Automi e Linguaggi Formali

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1 Automi e Linguaggi Formali Linguaggi regolari e automi a stati finiti 6 Ottobre 214 A.A Enrico Mezzetti emezzett@math.unipd.it

2 Recap Definizione informale di automi a stati finiti Diagramma delle Transizioni Start t h e n t th the then Elementi fondamentali: - stati finiti (iniziale, finale) - input - transizione ed etichetta (label) Rappresentazioni strutturali - Grammatiche, es. E E + E - Espressioni regolari, es. [A-Z][a-z]*[][A-Z][A-Z] Docente: Enrico Mezzetti 2 of 31

3 Recap - 2 Concetti di base della Teoria degli automi - Alfabeto: insieme finito e non vuoto di simboli Σ = {a, b, c,..., z} lettere minuscole - Stringa: seuenza finita di simboli da Σ (ɛ stringa vuota) 111, 111 Σ = {, 1} - Lunghezza di una stringa 11 = 4, ɛ = - Potenza k-esima di un alfabeto: come insieme delle stringhe di lunghezza k con simboli da Σ Σ 2 = {, 1, 1, 11} se Σ = {, 1} - Concatenazione: unione di due stringhe una stringa x = 111, y = 11, xy = Linguaggio: insieme di stringhe scelte da Σ L e un linguaggio su Σ se L Σ Problema dell appartenenza ad un linguaggio - Decidere se stringa w e un elemento di un linguaggio L Docente: Enrico Mezzetti 3 of 31

4 Automi a stati finiti deterministici - DFA Determinismo vs. non-determinismo in automa - Automa non-deterministico riducibile ad uno deterministico Deterministic Finite Automaton (DFA) definito da: 1 Un iniseme finito di stati Q 2 Un insieme finito di simboli in input (alfabeto) Σ 3 Una funzione di transizione δ(, a) p Q 4 Uno stato iniziale Q 5 Un iniseme di stati finali (o accettati) F Q DFA A = (Q, Σ, δ,, F ) Docente: Enrico Mezzetti 4 of 31

5 Linguaggio di un DFA Linguaggio di un DFA: insieme di stringhe che il DFA accetta DFA A che accetta tutte le stringhe dell alfabeto binario che contengono la seuenza 1 1, 111, L = {x1y : x, y {, 1} } Formalmente A = ({, 1, 2 }, {, 1}, δ,, { 1 }) Tabella di transizione Diagramma di transizione: Start , 1 Docente: Enrico Mezzetti 5 of 31

6 Accettazione su diagramma di transizione Un automa a stati finiti (FA) accetta una stringa w = a 1 a 2 a n se esiste un cammino (path) nel diagramma di transizione che 1 Inizia nello stato iniziale 2 Finisce in uno stato finale p F 3 Ha una seuenza di label a 1 a 2 a n Esempio Start , Docente: Enrico Mezzetti 6 of 31

7 Definizione formale di linguaggio di un DFA Funzione di transizione estesa ˆδ : (, w) p Q opera su stringhe Definita ricorsivamente per induzione su w Base ˆδ(, ɛ) = Induzione ˆδ(, xa) = δ(ˆδ(, x), a) Formalmente, il linguaggio accettato da A e L(A) = {w : ˆδ(, w) F } I linguaggi accettati da automi a stati finiti sono detti linguaggi regolari Docente: Enrico Mezzetti 7 of 31

8 Esempio di funzione di transizione estesa Consideriamo un DFA che accetta tutte e sole le stringhe con un numero pari di e un numero pari di 1 DFA che conta il numero di e 1 di una stringa in ingresso numero di e 1 letti sono entrambi pari 1 numero di letti e pari ma di 1 e dispari 2 numero di 1 letti e pari ma di e dispari numero di e 1 letti sono entrambi dispari 3 Start Docente: Enrico Mezzetti 8 of 31

