Ricorsione. (da lucidi di Marco Benedetti)

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1 Ricorsione (da lucidi di Marco Benedetti)

2 Funzioni ricorsive Dal punto di vista sintattico, siamo in presenza di una funzione ricorsiva quando all interno della definizione di una funzione compaiono una o più invocazioni alla funzione che si sta definendo; in altre parole, la funzione ricorre a se stessa per svolgere il proprio compito; Questo tipo di ricorsione è chiamata ricorsione diretta; esistono casi più complessi, come quello in cui nel corpo della funzione f 1 si invoca la funzione f 2 e al tempo stesso nel corpo di f 2 si invoca la funzione f 1 (si parla in questo caso di mutua ricorsione); esistono tipi di ricorsione ancora più generali, ma in questa lezione ci limitiamo alla ricorsione semplice; Le funzioni ricorsive non sono -come potrebbe sembrare- condannate a non terminare mai, perchè l invocazione ricorsiva (o, brevemente: ricorsione) non avviene incondizionatamente; ci devono essere, al contrario, dei casi in cui la funzione spezza la catena della ricorsione e riesce a calcolare il risultato che le è richiesto senza ulteriori invocazioni ricorsive; Le funzioni ricorsive risultano estremamente comode nella codifica di tutti gli algoritmi modellati su un procedimento di soluzione induttivo.

3 Formulazioni induttive Una soluzione induttiva ad un problema è caratterizzata dall individuazione di una dimensione lungo la quale il problema può essere semplificato/ridotto/rimpiccolito; lungo tale dimensione si incontrano quindi istanze più piccole - cioè più semplici - dello stesso problema; Una volta individuata la dimensione lungo la quale muoversi, si specificano i due seguenti passi fondamentali: il caso base, cioè la classe di istanze sufficientemente piccole (quindi sifficientemente semplici) da poter essere risolte in maniera diretta (senza ricorsione); il caso induttivo, cioè la classe delle istanze restanti che - pur non essendo direttamente risolvibili - si prestano ad essere risolte tramite un procedimento di questo tipo: 1. si estrapolano/estraggono/deducono dall istanza in considerazione una o più istanze dello stesso problema che risultano più piccole di quella di partenza; 2. si suppone di saper risolvere direttamente tali istanze (in realtà: si applica ricorsivamente il procedimento che si sta definendo); 3. si compongono in qualche modo le soluzioni a tali istanze e si fanno i calcoli opportuni per ottenere la soluzione dell istanza di partenza.

4 Implementazioni ricorsive Una volta descritto in maniera induttiva il procedimento di soluzione di un problema, la sua implementazione ricorsiva in C++ ricalca in genere il seguente schema: SOLUZIONE funzione_ricorsiva (PROBLEMA p, altri parametri ) { if (siamo nel caso base) { risolvi direttamente il problema p: sia sol la soluzione; return sol; } else { //siamo nel caso induttivo estrai da p uno o più sottoproblemi p i di dimensione minore di p; per ogni i, sia: s i = funzione_ricorsiva(p i, altri parametri ); } } componi le soluzioni s i ed effettua gli altri calcoli necessari ad ottenere una soluzione sol del problema p; return sol;

5 Elementi delle funzioni ricorsive Dallo schema descritto si intuisce come le funzioni ricorsive possano garantire la terminazione: ogni volta che una funzione invoca se stessa, sta richiedendo la soluzione di un problema più semplice di quello di partenza; prima o poi si arriverà dunque ad un problema di dimensione sufficientemente piccola da poter essere affrontato nel caso base; a questo punto viene restituita una risposta che, a cascata e all indietro, permette di calcolare le risposte intermedie più complesse rimaste in sospeso ; Nello schema indicato restano da dettagliare caso per caso una serie di elementi: il caso base: può essere esso stesso complesso da risolvere, possono esistere più casi base distinti, ecc. il caso induttivo comprende due fasi fondamentali da progettare di volta in volta: 1. la fase dell estrapolazione del/dei sottoproblema/i; 2. la fase dello sfruttamento della/delle soluzione/i parziale/i; in genere una di queste fasi (quale delle due dipende dal procedimento di soluzione) risulta di complessità predominante rispetto all altra.

