 2(n+1)

30 Determinismo e non determinismo L 4 = {a n b n 1 n 1} {a n b 2n 2 n 1}.

31 Determinismo e non determinismo L 4 = {a n b n 1 n 1} {a n b 2n 2 n 1}. L 4 è unione di due linguaggi riconosciuti da automi a pila deterministici, ma lui non lo è. Un automa a pila non deterministico che lo riconosce è a, A AAA b, A ε a, Z 0 Z 0 AA b, A ε 2, Z 0 Z a, Z 0 Z 0 A a, A AA b, A ε 1, Z 0 Z b, A ε

32 Determinismo e non determinismo L 4 = {a n b n 1 n 1} {a n b 2n 2 n 1}. Una grammatica non contestuale che genera L 4 è denita da V N = {S, S 1, S 2 }, V T = {a, b, 1, 2}, assioma S e produzioni S as 1 b1 as 2 bb2 S 1 as 1 b ε S 2 as 2 bb ε

33 Determinismo e non determinismo L 4 = {a n b n 1 n 1} {a n b 2n 2 n 1}. Una grammatica non contestuale che genera L 4 è denita da V N = {S, S 1, S 2 }, V T = {a, b, 1, 2}, assioma S e produzioni Infatti S as 1 b1 as 2 bb2 S 1 as 1 b ε S 2 as 2 bb ε S as 1 b1 n a n+1 S 1 b n+1 1 a n+1 b n+1 1 as 2 bb2 n a n+1 S 2 (bb) n+1 2 a n+1 b 2(n+1) 2

34 Grammatiche - 1 Si consideri la grammatica con V N = {S, B}, V T = {a, b}, assioma S e produzioni S Sa as bb b SB BBSS BS abba Quale linguaggio genera? Qual è la classe di automi a potenza minima in grado di accettare lo stesso linguaggio?

35 Grammatiche - 1 Si consideri la grammatica con V N = {S, B}, V T = {a, b}, assioma S e produzioni S Sa as bb b SB BBSS BS abba Quale linguaggio genera? Qual è la classe di automi a potenza minima in grado di accettare lo stesso linguaggio? Il linguaggio generato dalla grammatica è a ba. Infatti le prime due regole generano stringhe del tipo a Sa ; quando si applica la regola S bb, si ottiene una stringa del tipo a bba che non potrà derivare nessun'altra stringa perché per riscrivere B occorre che esso compaia vicino a una S; quindi per poter generare una stringa terminale è necessario applicare la regola S b che impedisce ulteriori derivazioni.

36 Grammatiche - 1 Si consideri la grammatica con V N = {S, B}, V T = {a, b}, assioma S e produzioni S Sa as bb b SB BBSS BS abba Quale linguaggio genera? Qual è la classe di automi a potenza minima in grado di accettare lo stesso linguaggio? Il linguaggio generato dalla grammatica è a ba. Infatti le prime due regole generano stringhe del tipo a Sa ; quando si applica la regola S bb, si ottiene una stringa del tipo a bba che non potrà derivare nessun'altra stringa perché per riscrivere B occorre che esso compaia vicino a una S; quindi per poter generare una stringa terminale è necessario applicare la regola S b che impedisce ulteriori derivazioni. Il linguaggio a ba è chiaramente regolare anche se la grammatica non lo è; di conseguenza esso è riconoscibile da un automa a stati niti.

37 Grammatiche - 2 Si scriva una grammatica che generi il linguaggio L = {a n w w {b, c}, # b w = # c w = n, n 1}, Che tipo di grammatica si ottiene?

38 Grammatiche - 2 Si scriva una grammatica che generi il linguaggio L = {a n w w {b, c}, # b w = # c w = n, n 1}, Che tipo di grammatica si ottiene? S asbc abc genero tante a quante BC BC CB commuto le b con le c CB BC B b ogni B diventa b C c ogni C diventa c

39 Grammatiche - 2 Si scriva una grammatica che generi il linguaggio L = {a n w w {b, c}, # b w = # c w = n, n 1}, Che tipo di grammatica si ottiene? S asbc abc genero tante a quante BC BC CB commuto le b con le c CB BC B b ogni B diventa b C c ogni C diventa c La grammatica non è non-contestuale (e neppure regolare). Non è possibile generare lo stesso linguaggio mediante una grammatica non-contestuale perché occorre tenere aggiornati i conteggi sia delle b che delle c per confrontarli con il numero di a letto inizialmente (non basta un automa a pila non-deterministico, serve una MT).

