I metodi formali dell Analisi Lessicale: Le Espressioni Regolar

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1 I metodi formali dell Analisi Lessicale: Le Espressioni Regolari (ER) N.Fanizzi - V.Carofiglio 6 aprile 2016

2 1 Introduzione

3 Espressioni Regolari Dato un alfabeto finito X, una espressione regolare è una notazione per decrivere linguaggi regolari sull alfabeto ampliato X {λ, +,,,, (, )}: ESEMPI L = {a} R(L) = a L = {a, b, c} R(L) = a + b + c (+ denota UNIONE tra linguaggi) L = ({a} {bc}) R(L) = (a + b c) ( e denotano ITERAZIONE e CONCATENAZIONE tra linguaggi)

4 Espressioni Regolari - definizione Dato un alfabeto finito X, una stringa R sull alfabeto ampliato X {λ, +,,,, (, )} è una espressione regolare di alfabeto X sse vale una delle seguenti condizioni: R = R = λ R = a R = (R 1 + R 2 ) R = (R 1 R 2 ) R = (R 1 ) con a X con R 1, R 2 espressioni regolari di alfabeto X con R 1, R 2 espressioni regolari di alfabeto X con R 1 espressione regolare di alfabeto X L insieme delle espressioni regolari di alfabeto X viene denotato con R

5 Linguaggi Regolari Dato un alfabeto finito X un linguaggio L su X è un linguaggio regolare sse: L è finito oppure L può essere ottenuto induttivamente mediante le operazioni: 1 L = L 1 L 2 con L 1, L 2 regolari 2 L = L 1 L 2 con L 1, L 2 regolari 3 L = L 1 con L 1 regolare Osservazione: e {λ} sono linguaggi regolari Definiamo l insieme di tali linguaggi come classe dei linguaggi regolari denotata con L REG

6 Operazioni sui linguaggi (Dovere di cronaca) Dati due linguaggi L e L definiti sullo stesso alfabeto X : unione L L = {w X w L w L } prodotto L L = {w = w 1 w 2 X w 1 L w 2 L } iterazione L = {w 1... w n X n i : w i L, 0 i n} complemento L = {w X w L} intersezione L L = {w X w L w L } { {λ} k=0 potenza L k = L k 1 L k>0 chiusura (transitiva) L + = k>0 Lk (quindi si può scrivere L = L 0 L + = {λ} L + )

7 Esempi. Dati i linguaggi L 1 = {a 2n n 0} e L 2 = {b, cc} L 1 L 2 = {b, cc, aab, aacc, aaaab, aaaacc,...} L 2 L 1 = {b, cc, baa, ccaa, baaaa, ccaaaa,...} L 1 L 2 = L 2 L 1 = {λ, b, cc, aa, aaaa, aaaaaa,...} L 1 L 2 = {λ, aa, aaaa, aaaaaa, aaaaaaaa,...} = {λ, b, cc, bb, bcc, ccb, bbb, cccc,...} L 0 2 = {λ} L 1 2 = {b, cc} = {bb, bcc, ccb, cccc}... L 2 2 L + 2 = {b, cc, bb, bcc, ccb, bbb, cccc,...}

8 Ad ogni espressione regolare R corrisponde un linguaggio regolare S(R): espressione regolare linguaggio regolare λ {λ} a {a} (R 1 + R 2 ) S(R 1 ) S(R 2 ) (R 1 R 2 ) S(R 1 ) S(R 2 ) (R) (S(R))

9 Proposizione. Un linguaggio su X è regolare sse esso corrisponde ad una espressione regolare di alfabeto X ossia definita la funzione S : R (X ), si ha che: Osservazioni. L REG = {L (X ) R R: L = S(R)} un linguaggio regolare può essere descritto da più di una espressione regolare, cioè la funzione S non è inettiva Due espressioni regolari R 1 e R 2 si dicono equivalenti, e si scrive R 1 = R 2, sse S(R 1 ) = S(R 2 )

10 Esempio. L linguaggio delle parole su X = {a, b} con a e b alternate, inizianti e terminanti con b L descrivibile attraverso l espressione R 1 = b(ab) ovvero con R 2 = (ba) b pertanto R 1 = R 2