6 Il calcolo del fattoriale Una esempio molto semplice di problema la cui soluzione si presta ad essere descritta in maniera induttiva è il calcolo del fattoriale n! di un intero n: n!= " i =1# 2 #L# n (0!=1) La descrizione induttiva del calcolo è: caso base: per n=0 si ha direttamente n! = 1 caso induttivo:! per n>0 si ha n! = n * (n-1)! n i=1 In questo esempio: il caso base è semplice da riconoscere e calcolare, la ricorsione riguarda un solo sottoproblema la cui estrazione è semplice (si passa dal valore n al valore n-1 ) e lo sfruttamento della soluzione parziale è operata tramite la moltiplicazione; L implementazione è dunque: int fattoriale (int n) { if (n==0) return 1; else return n * fattoriale(n-1); }

7 I numeri di Fibonacci Nel 1202 Fibonacci si trovò a risolvere il seguente problema (che è un astrazione/semplificazione di un problema reale): Quante coppie di conigli avrò in un recinto dopo un anno se: 1. all inizio dell anno introduco una sola coppia di conigli appena nati; 2. una coppia di conigli diventa sessualmente matura dopo esattamente un mese dalla nascita; 3. esattamente ogni mese una coppia di conigli sessualmente maturi produce una nuova coppia di conigli (un maschio e una femmina); 4. i conigli non muoiono mai. La soluzione generale a questo problema è una sequenza di numeri {fib(i)} nota come sequenza di fibonacci; il valore fib(i) rappresenta il numero di coppie di conigli presenti nel recinto all inizio del mese i-esimo.

8 I numeri di Fibonacci L inizio della sequenza, come rappresentato in figura: numero di coppie: fib(i) è il seguente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 12,

9 I numeri di Fibonacci Un pezzo più lungo del prefisso della sequenza di Fibonacci i coppie di conigli fib(i) è il seguente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,

10 Quale è la regola generale? Risposta: I numeri di Fibonacci fib(i) all inizio del mese i ci sono tutti i conigli che c erano all inizio del mese i-1 (i conigli non muoiono) e in più ci sono i nuovi nati; i nuovi nati sono nati dopo una gestazione di un mese che ogni coppia di genitori ha avviato alla maturità sessuale (cioè ad un mese di età); pertanto le nuove coppie all inizio del mese i sono tante quanti erano i conigli sessualmente maturi al mese i-1 e cioè tanti quanti erano i conigli al mese i-2; in definitiva, di conigli al mese i ce ne sono la somma di quanti c erano al mese i-1 con quanti ce n erano al mese i-2.

11 Quale è la regola generale? ad esempio: I numeri di Fibonacci fib(i) all inizio del mese 2 rimane la coppia introdotta all inizio, ma c è una prima coppia figlia, quindi fib(3)=1+1=2; all inizio del mese 3 restano le 2 coppie già presenti al mese 2, ed in più la coppia che già era presente al mese 1 produce una nuova coppia, per cui fib(3)=2+1=3; all inizio del mese 4 restano le 3 coppie già presenti all inizio del mese 3, ed in più le coppie fertili del mese 3 - che sono 2 perché 2 coppie erano presenti all inizio del mese 2, producono una nuova coppia ciascuna; quindi fib(4)=3+2=5; e così via

12 I numeri di Fibonacci La formula per calcolare i numeri di Fibonacci è dunque: fib( n) = # 1 se n = 0 oppure n =1 $ % fib(n "1) + fib(n " 2) se n >1 In questo esempio: il caso base è semplice da riconoscere e calcolare, la ricorsione riguarda due sottoproblemi di semplice individuazione (si passa dal valore n ai valori n-1! e n-2 ); lo sfruttamento della soluzione parziale è operato tramite la semplice addizione delle soluzioni dei sottoproblemi individuati; L implementazione è dunque (tre versioni equivalenti): int fib(int n) { } if (n==0 n==1) return 1; else return fib(n-1)+fib(n-2); int fib(int n) { } int fib (int n) { int ris; if (n==0 n==1) ris = 1; else ris = fib(n-1)+fib(n-2); return ris; } return (n==0 n==1)? 1 : (fib(n-1)+fib(n-2));

13 Si hanno tre pioli (A,B e C) Le torri di Hanoi A B C

14 Le torri di Hanoi Si hanno tre pioli (A,B e C) e un certo numero di dischi forati - tutti di dimensioni diverse - inizialmente disposti sul piolo A dal più grande (in fondo) al più piccolo (in cima). A B C