40 Grammatiche - 2 Si scriva una grammatica che generi il linguaggio L = {a n w w {b, c}, # b w = # c w = n, n 1}, Come funziona una MT che riconosce L?

41 Grammatiche - 2 Si scriva una grammatica che generi il linguaggio L = {a n w w {b, c}, # b w = # c w = n, n 1}, Come funziona una MT che riconosce L? leggo l'input da sx a dx e controllo che tra i caratteri che seguono la prima b o la prima c non ci sia alcuna a riavvolgo il nastro di input, uso due nastri di memoria, leggo da sx a dx: per ogni a letta carico un simbolo in ciascun nastro di memoria nite le a per ogni b letta cancello un simbolo dal primo nastro, per ogni c cancello un simbolo dal secondo se nita la lettura dell'input in memoria resta solo Z 0 su entrambi i nastri, accetto

42 Grammatiche - 3 Si costruisca un automa a pila equivalente alla grammatica con V N = {S, A, B}, V T = {a, b, c} assioma S e produzioni S aab A aaa bab c B bbb aba c L'automa a pila ottenuto è deterministico? In caso negativo, è possibile costruirne uno deterministico?

43 Grammatiche - 3 Si costruisca un automa a pila equivalente alla grammatica con V N = {S, A, B}, V T = {a, b, c} assioma S e produzioni S aab A aaa bab c B bbb aba c L'automa a pila ottenuto è deterministico? In caso negativo, è possibile costruirne uno deterministico? ε, Z 0 Z 0 S ε, Z 0 Z ε, S BAa ε, A AAa ε, A BAb ε, B BBb ε, B ABa ε, B c a, a ε b, b ε Non è deterministico, però...

44 Grammatiche - 3 S aab A aaa bab c B bbb aba c Si può sfruttare il fatto che nelle produzioni c'è sempre un solo terminale a sx per ottenere una versione deterministica

45 Grammatiche - 3 S aab A aaa bab c B bbb aba c Si può sfruttare il fatto che nelle produzioni c'è sempre un solo terminale a sx per ottenere una versione deterministica ε, Z 0 Z 0 S ε, Z 0 Z a, S BA a, A AA a, B AB b, A BA a, B BB c, A ε c, B ε

46 Grammatiche - 4 Si considerino i seguenti linguaggi: L 1 = {a n b 2m n, m 1} e L 2 = {a n b 3n n 0}. Esibire una grammatica che generi il linguaggio L = L 1 L 2. È preferibile una grammatica a potenza minima, si spieghi brevemente perché non esistono grammatiche appartenenti a classi inferiori a quella proposta.

47 Grammatiche - 4 Si considerino i seguenti linguaggi: L 1 = {a n b 2m n, m 1} e L 2 = {a n b 3n n 0}. Esibire una grammatica che generi il linguaggio L = L 1 L 2. È preferibile una grammatica a potenza minima, si spieghi brevemente perché non esistono grammatiche appartenenti a classi inferiori a quella proposta. Il linguaggio il linguaggio L = L 1 L 2 è l'insieme {a 2n b 6n n 1}, infatti L 1 è il linguaggio delle stringhe con un numero pari di b che seguono un numero qualunque di a e tra le stringhe di L 2 del tipo a n b 3n, quelle che appartengono anche a L 1 sono esattamente quelle con un numero pari di b, ossia quelle nella forma a 2n b 3 (2n) = a 2n b 6n.

48 Grammatiche - 4 Si considerino i seguenti linguaggi: L 1 = {a n b 2m n, m 1} e L 2 = {a n b 3n n 0}. Esibire una grammatica che generi il linguaggio L = L 1 L 2. È preferibile una grammatica a potenza minima, si spieghi brevemente perché non esistono grammatiche appartenenti a classi inferiori a quella proposta.

49 Grammatiche - 4 Si considerino i seguenti linguaggi: L 1 = {a n b 2m n, m 1} e L 2 = {a n b 3n n 0}. Esibire una grammatica che generi il linguaggio L = L 1 L 2. È preferibile una grammatica a potenza minima, si spieghi brevemente perché non esistono grammatiche appartenenti a classi inferiori a quella proposta. L = {a 2n b 6n n 1}

50 Grammatiche - 4 Si considerino i seguenti linguaggi: L 1 = {a n b 2m n, m 1} e L 2 = {a n b 3n n 0}. Esibire una grammatica che generi il linguaggio L = L 1 L 2. È preferibile una grammatica a potenza minima, si spieghi brevemente perché non esistono grammatiche appartenenti a classi inferiori a quella proposta. L = {a 2n b 6n n 1} L è generato dalla grammatica con V N = {S, A, B}, V T {a, b}, assioma S e produzioni: S ASB AB A aa B bbbbbb

