Linguaggio Formale 2

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Annibale Valli
5 anni fa
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1 Linguaggio Formale 2 Ex: Per generare il linguaggio L(G 1 ) = {a n b n c n } si può usare la grammatica G 1 = < {A,B,C}, {a,b,c}, P, A > Con regole di produzione P: 1. A abc 2. A abbc 3. Bb bb 4. Bc Cbcc 5. bc Cb 6. ac aab 7. ac aa Come si fa a generare una stringa? Come si fa a progettare una grammatica?

2 Esempio di generazione 1. A abc 2. A abbc 3. Bb bb 4. Bc Cbcc 5. bc Cb 6. ac aab 7. ac aa Si introduce il cursore B il cursore B scorre verso dx Si introduce il cursore C il cursore C scorre verso sin Si reitera il loop Si ferma il loop Generazione della stringa aaabbbccc Generazione della stringa aabbcc A 2 abbc 3 abbc 4 abcbcc 5 acbbcc 7 aabbcc per cui: A *aabbcc Nota: i numeri indicano le regole applicate A 2 abbc 3 abbc 4 abcbcc 5 acbbcc 6 aabbbcc 3 aabbbcc 3 aabbbcc 4 aabbcbccc 5 aabcbbccc 5 aacbbbccc 7 aaabbbccc per cui: A *aaabbbccc Ogni passo intermedio della derivazione da origine ad una forma di frase ovvero una stringa contenente almeno un simbolo non terminale.

3 Esempio di generazione cont. Grammatica G 2 per la generazione di stringhe aritmetiche data da G 2 = < {S,T,I},{a,b,c,+,*}, P, S > Con produzioni P: S S+T T T I*T I I a b c Es.1 Pertanto: S S+T T+T I+T a+ T a+i*t a+b*t a+b*i a+b*c S * a+b*c Es.2 Pertanto: S T I*T a*t a*i*t a*b*t a*b*c S * a*b*c

4 Esempio di generazione cont. Grammatica G 10 per la generazione del linguaggio delle espressioni regolari su Σ = {a,b,c} Con produzioni P: G 2 = < {E},{a,b,c,+,,*,(,),φ}, P, E > E φ a b c E (E + E) E (E E) E E* Notare che le produzioni corrispondono alle regole ricorsive che avevamo usato per definire la sintassi delle espressioni regolari

5 Backtracking Il bactracking è un fenomeno che usualmente si verifica quando si intende generare una data stringa. In assenza di particolari strategie il processo di generazione può incorrere in percorsi ingannatori che porterebbero (erroneamente) a concludere che non vi sia un processo di generazione valida. Si consideri ad esempio ancora la Grammatica G 2 per la generazione di stringhe aritmetiche data con produzioni P: S S+T T T I*T I I a b c Supponiamo di voler generare la stringa a+b*c, un erronea scelta delle produzioni da applicare (come ad esempio S T I*T a*t a*i*t a*b*t a*b*c ) ci porterebbe a dire che la stringa non è generabile. Questa conclusione (la non generabilità) la si può tuttavia dare solo se si sono fatti tutti i tentativi di sostituzione possibile. L accorgersi quindi che è stata raggiunta una stringa non voluta fa sì che si inneschi un azione di bactracking volta a ricercare il percorso voluto (sempre che esso esista!). Nell esempio precedente poiché la scelta S T porta alla generazione della stringa a*b*c, occorre tornare indietro (backtracking) per vedere se per caso un diversa scelta della produzione poteva condurre alla stringa voluta, cioè a+b*c.

6 Grammatiche Equivalenti Due Grammatiche G e G si dicono equivalenti se definiscono lo stesso linguaggio ovvero L(G) = L(G ) Ex1 La grammatica G 3 con produzioni Si osservi come la costruzione della A aa b stringa aaaaab venga fatta da È equivalente a G 4 con produzioni sinistra verso destra per la grammatica G 3 A b Sb e da destra verso sinistra per la grammatica G 4 S Sa a Ex2: La seguente grammatica G 5 che genera stringhe a n b n c n è equivalente alla grammatica G 1 vista in precedenza G 5 S absc abc Ba ab Bb bb G 1 A abbc abc Bb bb Bc Cbcc bc Cb ac aab aa

7 Grammatiche Equivalenti G 5 S absc abc Ba ab Bb bb S a B S c a B a B S c c a B a B a b c c c a a B B a b c c c a a B a B b c c c a a a B b b c c a a a b b b c c c G 1 A abbc abc Bb bb Bc Cbcc bc Cb ac aab aa A abbc abbc abcbcc acbbcc aabbbcc aabbbcc aabbbcc aabbcbccc aabcbbccc aacbbbccc aaabbbccc L equivavelza di due grammatiche è una proprietà indecidibile. Ciò significa che non esiste un algoritmo generale per verificare che due grammatiche siano equivalenti.

