ESERCITAZIONE II. Linguaggi Context Free

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1 ESERCITAZIONE II Linguaggi Context Free

2 2 INTRODUZIONE

3 LINGUAGGI CF I linguaggi di tipo 2 sono detti context free (CF) o non contestuali. Sono GENERATI da grammatiche di tipo 2. Dati: VN insieme dei simboli non terminali VT insieme dei simboli teminali Le produzioni sono della forma: VN (VT U VN)* Notate la differenza con le grammatiche di tipo 3? VN (VT U VN) VT (sinistra) VN VT (VT U VN) (destra) Sono RICONOSCIUTI da automi a pila (non determ). 3

4 4 ESERCIZI PARTE I o Pumping Lemma

5 PUMPING LEMMA PER LINGUAGGI CF Se L è un linguaggio non contestuale allora esiste una costante n tale che se z L e z n, allora esistono u,v,w,x,y tali che: 1. uvwxy=z 2. vx 1 3. vwx n 4. i 0 uv i wx i y L Esempio. Dimostrare che a n b n c n n 1 non è di tipo 2. Sia a n b n c n =uvwxy = z Consideriamo la stringa v se contiene simboli diversi, uv 2 wc 2 y ha alternanze di simboli se contiene simboli uguali, uv 2 wc 2 y ha diverso numero di a,b,c 5

6 ESERCIZIO I.1 e neanche regolare (provare PL tipo 3) Dimostrare che L non è un linguaggio non contestuale L = a k k è un numero primo Assumiamo per assurdo che L sia CF e applichiamo il pumping lemma, con pumping constant n. sia s = a n a m tale che n + m è primo poiché s n e s ε L allora esistono uvwxy come da teorema. qualunque sia vwx n s L per i = m + n + 1. dato vx = l 1 : s = u + i v + w + i x + y s = i vx + uwy s = il + (n + m l) s = (i 1)l + (n + m) s = (n + m + 1 1)l + (n + m) s = (n + m)(l + 1) 6

7 ESERCIZIO I.2 Dimostrare che L non è un linguaggio non contestuale L = ww R w wε 0,1 Assumiamo per assurdo che L sia CF e applichiamo il pumping lemma, con pumping constant n. sia s = 0 n 1 n 1 n 0 n 0 n 1 n = 0 n 1 2n 0 2n 1 n poiché s n e s ε L allora esistono uvwxy come da teorema. vwx può essere tale che: v e/o x contengono simboli del primo blocco 0 n. Allora, poiché vwx n non possono contenere simboli del terzo. v e/o x contengono simboli del secondo blocco 1 2n. Allora, poiché vwx n non possono contenere simboli del quarto. v e/o x contengono simboli del terzo blocco 0 2n. Allora, poiché vwx n non possono contenere simboli del primo. v e/o x contengono simboli del quarto blocco 1 n. Allora, poiché vwx n non possono contenere simboli del quarto. 7

8 8 ESERCIZI PARTE II o forma ridotta

9 FORMA RIDOTTA Una grammatica si dice in forma ridotta se Non contiene ε-produzioni, a meno che non siano nell assioma e l assioma non compaia mai a destra Non contiene produzioni unitarie (A B) Non contiene simboli inutili come: Simboli non fertili, che non generano stringhe di terminali Simboli non raggiungibili dall assioma Ogni grammatica di tipo 2 ha una grammatica equivalente in forma ridotta 9

10 ESERCIZIO II.1 Trasformare la grammatica G in forma ridotta. Rimozione ε-produzioni. (G genera ε? Sì e ne terremo conto.) S H Z H ε H A Z bzb A bbaba a B cb BZY ε Y Yb b S H Z H ε H A Z bzb A bbaba a bbaa B cb BZY ε c ZY Y Yb b 10

11 ESERCIZIO II.1 Rimozione produzioni unitarie Rimozione dei simboli non fertili S bbaba a bbaa bzb H ε H bbaba a bbaa Z bzb A bbaba a bbaa B cb BZY ε c ZY Y Yb b S bbaba a bbaa bzb H ε H bbaba a bbaa Z bzb A bbaba a bbaa B cb BZY ε c ZY Y Yb b 11

12 ESERCIZIO II.1 Rimozione simboli non raggiungibili G genera ε. Da TS: Se S fosse stato a destra, allora non sarebbe diventato non raggiungibile. Ricordate la condizione niente ε- produzioni se non nell assioma, e con l assioma mai a destra? Aggiungo un nuovo assioma T. (in questo caso non è necessario, potrei far produrre ε ad S) S bbaba a bbaa bzb H ε H bbaba a bbaa Z bzb A bbaba a bbaa B cb BZY ε c ZY Y Yb b T bbaba a bbaa ε S bbaba a bbaa A bbaba a bbaa B cb c 12