9 Accettazione formale A = ({, 1, 2, 3 }, {, 1}, δ,, { }) Start Verifichiamo che ˆδ(, w) = ad es. per w= ˆδ(, ɛ) = - ˆδ(, 1) = δ(ˆδ(, ɛ), 1) = δ(, 1) = 1 - ˆδ(, 11) = δ(ˆδ(, 1), 1) = δ( 1, 1) = - ˆδ(, 11) = δ(ˆδ(, 11), ) = δ(, ) = 2 - ˆδ(, 111) = δ(ˆδ(, 11), 1) = δ( 2, 1) = 3 - ˆδ(, 111) = δ(ˆδ(, 111), ) = δ( 3, ) = 1 - ˆδ(, 1111) = δ(ˆδ(, 111), 1) = δ( 1, 1) = Docente: Enrico Mezzetti 9 of 31

10 Esercizi su DFA Docente: Enrico Mezzetti 1 of 31

11 Automi a stati finiti non deterministici - NFA Automi a stati finiti non deterministici - puo trovarsi contemporaneamente in diversi stati Esempio: automa che accetta solo le stringhe di ualsiasi lunghezza che terminano in 1, 1 Start Elaborazione dell input (stuck) 2 (stuck) Note: Non ci sono archi in uscita da 2, n da per input Sono ammessi piu archi in uscita per uno stesso symbolo Docente: Enrico Mezzetti 11 of 31

12 Definizione formale di NFA Non-deterministic Finite Automaton (NFA) definito da: 1 Un iniseme finito di stati Q 2 Un insieme finito di simboli in input (alfabeto) Σ 3 Una funzione di transizione δ(, a) Q Q 4 Uno stato iniziale Q 5 Un iniseme di stati finali (o accettati) F Q NFA A = (Q, Σ, δ,, F ) Differenza evidente con DFA - δ DFA : (, a) p Q - δ NFA : (, a) P(Q) Docente: Enrico Mezzetti 12 of 31

13 Specifiche di NFA Esempio: automa che accetta solo le stringhe di ualsiasi lunghezza che terminano in 1 Tabella di transizione Diagramma di transizione A = ({, 1, 2 }, {, 1}, δ,, { 2 }) 1 {, 1 } { } 1 { 2 } 2, 1 Start Docente: Enrico Mezzetti 13 of 31

14 Definizione formale di un linguaggio di un NFA Simile a DFA, sfrutta la funzione di transizione estesa ˆδ : (, w) P(Q) Sempre definita ricorsivamente per induzione su w Base ˆδ(, ɛ) = {} (singleton) Induzione ˆδ(, xa) = p ˆδ(,x) δ(p, a) Ovvero: applica transizione con label a a partire da tutti i p ˆδ(, x) Esempio: ˆδ(, 11) Formalmente, il linguaggio accettato da A e L(A) = {w : ˆδ(, w) F } Docente: Enrico Mezzetti 14 of 31

15 Esempio di accettazione formale A = ({, 1, 2 }, {, 1}, δ,, { 2 }) 1 {, 1 } { } 1 { 2 } 2, 1 Start Verifichiamo che accetta il linguaggio L = {x1 : x Σ } - Per induzione mutua su w per i tre enunciati seguenti w Σ ˆδ(, w) 1 1 ˆδ(, w) w = x 2 2 ˆδ(, w) w = x1 Docente: Enrico Mezzetti 15 of 31