51 Grammatiche - 4 Si considerino i seguenti linguaggi: L 1 = {a n b 2m n, m 1} e L 2 = {a n b 3n n 0}. Esibire una grammatica che generi il linguaggio L = L 1 L 2. È preferibile una grammatica a potenza minima, si spieghi brevemente perché non esistono grammatiche appartenenti a classi inferiori a quella proposta. L = {a 2n b 6n n 1} L è generato dalla grammatica con V N = {S, A, B}, V T {a, b}, assioma S e produzioni: S ASB AB A aa B bbbbbb È necessario che sia almeno non contestuale, poiché L non è regolare (serve una pila per il suo riconoscimento).

52 Grammatiche - 4 L = {a 2n b 6n n 1} L è generato dalla grammatica con V N = {S, A, B}, V T {a, b}, assioma S e produzioni: S ASB AB A aa B bbbbbb Perché funziona?

53 Grammatiche - 4 L = {a 2n b 6n n 1} L è generato dalla grammatica con V N = {S, A, B}, V T {a, b}, assioma S e produzioni: S ASB AB A aa B bbbbbb Perché funziona? con n 0. S n A n SB n A n+1 B n+1 a 2(n+1) b 6(n+1)

54 Grammatiche - 5 Esibire una grammatica che generi il linguaggio L = {a n (bc) m n, m 1, m < n/2} È preferibile una grammatica a potenza minima.

55 Grammatiche - 5 Esibire una grammatica che generi il linguaggio L = {a n (bc) m n, m 1, m < n/2} È preferibile una grammatica a potenza minima. Non può essere generato da una grammatica regolare, perché serve almeno una pila per tenere conto delle occorrenze di a.

56 Grammatiche - 5 Esibire una grammatica che generi il linguaggio L = {a n (bc) m n, m 1, m < n/2} È preferibile una grammatica a potenza minima. Non può essere generato da una grammatica regolare, perché serve almeno una pila per tenere conto delle occorrenze di a. L è generato dalla grammatica con V N = {S, A, B}, V T {a, b}, assioma S e produzioni: S ASB aaaabc A aa B bc ε

57 Grammatiche - 5 Esibire una grammatica che generi il linguaggio L = {a n (bc) m n, m 1, m < n/2} È preferibile una grammatica a potenza minima. Non può essere generato da una grammatica regolare, perché serve almeno una pila per tenere conto delle occorrenze di a. L è generato dalla grammatica con V N = {S, A, B}, V T {a, b}, assioma S e produzioni: S ASB aaaabc A aa B bc ε È non contestuale, e quindi a potenza minima per quanto osservato prima.

58 Grammatiche - 5 L = {a n (bc) m n, m 1, m < n/2} L è generato dalla grammatica con V N = {S, A, B}, V T {a, b}, assioma S e produzioni: S ASB aaaabc A aa B bc ε Perché funziona?

59 Grammatiche - 5 L = {a n (bc) m n, m 1, m < n/2} L è generato dalla grammatica con V N = {S, A, B}, V T {a, b}, assioma S e produzioni: S ASB aaaabc A aa B bc ε Perché funziona? S n A n SB n A n aaaabcb n a 2(n+2) (bc) n +1 con 0 n n, dunque n + 1 < 2(n + 2)/2.

60 Grammatiche - 6 Esibire una grammatica che generi il linguaggio L = {a n b 3n n 0} {a n (bbbc) n n 0}. Si descriva a grandi linee una macchina a potenza minima che riconosca L.

61 Grammatiche - 6 Esibire una grammatica che generi il linguaggio L = {a n b 3n n 0} {a n (bbbc) n n 0}. Si descriva a grandi linee una macchina a potenza minima che riconosca L. L è generato dalla grammatica con V N = {S, A, B}, V T {a, b}, assioma S e produzioni: S X Y ε X axbbb abbb Y aybbbc abbbc

62 Grammatiche - 6 Esibire una grammatica che generi il linguaggio L = {a n b 3n n 0} {a n (bbbc) n n 0}. Si descriva a grandi linee una macchina a potenza minima che riconosca L. L è generato dalla grammatica con V N = {S, A, B}, V T {a, b}, assioma S e produzioni: S X Y ε X axbbb abbb Y aybbbc abbbc S X n a n X (bbb) n a n+1 (bbb) n+1 ε Y n a n Y (bbbc) n a n+1 (bbbc) n+1