8 Classificazione di Chomsky Grammatiche a struttura di frase (Tipo 0) p q con p = a X b, X V N e a,b,q V* Grammatiche contestuali (Tipo 1) i) p q p = a X b, X V N e a,b V* e q V + p q ii) u X v u x v con u,v V*, X V N, x V + Grammatiche non constestuali (Tipo 2) X x X V N e x V + Grammatiche Regolari (Tipo 3) X t Y X t con t V T * X, Y V N

9 Esempi di Linguaggi di tipo 0 1. La Grammatica G 6 con produzioni: S asa aab aaa ε aaa a ε aaab b ε È una grammatica di tipo 0. Si osservi come in questo tipo di grammatiche sia possibile accorciare le forme di frase 2. La Grammatica G 7 con produzioni: S aab aa aaab A ε Che genera il linguaggio formato da stringhe a n b n è anch essa di tipo 0

10 Esempi di linguaggi di tipo 1 La Grammatica G 1 che genera il linguaggio a n b n c n è di tipo 1 G 1 A abc A abbc Bb bb Bc Cbcc bc Cb ac aab ac aa Che significato dare al fatto che G 1 riconosce sequenze di a n b n c n analogamente alla grammatica G 5? - Le due grammatiche sono equivalenti

11 Esempi di linguaggi di tipo2 La Grammatica G 2 S S+T T T I*T I I a b c che riconosce stringhe aritmetiche è di tipo 2 La Grammatica G 8 con produzioni: S asb a b Che riconosce stringhe a n b n è una grammatica di tipo 2 [Cosa dire tra la grammatica G 8 con la grammatica G 7 vista in precedenza?] G 7 S aab aa aaab A ε

12 Esempi di linguaggi regolari La Grammatica G 9 (regolare sinistra) con produzioni Identifier Letter Identifier Letter Identifier Digit Letter a b c. z Digit Riconosce il linguaggio degli identificatori in un linguaggio di programmazione La Grammatica G 3 (regolare a destra) con produzioni A a A A b Riconosce stringhe a n b [Si osservi che la regolarità destra/sinistra è soltanto di comodo essendo possibile descrivere il medesimo linguaggio regolare indifferentemente con grammatica regolare sinistra o destra]. Ad esempio il linguaggio a n b può essere descritto dalla Grammatica regolare A sinistra G 4 con produzioni A b S b S Sa a

13 Le ε-produzioni Per quanto detto fino ad ora la presenza di ε-produzioni in una grammatica fa sì che il processo generativo porta a forme sentenziali che si accorciano, in particolare ci consentono di generare la stringa vuota che, come abbiamo visto, è tipico solo delle grammatiche di tipo 0. Tuttavia le ε-produzioni possono presentarsi anche nelle grammatiche di tipo 1, 2 e 3, come abbiamo visto negli esempi. Ciò significa che le ε-produzioni possono essere aggiunte a grammatiche di tipo 1, 2 o 3 se lo si ritiene conveniente per motivi definizionali. Data una grammatica G = < V N,V T,P,S> (di tipo 1,2, o 3) che genera il linguaggio L, per poter generare il linguaggio L =L {ε} basta considerare la grammatica G = G = < V N {S },V T,P,S > Dove P = P {S ε} {S x S x P } G 5 S absc abc Ba ab Bb bb G 5 S absc abc ε S absc abc Ba ab Bb bb

14 Le ε-produzioni L aggiunta di ε-produzioni può comportare effetti diversi a seconda se vengono aggiunte a grammatiche di tipo 1, 2 o 3. Si può mostrare come l aggiunta di opportune ε-produzioni a grammatiche di tipo 1 comporti come la grammatica si trasformi in una grammatica di tipo 0, in altre parole le ε-produzioni aumentano il potere generativo delle grammatiche. Mentre invece l aggiunta di ε-produzioni a grammatiche di tipo 2 o 3 non altera il potere generativo della grammatica. Si può infatti dimostrare che data una grammatica di tipo 2 o 3 con ε-produzioni è sempre possibile trasformarla in una equivalente dello stesso tipo in cui o non ci sono ε-produzioni o esiste una ε- produzione solo a partire dall assioma (se ε-appartiene al linguaggio). Es 1 S bx a B B cx X ε S b a B B c Es 2 S AB a B B A ab a B B cx X X ε S AB a B B A ab a B B c ε S AB A a B a B ε A ab a B a B c

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