Fondamenti teorici e programmazione

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Lucio Cara
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1 Fondamenti teorici e programmazione FTP(A) - modb Lezione 11 Operazioni su linguaggi Espressioni Regolari F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 1

2 Operazioni insiemistiche sui linguaggi Sia A un alfabeto e P(A ) l insieme di tutti i linguaggi sull alfabeto A. I linguaggi possono essere combinati, utilizzando le solite operazioni insiemistiche: Unione di linguaggi: L 1 L 2 = {w A w L 1 o w L 2 } Intersezione di linguaggi: L 1 L 2 = {w A w L 1 e w L 2 } Complemento: L = {w A w / L} F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 2

3 Concatenazione di linguaggi Due linguaggi possono essere concatenati con l operazione : P(A ) P(A ) P(A ), definita come segue L 1 L 2 = {w A w 1 L 1, w 2 L 2 such that w = w 1 w 2 } Esempi: Sia L1 = {anna, so} e L 2 = {rella}, L 1 L 2 = {annarella, sorella}; Sia L1 = {anna, so} e L 2 = {rella, le}, L 1 L 2 = {annarella, sorella, annale, sole}; Sia L 1 = {2, 4, 8} e L 2 = {3, 5, 7}, L 1 L 2 = {23, 25, 27, 43, 45, 47, 83, 85, 87} Sia L 1 = {ε, V, L, D} e L 2 = {I, II, II }, L 1 L 2 = {I, II, III, VI, VII, VIIII, LI, LII, LIII, DI, DII, DIII } Sia L 1 = e L 2 = {anna, so}, L 1 L 2 = F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 3

4 Proprietà algebriche della concatenazione di linguaggi Per tutti gli alfabeti A e per tutti i linguaggi L, L 1, L 2, L 3 P(A ), valgono le proprietà: (Associativa) L 1 (L 2 L 3 ) = (L 1 L 2 ) L 3 (Unità) L {ε} = L = {ε} L ( annichilisce ) L = = L ( distribuisce sopra ) L 1 (L 2 L 3 ) = (L 1 L 2 ) (L 1 L3) (L 1 L 2 ) L 3 = (L 1 L 3 ) (L 2 L3) Si dice che (P(A ),,,, {ε}) forma un semi-anello F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 4

5 La stella di Kleene La stella di Kleene è una funzione ( ) : P(A ) P(A ) definita per tutti i linguaggi L P(A ) come L = {ε} L L L L (L L) L (L (L L))... Esempi per l alfabeto A = {a, b, c} Se L = {a}, allora L = {ε, a, aa, aaa, aaaa,... } Se L = {a, b}, allora L = {ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa,... } Se L = {ab}, allora L = {ε, ab, abab, ababab,... } Se L = {ab, c}, allora L = {ε, ab, c, abc, cab, ababc, abcab, cabab... } Se L = {aa, bb}, allora L = {ε, aa, bb, aabb, bbaa, aaaa, bbbb, aabbaa... } F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 5

6 Analogia con l algebra relazionale Si ricordi l algebra delle relazioni R A A. Avevamo mostrato due frammenti: le allegorie e il frammento di Kleene. Il secondo è: (P(A A),,, ;, Id A, ( ) ) Per il linguaggi abbiamo delle operazioni analoghe: (P(A ),,,, {ε}, ( ) ) Abbiamo visto che le due strutture soddisfano le stesse proprietà algebriche. F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 6

7 Espressioni Regolari Le espressioni regolari sono delle espressioni per denotare linguaggi su un alfabeto A. Le espressioni regolari sono usate in molti contesti applicativi: nei motori di ricerca, nei comandi search and replace negli editor di testo, in molte utilities di text processing e nell analisi lessicale. Molti linguaggi di programmazione provvedono librerie per le espressioni regolari. F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 7

8 Espressioni Regolari: definizione induttiva Definizione: Una espressione regolare (abbreviato RE) sull alfabeto A è 0, oppure 1, oppure a per ogni a A, oppure RE+RE, oppure RE RE, oppure RE. L insieme di tutte le espressioni regolari su A è denotato da RExp A. Esempi per A = {a, b, c} è una espressione regolare è una espressione regolare 1 b è una espressione regolare 1 b è una espressione regolare 1 b + (ab) è una espressione regolare + non è una espressione regolare F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 8

9 Semantica delle espressioni regolari: intuizione La semantica per le espressioni regolari assegna ad ogni espressione e RExp A un linguaggio in P(A ). Intuitivamente: 0 denota il linguaggio vuoto 1 denota il linguaggio {ε} a denota il linguaggio {a} + esegue l unione dei linguaggi ( ) esegue la concatenazione di linguaggi ( ) esegue la stella di Kleene di linguaggi ( ) Esempio: a b denota il linguaggio {ab}. (a b) + c denota il linguaggio {ab, c}. (a b) + 1 denota il linguaggio {ab, ε} (a b) + 1 denota il linguaggio {ε, ab, abab, ababab,... } F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 9

10 Semantica delle espressioni regolari La semantica per le espressioni regolari è una funzione S : RExp A P(A ) definita ricorsivamete per ogni e RExp A come S(e) = se e = 0, {ε} se e = 1 {a} se e = a S(e 1 ) S(e 2 ) se e = e 1 + e 2 S(e 1 ) S(e 2 ) se e = e 1 e 2 S(e 1 ) se e = e 1 Esempi: S( (a b) + c ) = S( (a b) ) S( c ) = S( a b ) S( c ) = (S( a ) S( b )) S( c ) = ({a} {b}) {c} = {ab} {c} = {ɛ, ab, abab, ababab,... c} F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 10

11 Linguaggi Regolari Definizione: Un linguaggio L P(A ) è detto regolare se esiste una espressione regolare e RExp A che denota L, cioè tale che S(e) = L. Non tutti i linguaggi sono regolari. Il seguente diagramma mostra la famosa gerarchia di Chomsky. F.Bonchi Dip.to Informatica Fondamenti teorici e programmazione (A) - modb a.a. 2018/19 pag. 11

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