63 Grammatiche - 6 L = {a n b 3n n 0} {a n (bbbc) n n 0}. La grammatica proposta è non-contestuale, è suciente un automa a pila (ma eventualmente non deterministico)

64 Grammatiche - 6 L = {a n b 3n n 0} {a n (bbbc) n n 0}. La grammatica proposta è non-contestuale, è suciente un automa a pila (ma eventualmente non deterministico) Si può progettare un automa a pila deterministico che riconosca L: per ogni a impila un simbolo (ponendo lo stato iniziale tra quelli nali, accetta anche la stringa vuota) ricevuto il primo b ne conta altri due dopo aver letto le prime 3 b, si sposta in due stati diversi a seconda che il carattere successivo sia b o c (e ovviamente va in uno stato di errore se non si verica nessuna delle circostanze previste) da questo punto in poi verica che per ogni simbolo impilato si trovino 3 b oppure 3 b seguite da c a seconda dello stato scelto al punto precedente.

65 Grammatiche - 7** Ricordando che: se L è un linguaggio, il suo riesso L R è il linguaggio ottenuto da L scrivendo ogni sua stringa in ordine inverso; una famiglia F di linguaggi si dice chiusa rispetto alla riessione se per ogni L F anche L R F dire quali delle seguenti famiglie di linguaggi sono chiuse rispetto all'operazione di riessione: 1. i linguaggi non contestuali 2. i linguaggi regolari 3. i linguaggi generati da grammatiche non ristrette 4. i linguaggi riconosciuti da automi a pila deterministici

66 Grammatiche - 7** Se L è un linguaggio, il suo riesso L R è il linguaggio ottenuto da L scrivendo ogni sua stringa in ordine inverso; una famiglia F di linguaggi si dice chiusa rispetto alla riessione se per ogni L F anche L R F.

67 Grammatiche - 7** Se L è un linguaggio, il suo riesso L R è il linguaggio ottenuto da L scrivendo ogni sua stringa in ordine inverso; una famiglia F di linguaggi si dice chiusa rispetto alla riessione se per ogni L F anche L R F. 1. Data una grammatica G non-contestuale che genera il linguaggio L, la grammatica G R ottenuta trasformando ogni produzione di G del tipo A α, nella produzione A α R, genera evidentemente L R. Dunque la famiglia dei linguaggi non-contestuali è chiusa rispetto la riessione.

68 Grammatiche - 7** Se L è un linguaggio, il suo riesso L R è il linguaggio ottenuto da L scrivendo ogni sua stringa in ordine inverso; una famiglia F di linguaggi si dice chiusa rispetto alla riessione se per ogni L F anche L R F.

69 Grammatiche - 7** Se L è un linguaggio, il suo riesso L R è il linguaggio ottenuto da L scrivendo ogni sua stringa in ordine inverso; una famiglia F di linguaggi si dice chiusa rispetto alla riessione se per ogni L F anche L R F. 2. Analogamente al precedente, data una grammatica G regolare che genera il linguaggio L, la grammatica G R ottenuta trasformando ogni produzione di G del tipo A ab, nella produzione A Ba, genera evidentemente L R. Dunque la famiglia dei linguaggi regolari è chiusa rispetto la riessione visto che le grammatiche regolari a sinistra o regolari a destra sono tra loro equivalenti e generano entrambe tutti e soli i linguaggi regolari.

70 Grammatiche - 7** Se L è un linguaggio, il suo riesso L R è il linguaggio ottenuto da L scrivendo ogni sua stringa in ordine inverso; una famiglia F di linguaggi si dice chiusa rispetto alla riessione se per ogni L F anche L R F.

71 Grammatiche - 7** Se L è un linguaggio, il suo riesso L R è il linguaggio ottenuto da L scrivendo ogni sua stringa in ordine inverso; una famiglia F di linguaggi si dice chiusa rispetto alla riessione se per ogni L F anche L R F. 3. Una grammatica G non ristretta è equivalente ad una macchina di Turing. Quindi data una MT che riconosce L basta costruirne una che inverta la stringa di ingresso in un nastro ausiliario e successivamente simuli il comportamento della MT originaria usando il nastro ausiliario al posto del nastro di ingresso. Dunque anche la famiglia dei linguaggi generati da grammatiche non ristrette è chiusa rispetto la riessione.

72 Grammatiche - 7** Se L è un linguaggio, il suo riesso L R è il linguaggio ottenuto da L scrivendo ogni sua stringa in ordine inverso; una famiglia F di linguaggi si dice chiusa rispetto alla riessione se per ogni L F anche L R F.