13 13 ESERCIZI PARTE III o forma normale di Chomsky

14 FORMA NORMALE DI CHOMSKY (CNF) Una grammatica di tipo 2 si dice in CNF se Tutte le produzioni sono del tipo seguente: A α dove α contiene solo DUE simboli non terminali A β dove β contiene solo UN simbolo terminale Ogni grammatica di tipo 2 che generi un linguaggio L tale che ε L ha una grammatica equivalente in CNF 14

15 ESERCIZIO III.1 Trasformare la grammatica G (in forma ridotta) in CNF. Trasformiamo ogni produzione che contiene almeno un simbolo terminale (ma non solo lui) (e aggiungiamo opportuni non terminali) Trasformiamo ogni produzione che contiene solo simboli non terminali S asc as 1 c S 1 bs 1 b (più di due) S ASC AS 1 C S 1 BS 1 b A a B b C c S AZ 1 Z 1 SC S 1 C S 1 BS 1 b A a B b C c 15

16 ESERCIZIO III.2 Definire una grammatica per il linguaggio delle parentesi ben bilanciate Iniziamo con una grammatica in forma qualsiasi. S () S (S) S SS Altre possibili grammatiche: S S S S ε S () S() ()S (S) 16

17 ESERCIZIO III.3 Trasformare la grammatica G in forma ridotta. Trasformiamo ogni produzione che contiene almeno un simbolo terminale (e aggiungiamo opportuni non terminali) Trasformiamo ogni produzione che contiene solo simboli non terminali (più di due) S () S (S) S SS S AB S ASB S SS A ( B ) S AB S AC C SB S SS A ( B ) 17

18 18 ESERCIZI PARTE IV o forma normale di Greibach

19 FORMA NORMALE DI GREIBACH (GNF) Una grammatica di tipo 2 si dice in GNF se Tutte le produzioni sono del tipo seguente: A aβ dove a V T e β se non è vuota contiene solo simboli non terminali Ogni grammatica di tipo 2 che generi un linguaggio L tale che ε L ha una grammatica equivalente in GNF 19

20 LEMMI UTILIZZATI Sostituzione Lemma. G è equivalente a G dove α 1, α 2 V G = A α 1Bα 2 B β 1 G = A α 1β 1 α 2 B β 1 Ricorsione Sinistra Lemma. G è equivalente a G dove (α, β V ) β non inizia per A G = A Aα β G = A βb β B αb α 20

21 ESERCIZIO VI.2 Trasformare la grammatica G (in CNF in III.1) in GNF S AZ 1 Z 1 SC S 1 C S 1 BS 1 b A a B b C c Ordinamento da 1 a m: S, Z1, S1, A, B, C Per ogni simbolo k IN ORDINE asc se esiste A k A j γ lemma di sostituzione (j da 1 a k-1) se contiene una ricorsione sinistra: lemma della ricorsione S AZ 1 Z 1 AZ 1 C S 1 C S 1 BS 1 b A a B b C c 21

22 perché non sostituisco C? ESERCIZIO VI.2 Per ogni simbolo k IN ORDINE des se esiste A k A j γ lemma di sostituzione (j da m a k-1) Per ogni simbolo k AGGIUNTO se esiste A k A j γ lemma di sostituzione (j da 1 a m) S az 1 Z 1 az 1 C bs 1 c bc S 1 bs 1 b A a B b C c nop 22

23 ESERCIZIO VI.3 Trasformare la grammatica G (in CNF in III.3) in GNF Ordinamento da 1 a m: S, A, B, C Per ogni simbolo k IN ORDINE asc se esiste A k A j γ lemma di sostituzione (j da 1 a k-1) se contiene una ricorsione sinistra: lemma della ricorsione S AB AC SS C SB A ( B ) S AB AC ABS ACS S SS S C (BB (CB (BS B (CS B A ( B ) 23

24 ESERCIZIO VI.3 Per ogni simbolo k IN ORDINE des se esiste A k A j γ lemma di sostituzione (j da m a k-1) Per ogni simbolo k AGGIUNTO se esiste A k A j γ lemma di sostituzione (j da 1 a m) S (B (C (BS (CS S SS S C (BB (CB (BS B (CS B A ( B ) S (B (C (BS (CS S (BS (CS (BS S (CS S S (B (C (BS (CS C (BB (CB (BS B (CS B B ) 24