Le Frazioni. Prof. Carlo Sbordone - Università degli Studi di Napoli Federico II LOGICAMENTE Le Frazioni

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1 LOGICAMENTE 2014

2 Frazioni di oggetti Frazioni di insiemi di oggetti Frazioni di quantità

3 Molte informazioni che riceviamo quotidianamente contengono frazioni e percentuali: Vengo tra 3 4 d ora Vendo tutto con il 30 / di sconto frazioni e percentuali sono definite in relazione ad un tutto o una quantità unitaria dividendo il tutto in parti uguali.

4 Significato di FRAZIONE Esempi: 1 4 d ora 2 di un segmento 3 5 di euro di un segmento 3 20 di sconto 100

5 Questi esempi mostrano frazioni di oggetti, e quindi parti di insiemi. In seguito tratteremo le frazioni come numeri La frazione m n di un tutto, con m,n N = {1,2,...} 1 Caso m = 1 Se il tutto può essere diviso in n parti uguali allora 1 n coincide con una di quelle parti. del tutto

6 La frazione è costituita da m n del tutto m (di quelle parti) cioè da m parti ognuna delle quali è 1 n del tutto Il numeratore m della frazione m del tutto ci dice il numero delle n parti, mentre il denominatore n della frazione ci dice che tipo di parti sono state costituite (mezzi, terzi, quarti, quinti,...)

7 Frazioni: come numeri (singoli, anche se espressi in termini di una coppia di numeri naturali) Frazioni: come punti della retta dei numeri

8 Così come si giunge al concetto di numero naturale astraendo da esperienze con oggetti: 5 persone, 3 automobili,... o meglio 5 di persone, 3 di automobili,... 5,3,...

9 si può giungere al concetto di frazione come numeri astraendo da esperienze con frazioni di oggetti: 1 4 d ora, , 2 3,... di un segmento,...

10 Specie nel caso di frazioni improprie in cui può essere poco chiaro qual è il tutto è utile la rappresentazione sulla retta dei numeri in cui il tutto è sempre la lunghezza del segmento unitario [0, 1]

11 La parte tratteggiata rappresenta 4 3 o 4 6? Poco chiaro se non si precisa qual è il tutto La parte tratteggiata è 4 del rettangolo di sinistra, 3 ma è anche 4 del complesso dei due rettangoli, cioè 6 dell unione dei due rettangoli

12 Per individuare 4 sulla retta dei numeri 3 Dividiamo il segmento in 3 parti uguali e prendiamo in considerazione il segmento di primo estremo 0, unione di queste 4 parti. L altro estremo è 4 3

13 La retta dei numeri

14 Su una retta, disegnamo un punto, indicandolo con 0 (zero) Disegniamo a destra di 0 un segmento che chiamiamo segmento unitario

15 L estremo destro del segmento si indica con 1 (uno) Spostiamo il segmento verso destra finchè 1 diventi il suo estremo sinistro e indichiamo con 2 (due) l estremo destro e così via, 1,2,3,4,...

16 Definizione Un numero naturale è uno dei punti indicati sulla retta dopo lo zero. La retta con l insieme dei numeri naturali si chiama retta dei numeri. Un numero naturale è così definito in maniera concreta ed esplicita: è uno dei punti disegnati sulla retta dei numeri. Osservazione Questa definizione non è l ideale ma è accessibile a chiunque e facilita lo studio dei numeri frazionari.

17 Le frazioni come punti della retta dei numeri

18 Definiamo le frazioni 0 3, 1 3, 2 3, 3 3,4 3,... cioè la sequenza dei terzi Premesse (terminologia): 1) Se a e b sono due punti sulla retta dei numeri, con a alla sinistra di b [a,b] indica il segmento di estremi a e b.

19 2) [0,1] è il segmento unitario e la sua lunghezza è il tutto, Il punto 1 è l unità 1 è un terzo del tutto; 3 La lunghezza del segmento in grassetto è l estremo destro del segmento in grassetto.

20 Dividiamo in tre parti di uguale lunghezza tutti i segmenti [0,1],[1,2],[2,3],... e così otteniamo la sequenza dei terzi Ogni punto della sequenza misura la sua distanza da zero 7 3 è la lunghezza di [0, 7 3 ] 7 3 è 7 volte la lunghezza di [0, 1 3 ] 7 è la settima frazione, nella sequenza dei terzi, a destra di zero. 3 I numeri m 3 sono i multipli di 1 3 al variare di m N

21 IN GENERALE, dati i numeri naturali m ed n, dividiamo i segmenti [0,1],[1,2],[2,3],... in n parti uguali e otteniamo la sequenza degli n-simi 1 n, 2 n, 3 n,... Per definizione, la frazione m n rappresenta l m-sima frazione, nella sequenza degli n-simi, a destra di zero. Fissato n N, al variare di m N, si ottengono tutti i multipli interi m n di 1 n. Esattamente come per n = 1 al variare di m N, si ottengono tutti gli interi m

22 Osservazione Uno dei vantaggi di avere una definizione precisa di frazione è che si può facilmente introdurre una definizione di ordine (stretto). Definizione La frazione m m è minore di, se e solo se, m n n n retta dei numeri m è a sinistra di sulla n Si noti che tradizionalmente si dice che, per decidere se m n < m n, si deve calcolare un comune denominatore. Esempio Per provare che uso 2 3 < < 9 12

23 Particolari frazioni: , ,... con denominatori potenze di 10, (frazioni decimali) anche scritte come 36.19, rispettivamente, facendo uso del punto decimale che tiene conto della potenza di 10 che figura a denominatore. Nel numero si possono eliminare gli zeri finali pervenendo a scrivere Ma ciò equivale a verificare che = = e ciò richiede una dimostrazione.