16 Accettazione formale - 2 Base Se w = allora w = ɛ. Allora l enunciato () segue dalla defnizione Per (1) e (2) entrambi i lati sono falsi per ɛ Induzione Assumiamo che w = xa, dove a {, 1}, x = n e gli enunciati () (2) valgono per x. Dobbiamo dimostrare che gli enunciati valgono anche per w. () ˆδ(, x): poiche ammette transizioni su se stesso sia per che per 1, anche ˆδ(, w) (1-if) w termina con : allora a = e per () sappiamo che ˆδ(, x); poiche esiste una transizione da a 1 su input concludiamo che 1 ˆδ(, w) (1-only-if) 1 ˆδ(, w): sappiamo che c solo un modo di raggiungere 1 ovvero attraverso una se. x. (2-if) w termina con 1: allora a = 1 e x termina con ; per (1) sappiamo che 1 ˆδ(, x). Poiche esiste una transizione da 1 a 2 su input 1, allora 2 ˆδ(, w) (2-only-if) 2 ˆδ(, w): sappiamo che c solo un modo di raggiungere, ovvero che W sia nelle forma x1 dove 1 ˆδ(, x); per (1) sappiamo che x termina con e uindi w termina con 1 Docente: Enrico Mezzetti 16 of 31

17 Euivalenza di DFA e NFA DFA e NFA sono euivalenti - Accettano la stessa classe di linguaggi (NFA generalmente piu facili da costruire e meno complessi da tradurre) Per ogni NFA N esiste un DFA D tale che L(D) = L(N) (e viceversa) Dimonstrazione usa costruzione per sottonsiemi - Considera tutti i sottoinsiemi dell insieme di stati dell NFA - Descrizione formale di A nei termini di stati e transizioni di B Dato un NFA N = (Q N, Σ, δ N,, F N ) costruiremo un DFA D = (Q D, Σ, δ D, { }, F D ) tale che L(D) = L(N) Docente: Enrico Mezzetti 17 of 31

18 Construzione per sottonsiemi Osservazioni su N = (Q N, Σ, δ N,, F N ) e D = (Q D, Σ, δ D, { }, F D ) - Condividono lo stesso alfabeto Σ - Q D = {S : S Q N } (powerset Q D = 2 Q N ) (in effetti non tutti raggiungibili da ) - F D = {S Q N : S F N } - S Q N e a Σ, δ D (S, a) = p S δ N (p, a) E Per calcolare δ D (S, a) dobbiamo operare su tutti i p S Docente: Enrico Mezzetti 18 of 31

19 Construzione per sottonsiemi - Esempio, 1 Start Costruiamo δ D dell NFA gia visto 1 { } {, 1 } { } { 1 } { 2 } { 2 } {, 1 } {, 1 } {, 2 } {, 2 } {, 1 } { } { 1, 2 } { 2 } {, 1, 2 } {, 1 } {, 2 } DFA 1 A A A B E B C A D D A A E E F F E B G A D H E F E Che caratteristica hanno gli stati in δ D? Docente: Enrico Mezzetti 19 of 31

20 Valutazione differita dei sottoinsiemi Per evitare la crescita esponenziale degli stati - Tabella di transizione per D con solo stati accessibili S Determinazione induttiva di S accessibili Base S per definizione di stato iniziale Induzione Sia S accessibile, allora lo sono anche gli stati in δ D (S, a), a Tornando all esempio: - - δ D (, a) = {{ }, {, 1 }} - δ D ({, 1 }, a) = {{, 1 }, {, 2 }} - δ D ({, 2 }, a) = {{ }, {, 1 }} 1 Start 1 { {, {, } } 1 } 2 1 Docente: Enrico Mezzetti 2 of 31

21 Giustificazione formale costruzione per sottoinsiemi Th 2.11: Sia D il DFA ottenuto da un NFA N con la costruzione per sottoinsiemi. Allora L(D) = L(N) Prova: L(D) = L(N) se D e N accettano le stesse stringhe 1 Dimostriamo per induzione su w che ˆδ D ({ }, w) = ˆδ N (, w) Base w = (w = ɛ) per definizione Induzione w = n + 1, w = xa e enunciato vale per x ˆδ D ({ }, xa) def = δ D (ˆδ D ({ }, x), a) (1) i.h. = δ D (ˆδ N (, x), a) (2) cst = δ N (p, a) (3) p ˆδ N (,x) def = ˆδ N (, xa) (4) 2 Se D e N accettano w sia ˆδ D (, w) e ˆδ N (, w) contengono uno stato in F N Docente: Enrico Mezzetti 21 of 31

