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1 PROGRAMMAZIONE AA LA RICORSIONE AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 1/18

2 LA RICORSIONE Il concetto di ricorsione nasce dalla matematica Una funzione matematica è definita ricorsivamente quando nella sua definizione compare un riferimento a se stessa Esempio: n! Il fattoriale di n Definizione iterativa n! = n*(n-1)*(n-2)* *2*1 Definizione ricorsiva: f(n) = n* f (n-1) se n>0 n! = n*(n-1)! f(n) = 1 se n=0 0! = 1 (assioma) AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 2/18

3 LA RICORSIONE Una definizione ricorsiva è specificata tramite Clausola ricorsiva (relazione di ricorrenza) Assioma Principio di induzione Se un predicato P sull insieme N gode delle seguenti proprietà: P(0) è vero da P(k) vero discende la verità di P(k+1) allora P è vero per qualsiasi n appartenente ad N Essenziale disporre dell assioma o passo base Alcuni problemi sono intrinsecamente ricorsivi AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 3/18

4 PROBLEMI RICORSIVI Esempi Somma dei primi numeri naturali somma (n) = n + somma (n-1) somma (n) = 0 se n=0 Generare l n-esimo termine della serie di Fibonacci fib (n) = fib (n-1) + fib (n-2) fib(n) = 1 se n=1 fib(n) =0 se n=0 AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 4/18

5 VARIE PROSPETTIVE Definizione ricorsiva Un oggetto è definito in termini di se stesso Esempio: la definizione di grafo di flusso strutturato Esempio: la definizione di identificatore Scomposizione ricorsiva di problemi Il problema di partenza è scomposto in sottoproblemi formalmente identici al problema di partenza, ma di ordine man mano inferiore sino a giungere ad un sottoproblema banale di cui si conosce la soluzione Algoritmo ricorsivo Un compito è risolto applicando lo stesso algoritmo ad un dominio man mano ridotto rispetto a quello originale Sottoprogrammi ricorsivi Unità di programma nel cui corpo invocano se stessi (Ricorsione lineare o non lineare) Ricorsione mutua (A chiama B che, a sua volta, chiama A) AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 5/18

6 PROGRAMMAZIONE RICORSIVA Molti linguaggi (tra cui il C ) offrono la possibilità di definire sottoprogrammi ricorsivi. Dipende dalla modalità di gestione delle attivazioni In C, le chiamate ricorsive vengono gestite come chiamate normali AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 6/18

7 FATTORIALE DI N int fattoriale(unsigned int n) { int risult; if (n = = 0) risult = 1; else risult = n * fattoriale (n-1); /* ricorsione */ return risult; } int iter_fatt (unsigned int n) { int i, risult=1; for (i=2, i<=n; i++) risult = risult * i; return risult; } AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 7/18

8 SOTTOPROGRAMMI ATTIVATI RICORSIVAMENTE Per ogni chiamata della stessa unità viene caricato nello Stack un diverso r.a. Prima che sia terminata l attivazione precedente avviene una nuova attivazione della stessa unità di programma Esempio fattoriale (3) innesca una catena di invocazioni sino a fattoriale (0). Nello Stack ci saranno 4 r.a. fattoriale (0) fattoriale (1) fattoriale (2) AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 8/18 fattoriale (3)

9 SOTTOPROGRAMMI ATTIVATI RICORSIVAMENTE fattoriale(3) fattoriale (2) fattoriale (1) fattoriale (0) ULTIMA CHIAMATA produce 1 return 1*1 return 2*1 return 3*2 viene passato 6 L ultima chiamata corrisponde al passo base (condizione di terminazione) Il valore di ritorno viene costruito a ritroso : man mano che vengono deallocati i r.a. sino all innesco delle chiamate ricorsive AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 9/18

10 DISCUSSIONE Algoritmi eleganti, sinteticità e semplici Soluzioni ricorsive sono vicine alla definizione matematica di molte funzioni La implementazione è pesante Le versioni iterative sono generalmente più efficienti delle ricorsive Qualunque algoritmo ricorsivo è risolubile anche iterativamente AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 10/18

11 RICORSIONE LINEARE Somma dei primi n numeri naturali int sum (unsigned int n) { int risult; if (n = = 0) risult = 0; else risult = n+ sum (n-1); /* ricorsione */ return risult; } AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 11/18

12 RICORSIONE NON LINEARE N-esimo numero di Fibonacci int fib (unsigned int n) { int risult; if (n = = 0) risult = 0; else if (n = = 1) risult = 1; else risult = fib (n-1) + fib (n- 2); return risult; } int fib (unsigned int n) { switch(n) { case 0: return 0; break; case 1: return 1; break; default: return (fib (n-1) + fib (n-2) ); } } ATT.NE alla STRUTTURAZIONE (più di un return) AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 12/18

13 Esercizio 1 int funz (unsigned int n); main () { int x, y; scanf( %d,&x); y = funz (x); printf (y); } int funz (unsigned int n) { int risult; if (n = = 0) risult = 1; else risult = n * (funz (n-1) +1); return risult; } Verificare che l output prodotto dal programma in corrispondenza di input 4 sia 88 AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 13/18

14 Esercizio 2 Scrivere una funzione C che riceva due parametri interi x ed y e restituisca il valore f(x, y) dove la funzione f è definita come segue: f(x,y) = 1 se y =0 3+ f (x, y-1) se y>0 Risolvere l esercizio proposto AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 14/18

15 ESERCIZI sulla RICORSIONE Stampare al contrario una sequenza di caratteri terminata da. letta in ingresso (senza usare il tipo array e stringa) Es. ROMA. AMOR Riformuliamo il problema: Invertire una sequenza di caratteri E una procedura (non una funzione) Una soluzione iterativa ha bisogno di un array di caratteri Vedere Algoritmo iterativo per invertire un array AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 15/18

16 ESERCIZI sulla RICORSIONE Se la sequenza contiene una sola lettera allora Scrivila (il problema è risolto) altrimenti: Rimuovi la prima lettera dalla sequenza Inverti la sequenza rimanente Appendi in coda la lettera rimossa AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 16/18

17 ESERCIZI sulla RICORSIONE Invertire ROMA ROMA (4 lettere): rimuovi R, inverti OMA OMA (3 lettere): rimuovi O, inverti MA MA (2 lettere): rimuovi M, inverti A» A (1 lettera): è già invertita Appendi M : AM Appendi O : AMO Appendi R : AMOR AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 17/18

18 ESERCIZI sulla RICORSIONE Determinare del massimo/minimo in un array Calcolo della lunghezza di una sequenza di elementi Generare le permutazioni degli elementi di un insieme Ricerca sequenziale e binaria Algoritmi di ordinamento (per selezione, per partizionamento, per fusione, ) AA Prof.ssa A. Lanza - DIB 18/18

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