24 Teorema (sulla semplificazione di frazioni) Per m,n,l N m n = lm ln Dim.(caso particolare numeri) 3 2 = dividiamo in 4 parti ciascun segmento tra punti consecutivi della sequenza dei mezzi.

25 Da cui, ognuno dei segmenti [0,1],[1,2],[2,3],... e così ripartito in 8 parti uguali ottenendo la sequenza degli ottavi. La frazione 3 che è il terzo punto 2 nella sequenza dei mezzi è ora il dodicesimo punto nella sequenza degli ottavi = 12 8 =

26 Mediante il Teorema sulla semplificazione di frazioni si può giustificare l uguaglianza: Ricordando che per definizione = 1.22 si ha = = = = 1.22 Pertanto si possono aggiungere o togliere zeri all estrema destra del punto decimale, lasciando inalterato il numero decimale.

27 Osservazione 1 Questa definizione di frazione, confrontata con quella tradizionale che si basa su un pezzo di pizza o una fetta di torta è più facile da applicare: abbiamo scelto di ripartire un segmento in 3 parti di uguale lunghezza piuttosto che un cerchio in 3 parti congruenti. Osservazione 2 Abbiamo preso atto del fatto che l uguaglianza (l 0) ml ( ) = m nl n equivale a dire che le due frazioni a 1 e 2 membro corrispondono allo stesso punto della retta dei numeri. Quindi, mentre di solito si caratterizza (*) dicendo che ml e m nl n sono frazioni equivalenti, per noi esse sono uguali.

28 Applicazioni (del Teorema sulla semplificazione di frazioni) 1) gli zeri finali dopo il punto decimale si possono sopprimere già visto! 2) due frazioni a c b d possono essere ridotte allo stesso denominatore bd Ciò vuol dire, posto a b = ad bd, n = b d c d = bc bd che le due frazioni a b = ad n, c d = bc n fanno parte della sequenza degli n-simi, rispettivamente nella posizione ad-sima e bc-sima. Si può dire che, se è ad < bc, allora ad n è a sinistra di bc n cioè a b < c d

29 Frazioni ridotte ai minimi termini (NON DARE TROPPO SPAZIO) Teorema << Per ogni frazione, ne esiste un unica, ad essa uguale, che sia ridotta ai minimi termini >> Dim (non banale, si basa sull Algoritmo di Euclide) 4 3 è meglio di 16 12? è una questione di gusti e non una necessità matematica

30 Addizione di frazioni Coerenza con le addizioni di interi, considerati come punti sulla retta dei numeri Esempio 3+5 è la lunghezza dell unione (concatenazione) dei due segmenti adiacenti di lunghezza 3 e 5

31 Analogamente date le frazioni la loro somma m n e k l m n + k l è la lunghezza della concatenazione dei due segmenti adiacenti di lunghezza m k e n l

32 Teorema : Dim. m n + k l = kn+lm ln Dalla definizione di somma di due frazioni k e m l n proprietà associativa: segue che vale la ( k l + m n )+ p q = k l +( m n + p q )

33 e la proprietà commutativa Dalla definizione di addizione segue k l = } l {{ l } k volte

34 e quindi nel caso particolare (l = n) ( ) k l + m l = k +m l Allora per la proprietà della semplificazione di frazioni e per (*), si ha k l + m l = kl +ml l l

35 In generale, se le due unità 1 e 1 l n sono diverse, entrambe le frazioni k l m 1 si esprimono in termini della nuova unità n ln Ad esempio: e = = =

36 Moltiplicazione di frazioni Coerenza con le moltiplicazioni di interi 0 Esempio 3 5 = sulla retta dei numeri 3 5 è il punto 3 sulla retta con unità di misura uguale a 5 e cioè: 3 5 = 15

37 Considerare 5 come unità di misura 1 è possibile se pensiamo ad una mano con le sue 5 dita un auto a 5 posti una costellazione di 5 stelle Con tale tipo di scelta per l unità il punto 3 rappresenta, sulla retta dei numeri, i seguenti 3 gruppi di oggetti

38 Nel caso di frazioni la moltiplicazione non è addizione ripetuta non vuol dire addizionare 1 4 a se stesso 3 5 volte

39 Definendo 3 5 di un numero a 3 di a 5 come la totalità di 3 parti, quando a è diviso in 5 parti uguali, allora 3 5 si ottiene dividendo il segmento [0, 1 4 ] in 5 parti uguali e prendendo la lunghezza dell unione di 3 di tali parti 3 1 di è 5 4 di di 1

