Introduzione al corso

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1 Introduzione al corso

2 Argomenti della lezione Obiettivi e programma del corso Alfabeti, stringhe, linguaggi Operazioni su linguaggi Espressioni regolari

3 Per studiare le proprietà fondamentali di algoritmi, programmi e calcolatori è necessario rappresentarli mediante modelli astratti e descrivere le proprietà stesse in termini formali e matematici. La disciplina nel cui ambito si svolgono tali studi èl informatica è teorica

4 Nel corso di informatica teorica studieremo la definizione formale dei linguaggi e le loro proprietà sintattiche alcuni modelli di calcolo elementari (macchine astratte e linguaggi di programmazione) per rappresentare algoritmi

5 Nel corso di informatica teorica studieremo i limiti teorici del potere computazionale dei calcolatori e il concetto di calcolabilità i limiti pratici dei calcolatori ed i problemi computazionalmente intrattabili

6 Al termine del corso lo studente dovrebbe saper caratterizzare la struttura sintattica di un testo mediante grammatiche o automi formalizzare un sistema di calcolo definendone i concetti essenziali (stato, computazione ecc.)

7 Al termine del corso lo studente dovrebbe saper formulare semplici programmi utilizzando diversi paradigmi computazionali: macchine a stati, macchine a registri, linguaggi funzionali riconoscere, almeno in casi elementari, la complessità di un problema

8 Programma del corso Linguaggi formali e automi Macchine di Turing e calcolabilità Modelli di calcolo per linguaggi imperativi e funzionali Complessità di algoritmi e problemi

9 Oltre alle videolezioni ed al sito web di supporto (contenente esercizi e note su argomenti particolari), il materiale didattico è costituito dal testo: G. Ausiello, F. d Amore, G. Gambosi, Linguaggi, Modelli, Complessità, FrancoAngeli, 2003

10 Alfabeti, Stringhe, Linguaggi

11 Un alfabeto è un insieme finito non vuoto di simboli, chiamati caratteri Esempio L insieme {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} è l alfabeto decimale

12 alfabeto (minuscolo) della lingua italiana: {a,b,c,d,e,f,g,h,i,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,z} alfabeto dei numeri romani: {I, V, X, L, C, D, M} alfabeto del linguaggio C: {a,..,z,a,..,z,0,...,9,+,-,*,/,<,>,=,->,&,%,\,!, #,[,],...}

13 Dato un alfabeto S, una stringa (o parola) è una sequenza finita di caratteri di S Esempio MCMXLI è una stringa sull alfabeto dei numeri romani

14 Il numero di caratteri di una stringa x è detto lunghezza della stringa e si denota con x. Una stringa costituita da zero caratteri è detta stringa nulla (o vuota). La stringa vuota si denota con ε Esempio MCMXLI = 6 ε = 0

15 L insieme di tutte le stringhe su un alfabeto Σ (inclusa la stringa vuota) si denota Σ* Con Σ + denotiamo l'insieme delle stringhe non vuote. Pertanto, Σ = Σ + {ε}

16 Sull insieme Σ* possiamo definire l operazione di concatenazione, che si denota con e che consiste nel giustapporre due stringhe Esempio fatto rino = fattorino

17 La concatenazione è associativa. Ad esempio: sol (fa tara)=(sol fa) tara = =solfatara La concatenazione non è commutativa. Infatti pe ra = pera ra pe =rape

18 Chiaramente data una qualunque stringa x, x ε = ε x = x ε è l elemento neutro della concatenazione

19 La struttura algebrica <Σ*,, ε> è un monoide, cioè un insieme chiuso rispetto all operazione associativa di concatenazione e dotato di elemento neutro rispetto a tale operazione (monoide sintattico)

20 Un linguaggio è un sottoinsieme di Σ* Esempio Dato l'alfabeto {I, V, X, L, C, D, M}, l'insieme di tutti i numeri romani da 1 a 1000 è un linguaggio