11 1. (R 1 + R 2 ) + R 3 = R 1 + (R 2 + R 3 ) prop. associativa di + 2. R 1 + R 2 = R 2 + R 1 prop. commutativa di + 3. R + = + R = R elem. neutro per + 4. R + R = R Idempotenza 5. (R 1 R 2 ) R 3 = R 1 (R 2 R 3 ) prop. associativa di 6. R 1 R 2 R 2 R 1 non commutatività di 7. R λ = λ R = R λ elem. neutro per 8. R = R = elem. assorbente per 9. R 1 (R 2 + R 3 ) = (R 1 R 2 ) + (R 1 R 3 ) prop. distributiva di risp. a (R 1 + R 2 ) R 3 = (R 1 R 3 ) + (R 2 R 3 ) prop. distributiva di risp. a (R) = (R) (R) = ((R) ) = (λ + R) 12. ( ) = (λ) = λ 13. (R) = λ + R R n + (R n+1 R ) 14. (R 1 + R 2 ) = (R1 + R 2 ) = (R1 R 2 ) = = (R1 R 2 ) R1 = R 1 (R 1 R 2 ) 15. (R 1 + R 2 ) R1 + R 2 in generale 16. R R = R R 17. R 1 (R 2 R 1 ) = (R 1 R 2 ) R (R1 R 2) = λ + (R 1 + R 2 ) R (R 1 R2 ) = λ + R 1 (R 1 + R 2 ) 20. R 1 = R 2 R 1 + R 3 sse R 1 = R2 R 3 con R 2 λ R 1 = R 1 R 2 + R 3 sse R 1 = R 3 R2

12 1 Data l espressione R = a (a + b), trovare il linguaggio associato. 2 Data L espressione R = (aa) (bb) b, trovare il linguaggio associato 3 Data l espressione R = (a + b) (a + bb), trovare il linguaggio associato 4 Fissato l alfabeto X = {0, 1} dare l espressione regolare R, tale che: S(R) = {w X w ha almeno una coppia di 0 consecutivi} S(R) = {w X w non ha coppie di 0 consecutivi} 5 Trovare tutte le stringhe di lunghezza minore di quattro in S((a + b) b(a + ab) ) 6 Trovare l espressione regolare per: L = {a n b m (n + m)pari} L = {a n b m n 4; m 3}

13 1 Scrivere le espressioni regolari per i seguenti linguaggi su X = {0, 1} tutte le stringhe che terminano per 01 tutte le stringhe che non terminano per 01 tutte le stringhe contenenti un numero pari di 0 tutte le stringhe che hanno almeno due occorrenze di sottostringhe 00 (nota che 000 contiene due occorrenze di 00) tutte le stringhe che hanno al piú due occorrenze di sottostringhe 00 tutte le stringhe che non contengono occorrenze di 101

14 1 Trovare le espressioni regolari per i seguenti linguaggi su {a, b} L = {w w mod 3 = 0} L = {w n a (w) mod 3 = 0} L = {w n a (w) mod 5 < 0}

15 o1 Individuare il linguaggio S(a (a + b) ) S(a (a + b) ) = S(a ) S(a + b) = (S(a)) ( S(a) S(b) ) = { λ, a, aa, aaa,...} {a, b} { λ, a, aa, aaa,..., b, ab, aab,...}

16 o2 Individuare il linguaggio S((a + b) (a + bb)) (a + b) stringhe di a e b (a + bb) stringa a oppure stringa bb S((a + b) (a + bb)) é l insieme su {a, b} di stringhe che terminano per a oppure per bb. ovvero: S((a + b) (a + bb)) = {a, bb, aa, abb, ba, bbb,...}

17 o3 Individuare il linguaggio S((aa) (bb) b) S((aa) (bb) b) = {a 2n b 2m+1 n 0, m 0}

18 o4a Individuare l espressione regolare per il linguaggio su X {0, 1} L = {w X w ha almeno una coppia di zeri consecutivi} Ogni stringa di L deve contenere: almeno un 00 ed é del tipo x00y, con x e y arbitrarie stringhe su X ((0 + 1) ) dunque L = S((0 + 1) 00 (0 + 1) )

19 o4b Individuare l espressione regolare per il linguaggio L = {w {0, 1} w NON ha coppie di zeri consecutivi} Osserviamo che se occorre uno 0, subito dopo ci deve essere un 1 la sotto-stringa 01 puó essere preceduta e seguita da 1 Dunque: La risposta contiene ripetiz. di (ovvero (1 (01)1 ) mancano le stringhe del tipo ((1 (01)1 0) Dunque: La risposta contiene anche ripetizioni di stringhe della forma (ovvero (1 (01)1 ) (λ + 0) mancano le stringhe del tipo ((1 0)) mancano le stringhe del tipo ((1 )) dunque mancano 1 (0 + λ) dunque L = S( (1 (01)1 ) (0 + λ) + (1 (0 + λ)) )

20 o4b-bis Individuare l espressione regolare per il linguaggio L = {w {0, 1} w NON ha coppie di zeri consecutivi} S( (1 (01)1 ) (0 + λ) + (1 (0 + λ)) ) S( (1 + (01)) (0 + λ) ) definiscono lo stesso linguaggio?