Trasformazione di un NDFA in un DFA con ε-regole

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1 Trasformazione di un NDFA in un DFA con -regole a A B D d b C E c t A B C D E a D E b D D c D,E D E D d C C a - t ( s, q i ) = -chiusura (δ (s, q j )) qj -chiusura ( qi) -Primo passo dell algoritmo modificato in 1. Q -chiusura (q 0 ) c δ A B C D E a D E b D c E D d C B,C D C b d c a ABCD E c a Es: t(c,a) =? -chiusura(a)=abcd δ(c,a) = φ δ(c,b) = φ δ(c,c) =E; chiusura(e)=e δ(c,d)=d; chiusura(d)=d D E = D,E b a DE c D c

2 Trasformazione di un NDFA in un DFA con -regole 1. Q -chiusura (δ (s, q j )) /*Q conterrà gli stati del DFA risultante*/ /*gli stati di Q corrisponderanno a insiemi di stati dell NDFA dato*/ 2. Repeat 2.1 if X Q e un simbolo s non ancora esaminato che parte da X etichettato con s then Y = -chiusura (δ (s, q j )) qj -chiusura ( qi) if Y Q then Q = Q { Y} crea un arco da X a Y con etichetta s else Flag True until Flag 3. L insieme degli stati finali del DFA Z = {X Q X contiene q i Z } /*uno stato di Q rappresenta l insieme degli stati a cui si arriva, nelll automa ND di partenza, con una data stringa w: se in questo insime c e almeno uno stato finale, la stringa è riconosciuta*/

3 Proprietà di chiusura dei linguaggi regolari La classe dei linguaggi accettati da automi a stati finiti è chiusa rispetto a: 1. Unione 2. Concatenazione 3. Chiusura di Kleene 4. Complementazione 5. Intersezione Complementazione. Sia M =<, K, δ, Z, S> un automa deterministico. Allora il linguaggio complementato L = * - L(M) è accettato dall automa deterministico M =<, K, δ, K-Z, S>. Cioè M è lo stesso di M eccetto che gli stati finali e non finali sono intercambiati di ruolo. Intersezione. Considerato che L 1 L 2 = * - (( * - L 1 ) ( * - L 2 )) L intersezione di due linguaggi regolari è perciò ancora un linguaggio regolare, sfruttando la proprietà di chiusura dell unione e della complementazione.

4 Espressioni regolari e grammatiche regolari I linguaggi definiti tramite espressioni regolari sono regolari Espressioni regolari Linguaggi φ a { a } ( s + t) L(s) L(t) (s t) L(s) L(t) s* ( L( s ) )*

5 Espressioni regolari e automi Un linguaggio definito da un espressione regolare R è definito anche da un automa a stati finiti A, cioè L( R) = L(A). Caratteristiche dell automa : 1. Un unico stato finale 2. Nessun arco entrante nel nodo iniziale 3. Nessun arco uscente dallo stato finale linguaggio {} linguaggio vuoto φ a Linguaggio { a }

6 Espressioni regolari e automi E 1 L( E 1 ) L( E 2 ) E 2 E 1 E 2 L( E 1 ) L( E 2 ) E (L( E ))*

7 Esempio EX: Conversione dell espressione ( 0 +1 )* 1 ( 0 + 1)

8 Dall espressione regolare alle grammatiche regolari Esempio: Si consideri l espressione regolare (b* + (ab)*) 1. Si individua una grammatica per b* S 1 bs 1 2. Si individua una grammatica per (ab)* nel seguente modo, dapprima si determina una grammatica per {ab} S 2 a B 2 B 2 b Si aggiungono quindi S 2 B 2 b S 2 per ottenere la chiusura riflessiva e transitiva (ab)* 3. Si aggiunge l assioma S che indirizza alla prima e alla seconda grammatica S S 1 S 2 E quindi: S S 1 S 2 S 1 bs 1 S 2 a B 2 B 2 b S 2 b

9 Verifica della regolarità Teorema: Un linguaggio è regolare se e solo se è accettato da un automa a stati finiti Sebbene ci siano vari strumenti per verificare se un linguaggio è regolare. Es. Valutare tutte le possibili trasformazioni tra i vari schemi (automi, espressioni regolari atc.). Più difficile è verificare se un linguaggio è non regolare. Ci sono due proprietà che sono a comune dei linguaggi regolari 1. La fine di una scansione di una stringa da sinistra a destra deve essere determinata dalla struttura del linguaggio piuttosto che dalla stringa stessa. Ad esempio possiamo aspettarci che il linguaggio {a n b n n 0} non è regolare perchè non sappiamo precisare il limite tra gli a e i b non avendo a disposizione un contatore. 2. I linguaggi regolari sono rappresentati da automi con cicli che mettono in luce strutture ripetive. Ad esempio mentre il linguaggio {a n } è certamente regolare, il linguaggio {a n : n 1 è un numero primo} non lo è in quanto non esiste una periodicità nella sequenza dei primi.

10 Esempio di sottostruttura Il ciclo q 1 aabab q 1 può essere fatto un numero arbitrario di volte, anche zero volte! b aabab ab b aabab aabab aabab ab..

11 Pumping Lemma Dato un linguaggio regolare L è sempre possibile trovare una costante n 1 per la quale ogni stringa w L con w n sia esprimibile come w = x y z tale che y, x y n, e x y i z L per i 0. In altre parole la stringa che genera il ciclo può essere rimossa o ripetuta indefinitivamente Supponiamo di avere un automa A con n stati, applicato ad una una stringa w di lunghezza n. Un automa A con n stati per leggere una stringa di lunghezza n ha bisogno di n+1 configurazioni (q 0, w 1,w 2, w n ) (q 1, w 2,w 3, w n ). (q n, ) Per il principio della piccionaia ci deve allora essere un i e un j con 0 i < j n tale che q i = q j cioè la computazione ha almeno un ciclo. q 0 x q i y z Si osservi come la parte x della stringa può essere vuota, così come la parte z, mentre la parte y non può essere vuota essendo i < j in senso stretto.

12 Conseguenze del Pumping Lemma 1. Il linguaggio L = {a m b m : m 0} non è un linguaggio regolare Supposto di applicare il Pumping Lemma per qualche intero n si considera la stringa a n b n L. Questa si dovrebbe riscrivere come w = x y z con x y n e y ovvero y = a i per qualche i 0, ne deriva che x z = a n-i b n L Es: a a a b b b x= a, y= aa, z =bbb x= aaa, y=b, z=bb x=aa, y=ab, z=bb 2. Il Linguaggio L = {a i i numero primo} non è regolare Si considera la decomposizione a n = x y z per l ipotesi del Lemma anche w = x y n+1 z L con w numero primo. w = x y n+1 z = x y z y n = x y z + y n = n + n y = n (1 + y ) pertanto considerato che y la lunghezza della stringa w, non è un numero primo 3. Si dimostri che il linguaggio L = {z {a,b }* : z è un quadrato perfetto } non è regolare