73 Grammatiche - 7** Se L è un linguaggio, il suo riesso L R è il linguaggio ottenuto da L scrivendo ogni sua stringa in ordine inverso; una famiglia F di linguaggi si dice chiusa rispetto alla riessione se per ogni L F anche L R F. 4. La famiglia dei linguaggi riconosciuti da automi a pila deterministici non è chiusa rispetto la riessione. Infatti il linguaggio L = {0a n b n } {1a n b 2n } è riconosciuto da un automa a pila deterministico, mentre il suo riesso L R = {b n a n 0} {b 2n a n 1} non lo è.

74 Grammatiche - 8*** Si considerino le seguenti denizioni: 1. una grammatica si dice lineare a destra se le sue produzioni sono del tipo A Bx, x V T, oppure A x, x V T ; 2. una grammatica si dice lineare a sinistra se le sue produzioni sono del tipo A xb, x V T, oppure A x, x V T ; 3. una grammatica si dice lineare a destra o a sinistra se le sue produzioni sono del tipo A Bx, x V T, oppure A xb, x V T, oppure A x, x V T ; 4. una grammatica si dice lineare se le sue produzioni sono del tipo A ybx, x, y V T, oppure A x, x V T. Si confrontino tra loro e con i modelli di calcolo noti le potenze generative delle grammatiche denite sopra.

75 Grammatiche - 8*** 1. Una grammatica si dice lineare a destra se le sue produzioni sono del tipo A Bx, x V T, oppure A x, x V T.

76 Grammatiche - 8*** 1. Una grammatica si dice lineare a destra se le sue produzioni sono del tipo A Bx, x V T, oppure A x, x V T. Le grammatiche lineari a destra sono una sorta di abbreviazione delle grammatiche regolari: infatti, ad esempio la produzione A Bac può essere trasformata nella coppia di produzioni regolari equivalenti A A 1 c; A 1 Ba con A 1 simbolo nuovo. Quindi tali grammatiche sono equipotenti agli automi a stati niti.

77 Grammatiche - 8*** 2. Una grammatica si dice lineare a sinistra se le sue produzioni sono del tipo A xb, x V T, oppure A x, x V T.

78 Grammatiche - 8*** 2. Una grammatica si dice lineare a sinistra se le sue produzioni sono del tipo A xb, x V T, oppure A x, x V T. Le grammatiche lineari a sinistra sono una sorta di abbreviazione delle grammatiche regolari: infatti, ad esempio la produzione A acb può essere trasformata nella coppia di produzioni regolari equivalenti A aa 1 ; A 1 cb con A 1 simbolo nuovo. Quindi tali grammatiche sono equipotenti agli automi a stati niti ed equipotenti alle grammatiche lineari a destra.

79 Grammatiche - 8*** 3. Una grammatica si dice lineare a destra o a sinistra se le sue produzioni sono del tipo A Bx, x V T, oppure A xb, x V T, oppure A x, x V T ; 4. una grammatica si dice lineare se le sue produzioni sono del tipo A ybx, x, y V T, oppure A x, x V T.

80 Grammatiche - 8*** 3. Una grammatica si dice lineare a destra o a sinistra se le sue produzioni sono del tipo A Bx, x V T, oppure A xb, x V T, oppure A x, x V T ; 4. una grammatica si dice lineare se le sue produzioni sono del tipo A ybx, x, y V T, oppure A x, x V T. Le grammatiche lineari a destra o a sinistra sono un caso particolare delle grammatiche lineari, quindi non sono più potenti di esse. Inoltre ogni produzione del tipo A xby di una grammatica lineare, può essere trasformata nella coppia di produzioni A xa 1, A 1 By di una grammatica lineare a destra o a sinistra (con A 1 simbolo nuovo); di conseguenza non sono più potenti di esse. Ne segue che i due formalismi sono equivalenti.

81 Grammatiche - 8*** 3. una grammatica si dice lineare se le sue produzioni sono del tipo A ybx, x, y V T, oppure A x, x V T.

82 Grammatiche - 8*** 3. una grammatica si dice lineare se le sue produzioni sono del tipo A ybx, x, y V T, oppure A x, x V T. Le grammatiche lineari sono un caso particolare di quelle non-contestuali, quindi ogni linguaggio generato da una grammatica lineare è sicuramente riconosciuto da un automa a pila non deterministico. NB: si potrebbe provare (ma non è semplice) che non vale il viceversa.