40 Definizione = 3 5 di 1 4 m n k = m l n di k l = la totalità di m parti, quando il segmento [0, k l ] è diviso in n parti uguali. Si dimostra che vale il seguente Teorema

41 Teorema m n k l = mk nl Dim. Per il Teorema sulla semplificazione di frazioni m n = lm ln = m+...+m = m ln ln m }{{ ln } l m n è la lunghezza dell unione di l parti ciascuna lunga m ln Allora, la lunghezza dell unione di k di quelle parti è km ln

42 Corollario L area di un rettangolo i cui lati hanno lunghezza frazionaria m n e k l prodotto delle lunghezze. (2 interpretazione del prodotto di numeri interi o frazionari) Dim. Prima nel caso m = k = 1 e poi in generale 1 l 1 n è il

43 La divisione di frazioni Talvolta la definizione viene data utilizzando il Teorema sulla semplificazione di frazioni k l m n = k l ln m n ln = kln l mln n = kn lm = k l n m (INVERTI E MOLTIPLICA)

44 Tale modo di procedere per definire k l m n non è corretto, perchè si basa su operazioni su enti non ancora definiti. Se non sappiamo ancora cos è il 1 membro di k l m n come possiamo coinvolgerlo nei calcoli? Inoltre, il Teorema sulla semplificazione di frazioni afferma che a b = am bm purchè a,b,m N e non a,b frazioni

45 Esempio concreto Per comprendere, nel caso della divisione k l m n l algoritmo INVERTI E MOLTIPLICA

46 Un ragazzo spende ogni giorno esattamente la stessa quantità di soldi (dalla sua paghetta settimanale) Se con 2 3 della paghetta arriva da lunedì a venerdì, cioè sostiene i 5 7 delle spese settimanali, che frazione della paghetta spende ogni settimana? La quantità x che si cerca è data dalla proporzione 2 3 : 5 7 =x: 1 cioè x= =?

47 Le spese per 5 giorni si coprono con 2 della paghetta, quindi le spese per 3 1 giorno si coprono con della paghetta cioè con della paghetta. Moltiplico per 7 e ho 7 =

48 La divisione tra frazioni è resa possibile dal seguente Teorema Date due frazioni k l con l,m,n non nulli, esiste un unica frazione C tale che k = m l n C Dim. Basta scegliere C = nk. Se D fosse un altra frazione t.c. ml k (1) = m l n D Moltiplicando la (1) ad ambo i membri per n si ha m m n da cui nk ml = n m k l = n m (m n D) = ( n m m n ) D = D D = nk ml = C

49 APPROFONDIMENTO Definizione con significato geometrico Date due frazioni A e B con B 0, il quoziente A B è la lunghezza dell altro lato di un rettangolo la cui area vale A e uno dei lati ha lunghezza B A = A B B

50 Divisione tra interi positivi La divisione esatta tra interi positivi ha due possibili interpretazioni. Consideriamo ad esempio la divisione 15 : 5 1) È il numero di gruppi che si formano quando 15 oggetti vengono ripartiti in gruppi di 5 oggetti ciascuno Dunque si tratta di ripartire 15 oggetti in gruppi di 5 oggetti ciascuno: Alla domanda quanti gruppi da 5 stanno in 15? si risponde : 3

51 Consideriamo ora le due corrispondenti interpretazioni della divisione con resto tra due interi positivi qualsiasi m,n N 1) m : n è il massimo numero intero di gruppi che si possono formare quando m oggetti sono ripartiti in gruppi di n oggetti ciascuno Quanti gruppi da 5? Ovvero

52 2) m:n è il massimo numero intero di oggetti che sono in ciascun gruppo quando m oggetti sono ripartiti equamente in n gruppi 16 : 5 = 3 con resto R=1

53 Consideriamo la divisione tra frazioni 2 3 : 5 7 Nel contesto Quanti in un gruppo? essa corrisponde al problema << Quanti oggetti in un gruppo se distribuisco 2 3 di oggetto equamente fra 5 7 di un gruppo?>> Si cerca di determinare la frazione di un oggetto in un gruppo sapendo che i 2 3 di un oggetto riempiono i 5 7 di un gruppo

54 Ad esempio (Supposto che un individuo abbia sempre la stessa spesa giornaliera) Se con 2 3 di paga settimanale egli copre 5 di spese settimanali, con quale frazione della paga ne copre i 7, cioè copre l intera 7 7 spesa settimanale? Dall ipotesi segue che le spese per 1 7 coprono con 1 5 di 2 3 ottiene di settimana (per 1 giorno) si 2 di paga cioè con ; moltiplicando per 7 giorni si 15

55 Dunque con i 14 della paga egli copre le sue spese settimanali (e gliene 15 resta 1 per mettere da parte!) : 5 7 = : 1 INVERTI E MOLTIPLICA 2 3 : 5 7 = = 14 15