15 Le torri di Hanoi L obiettivo del gioco è mettere tutti i dischi sul piolo C, sempre in ordine dal più grande (in basso) al più piccolo (in cima), seguendo tre regole A B C

16 Le torri di Hanoi (1) si può spostare un solo disco alla volta; (2) si può spostare solo un disco che non ha altri dischi sopra; (3) non si può mai mettere un disco più grande su uno più piccolo. A B C

17 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi:

18 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 1

19 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 2

20 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 3

21 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 4

22 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 5

23 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 6

24 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 7

25 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 8

26 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 9

27 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 10

28 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 11

29 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 12

30 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 13

31 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 14

32 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi: mossa 15

33 Le torri di Hanoi Soluzione del problema con 4 dischi:

34 Le torri di Hanoi Per risolvere il problema di Hanoi con soli 4 dischi occorrono dunque 15 mosse; più in generale, la soluzione più breve per risolvere il problema con n dischi è composta da 2 n -1 mosse;

35 Un algoritmo per le torri di Hanoi Come si descrive induttivamente la soluzione del problema con n dischi? Caso base: se ho un solo disco da spostare da A a C, lo so spostare: A B C

36 Un algoritmo per le torri di Hanoi Come si descrive induttivamente la soluzione del problema con n dischi? Caso base: se ho un solo disco da spostare da A a C, lo so spostare: A B C

37 Un algoritmo per le torri di Hanoi Come si descrive induttivamente la soluzione del problema con n dischi? Caso base: se ho un solo disco da spostare da A a C, lo so spostare; Caso induttivo (suppongo di saper risolvere problemi con n-1 dischi): 1. metto gli n-1 dischi più piccoli da A in B A B C

38 Un algoritmo per le torri di Hanoi Come si descrive induttivamente la soluzione del problema con n dischi? Caso base: se ho un solo disco da spostare da A a C, lo so spostare: Caso induttivo (suppongo di saper risolvere problemi con n-1 dischi): 1. metto gli n-1 dischi più piccoli da A in B 2. metto un disco da A in C A B C

39 Un algoritmo per le torri di Hanoi Come si descrive induttivamente la soluzione del problema con n dischi? Caso base: se ho un solo disco da spostare da A a C, lo so spostare: Caso induttivo (suppongo di saper risolvere problemi con n-1 dischi): 1. metto gli n-1 dischi più piccoli da A in B 2. metto un disco da A in C 3. metto gli n-1 dischi più piccoli da B in C A B C

40 Un algoritmo per le torri di Hanoi Come si descrive induttivamente la soluzione del problema con n dischi? Caso base: se ho un solo disco da spostare da A a C, lo so spostare: Caso induttivo (suppongo di saper risolvere problemi con n-1 dischi): 1. metto gli n-1 dischi più piccoli da A in B 2. metto un disco da A in C 3. metto gli n-1 dischi più piccoli da B in C A B C

41 Un algoritmo per le torri di Hanoi Come si descrive induttivamente la soluzione del problema con n dischi? Caso base: se ho un solo disco da spostare da A a C, lo so spostare: Caso induttivo (suppongo di saper risolvere problemi con n-1 dischi): 1. metto gli n-1 dischi più piccoli da A in B 2. metto un disco da A in C 3. metto gli n-1 dischi più piccoli da B in C A B C

42 Un algoritmo per le torri di Hanoi Nel problema delle torri di Hanoi: 1. il caso base è semplice da riconoscere e risolvere; 2. la ricorsione riguarda due sottoproblemi la cui estrazione è semplice: si passa da un problema con n dischi a due problemi con n-1 dischi; 3. lo sfruttamento delle soluzioni parziali è operata tramite la giustapposizione delle mosse previste dalla soluzione del primo sottoproblema, seguita da una singola mossa, seguita ancora dalle mosse previste per la soluzione del secondo sottoproblema; L implementazione è dunque: void hanoi(char da_piolo, char a_piolo, char piolo_appoggio, int dischi) { if (dischi==1) { cout << "da " << da_piolo << " a " << a_piolo << endl; } else { hanoi(da_piolo,piolo_appoggio,a_piolo,dischi-1); cout << "da " << dal_piolo << " a " << al_piolo << endl; hanoi(piolo_appoggio,a_piolo,da_piolo,dischi-1); } }