Espressioni regolari. Espressioni regolari

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2 ommario delle espressioni regolari Da automi a espressioni regolari Da espressioni regolari ad automi Leggi algebriche per linguaggi

3 spressioni regolari DFA, NFA, ɛ-nfa sono un metodo formale per costruire una macchina che riconosce linguaggi regolari Una espressione regolare e un modo dichiarativo per descrivere un linguaggio regolare. Esempio: Le espressioni regolari sono usate, ad esempio, in comandi di ricerca di parole in UNIX (grep) strumenti per l analisi lessicale di UNIX

4 perazioni sui linguaggi Unione: L M = {w : w L o w M} Esempio: L = {00, 11}, M = {01, 10} L M = {00, 11, 01, 10} Concatenazione: L.M = {w : w = xy, x L, y M} Esempio: L.M = {0001, 0010, 1101, 1110}

5 perazioni sui linguaggi Potenze: L 0 = {ɛ} L 1 = L L k+1 = L.L k Esempio: L = {00, 11} L 2 = L.L = {0000, 0011, 1100, 1111} Chiusura di Kleene: L = i=0 L i

6 efinizione induttiva di espressioni regolari Base: ɛ e sono espressioni regolari. L(ɛ) = {ɛ} e L( ) =. Se a Σ, allora a e un espressione regolare. L(a) = {a}. Induzione: Se E e F sono espressioni regolari, allora E + F e un espr. regolare. L(E + F ) = L(E) L(F ). Se E e F sono espressioni regolari, allora E.F e un espressione regolare. L(E.F ) = L(E).L(F ). Se E e un espressione regolare, allora E e un espressione regolare. L(E ) = (L(E)). Se E e un espressione regolare, allora (E) e un espressione regolare. L((E)) = L(E).

7 sempio Esempio: Espressione regolare per L = {w {0, 1} : 0 e 1 alternati in w}

8 sempio Esempio: Espressione regolare per L = {w {0, 1} : 0 e 1 alternati in w} o, equivalentemente, (01) + (10) + 0(10) + 1(01) (ɛ + 1)(01) (ɛ + 0)

9 rdine di precedenza per gli operatori 1 Chiusura 2 Concatenazione (punto) 3 Piu (+) Esempio: e raggruppato in (0(1) ) + 1

10 ommario : esercizi Da automi a espressioni regolari Da espressioni regolari ad automi Leggi algebriche per linguaggi

11 sercizi Scrivere l espressione regolare che denota il linguaggio: 1 L = { stringhe di a e b che iniziano con a e finiscono con bb} 2 L = { stringhe di a e b che contengono esattamente due a} 3 L = { stringhe di a e b che contengono almeno due a} 4 L = { stringhe di a, b e c con almeno una a e almeno una b} Scrivere il linguaggio dell espressione regolare su Σ = {0, 1}: 1 (0 + 1) 11(0 + 1) 2 (0 1 ) 000(0 + 1) Esercizi per casa: Scrivere l espressione regolare che denota il linguaggio: L = { stringhe di 0 e 1 che contengono un numero pari di 0} L = { stringhe di 0 e 1, con almeno tre simboli, dove il terzultimo simbolo e 1} L = { stringhe di 0 e 1 con un numero di zeri divisibile per 3} Scrivere il linguaggio dell espressione regolare su Σ = {0, 1}: (1 + ɛ)(00 1)0

12 quivalenza di FA e espr. regolari Abbiamo gia mostrato che DFA, NFA, e ɛ-nfa sono tutti equivalenti. -NFA NFA RE DFA Per mostrare che gli FA sono equivalenti alle espressioni regolari, mostreremo che 1 (DFA RE) Per ogni DFA A possiamo costruire un espressione regolare R, tale che L(R) = L(A). 2 (RE ɛ-nfa) Per ogni espressione regolare R esiste un ɛ-nfa A, tale che L(A) = L(R).

13 a automi a espressioni regolari (DFA RE) Tecnica di eliminazione degli stati Etichettiamo gli archi con espressioni regolari di simboli R 1m q p 1 1 Q 1 R 11 S P 1 s q k Q k R km P m p m R k1

14 a automi a espressioni regolari Ora eliminiamo lo stato s. R + Q 11 1 S* P 1 q p 1 1 R 1m + Q 1 S* P m q k R k1 + Q k S* P 1 R km + Q k S* P m p m Per ogni stato accettante q, eliminiamo dall automa originale tutti gli stati eccetto q 0 e q.