21 Altri esempi Dato l'alfabeto {a, b}, l'insieme {a n b n n > 0} è il linguaggio di tutte le stringhe costituite da una sequenza di n a (n>0), seguite da altrettante b

22 Altri esempi Dato l'alfabeto del linguaggio C, l'insieme di tutti i programmi corretti (che vengono compilati senza segnalazioni di errore) è un linguaggio

23 In particolare, dato un alfabeto Σ : Σ stesso è un linguaggio Σ* è un linguaggio l'insieme che non contiene nessuna stringa, denotato Λ o Ø è un linguaggio (detto linguaggio vuoto)

24 Operazioni su linguaggi Sui linguaggi possono essere effettuate sia le operazioni insiemistiche (unione, intersezione, complementazione) sia operazioni definite sul monoide sintattico (prodotto, potenza e iterazione)

25 Siano L 1 ed L 2 linguaggi definiti sull alfabeto Σ unione L 1 L 2 = {x Σ* x L 1 x L 2 } L 1 Λ = L 1

26 intersezione L 1 L 2 = {x L 2 } L 1 Λ= Λ Σ* x L 1 x

27 complementazione L 1 = {x Σ* x L 1 }

28 prodotto o concatenazione L 1 L 2 = {x Σ* esistono x 1 ed x 2 tali che x 1 L 1 x 2 L 2 e x = x L x 2 } 1 {ε} = {ε} L = L Esempio: L 1 = {filo, teo} L 2 = {logia, sofia} L 1 L 2 = {filologia, teologia, filosofia, teosofia}

29 potenza L h = L L h-1 L 0 = {ε} h 1 per convenzione Esempio: L ={pe,ra} L 2 ={pepe, pera, rape, rara}

30 iterazione (detta anche operazione stella) L * = L h L + = L * \ h=0 {ε} Esempio: L ={a, bb} L * ={ε, a, bb, aa, abb, bba, bbbb,... }

31 Espressioni regolari Metodo formale di descrizione di linguaggi. Un espressione regolare rappresenta un insieme di stringhe basandosi sulle operazioni con le quali il linguaggio può essere costruito

32 Ad esempio, se l espressione e 1 rappresenta il linguaggio L 1 e l espressione e 2 rappresenta il linguaggio L 2, il linguaggio L 1 L 2 è rappresentato dall espressione regolare e 1 + e 2

33 Dato un alfabeto Σ, chiamiamo espressione regolare una stringa r sull'alfabeto Σ {Ø, +,.,*,(,)} tale che: r = Ø r = a (a Σ) o, se s e t sono espressioni regolari: r=(s+t) oppure r=(s. t) oppure r=s*

34 espressione linguaggio r = Ø L(r) = Λ r = a (a Σ) L(r) = {a} r = (s + t) r = (s. t) r = s* L(r) = L(s) L(t) L(r) = L(s) L(t) L(r) = L(s)*

35 Esempio e = (a+(b. (c. d) *)) L(e) = L(a) L(b. (c. d)*) = = L(a) (L(b) L((c. d)*)) = = L(a) (L(b) (L(c) L(d))*) = = {a, b, bcd, bcdcd, }

36 Per semplificare la scrittura delle espressioni regolari possiamo sfruttare: eliminazione del simbolo della concatenazione, scrivendo (st) anziché (s. t) uso di precedenza tra operatori: * >. > + eliminazione di parentesi inutili

37 Esempi (a+(b. (c. d)*)) = a + b(cd)* (a+(b. b*)) = a+b. b* ((a+b)*. a) = (a+b)*a

38 Come vedremo, i linguaggi rappresentabili con espressioni regolari sono un interessante sottoclasse di tutti i possibili linguaggi. Tali linguaggi sono chiamati linguaggi regolari e si possono caratterizzare anche mediante grammatiche e macchine molto semplici