15 a automi a espressioni regolari Per ogni q F saremo rimasti con A q della forma Start R S U T che corrisponde all espr. reg. E q = (R + SU T ) SU o con A q della forma Start R che corrisponde all espressione regolare E q = R L espressione finale e q F E q

16 sercizio Esercizio: Costruire NFA A che accetta il linguaggio L(A) = {w : w = x1b, o w = x1bc, x {0, 1}, {b, c} {0, 1}}. espressione regolare che accetta L(A) a partire da A.

17 sercizio Costruiamo NFA A che accetta il linguaggio L(A) = {w : w = x1b, o w = x1bc, x {0, 1}, {b, c} {0, 1}}. 0,1 Start 1 0,1 0,1 A B C D Costruiamo l espr. regolare che accetta L(A) a partire da A. Trasformiamo l automa in un automa con espressioni regolari come etichette Start A B C D

18 sempio Start A B C D Eliminiamo lo stato B Start A 1( 0 + 1) C D

19 sempio Start A 1( 0 + 1) C D Per ogni stato accettante di A dobbiamo eliminare gli stati di A diversi dallo stato iniziale Consideriamo lo stato accettante D. Eliminiamo lo stato C e otteniamo A D Start A 1( 0 + 1) ( 0 + 1) D con espressione regolare (0 + 1) 1(0 + 1)(0 + 1)

20 sempio Consideriamo ora lo stato accettante C. Dall automa seguente Start A 1( 0 + 1) C D possiamo eliminare D e ottenere A C Start A 1( 0 + 1) C con espressione regolare (0 + 1) 1(0 + 1) L espressione finale e la somma delle due espressioni regolari precedenti: (0 + 1) 1(0 + 1)(0 + 1) + (0 + 1) 1(0 + 1)

21 sercizio Esercizio (Esercizio 4b - I compitino 2013) Scrivere l espressione regolare per il linguaggio L su Σ = {0, 1, 2} in cui le stringhe hanno somma dei numeri che le compongono dispari. Spiegare il ragionamento con cui si è costruita l espressione. Suggerimento: - prima costruire il DFA A che accetta L e - poi l espressione regolare che accetta che L a partire da A Esercizi per casa Esercizio (da automa a espressione regolare)

22 a espressioni regolari a ɛ-nfa (RE ɛ-nfa) Teorema 3.7: Per ogni espressione regolare R possiamo costruire un ɛ-nfa A, tale che L(A) = L(R). Prova: Per induzione strutturale: Base: Automa per ɛ,, e a. (a) (b) a (c)

23 Induzione: Automa per R + S, RS, e R R S (a) R S (b) R (c)

24 sercizio: ɛ-nfa per (0 + 1) 1(0 + 1) Start (a) (b) (c)

25 sercizi Esercizi per casa Esercizio (da espressione regolare ad automa) Esercizi sulle dispense relativi alle espressioni regolari

26 eggi algebriche per i linguaggi L M = M L. L unione e commutativa. (L M) N = L (M N). L unione e associativa. (LM)N = L(MN). La concatenazione e associativa. Nota: La concatenazione non e commutativa, cioe, esistono L e M tali che LM ML.

27 L = L = L. e l identita per l unione. {ɛ}l = L{ɛ} = L. {ɛ} e l identita sinistra e destra per la concatenazione. L = L =. e l annichilatore sinistro e destro per la concatenazione.

28 L(M N) = LM LN. La concatenazione e distributiva a sinistra sull unione. (M N)L = ML NL. La concatenazione e distributiva a destra sull unione. L L = L. L unione e idempotente. = {ɛ}, {ɛ} = {ɛ}. L + = LL = L L, L = L + {ɛ} (L ) = L. La chiusura e idempotente.

29 sercizio Esercizio: Dimostrare che le espressioni regolari (R+S)* e (R*S*)* sono equivalenti. Idea della Soluzione: Siano L 1 =L((R+S)*) e L 2 =L((R*S*)*), dobbiamo dimostrare che L 1 = L 2, cioe che L 1 L 2 e L 1 L 2. Esercizi per casa: Esercizio del libro Esercizi della dispensa sulle espressioni regolari