22 Generalizzazione Th 2.12: Un linguaggio L e accettato da un DFA se e solo se L e accettato da un NFA. Prova: Parte se Th Parte solo se Notiamo che un ualsiasi DFA puo essere convertito in un NFA euivalente in cui in ogni momento esiste solo una scelta di transizione possibile. Per induzione su w : Base Se δ D (, a) = p, allora δ N (, a) = {p}. Induzione Si dimostra che se ˆδ D (, w) = p, allora ˆδ N (, w) = {p}. Docente: Enrico Mezzetti 22 of 31

23 Crescita esponenziale degli stati Trasformazione vista e un caso favorevole ( stati) Esempio conversione con Q N = n + 1 e Q D = 2 n Insieme delle stringhe in {,1} tali che l n-esimo simbolo dalla fine sia 1., 1 Start 1, 1, 1, 1, n - Esistono 2 n sotto-seuenze distinte di lunghezza n - Se DFA avesse meno di 2 n stati allora almeno uno stato sarebbe raggiungibile da due seuenze distinte a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n i s.t. a i b i (pigeonhole principle) Docente: Enrico Mezzetti 23 of 31

24 Crescita esponenziale degli stati - 2 Caso 1: i = 1-1a 2 a n e b 2 b n (o viceversa) e allo stesso momento uno stato accettante e non accettante Caso 2: i 1 - a 1 a i 1 1a i+1 a n b 1 b i 1 b i+1 b n State p := i 1 : ˆδ N (, a 1 a i 1 1a i+1 a n i 1 ) = ˆδ N (, b 1 b i 1 b i+1 b n i 1 ) p e allo stesso momento uno stato accettante e non accettante Docente: Enrico Mezzetti 24 of 31

25 Automi a stati finiti con transizioni ɛ Estensione di FA che ammettono transizioni su ɛ - Zucchero sintattico non estende l espressivita - ɛ-fa strettamente legati alle espressioni regolari Esempio: ɛ-nfa che accetta numeri decimali Start,1,...,9,1,...,9 ε,+,- 1 2 ε 3 5.,1,...,9,1,..., Numeri decimali in notazione anglosassone: 1 Un segno + o -, opzionale 2 Una stringa di cifre decimali 3 Un punto decimale 4 Un altra stringa di cifre decimali Una sola sottoseuenza tra (2) e (4) puo essere vuota Docente: Enrico Mezzetti 25 of 31

26 Definizione ed esempio Un ɛ-nfa e una uintupla (Q, Σ, δ,, F ) dove δ : Q Σ {ɛ} P(Q) Es. ɛ-nfa numeri decimali E = ({, 1,..., 5 }, {., +,,, 1,..., 9} δ,, { 5 }) Start,1,...,9,1,...,9 ε,+,- 1 2 ε 3 5.,1,...,9,1,...,9 4. ɛ +,-.,..., 9 { 1 } { 1 } 1 { 2 } { 1, 4 } 2 { 3 } 3 { 5 } { 3 } 4 { 3 } 5 Docente: Enrico Mezzetti 26 of 31

27 ɛ-chiusura Quali sono le stringhe e i linguaggi accettati da ɛ-nfa? Concetto fondamentale ɛ-closure di uno stato - Insieme di stati raggiungibili da attraverso ɛ-transizioni - Definizione induttiva: Base ECLOSE() Induzione p ECLOSE() and r δ(p, ɛ) r ECLOSE() Esempio: ε ε ε b ε a ε ECLOSE(1) = {1, 2, 3, 4, 6} Docente: Enrico Mezzetti 27 of 31

28 Funzione di transizione per ɛ-nfa Definizione di ˆδ per automi ɛ-nfa - Per induzione su w (ɛ non contribuisce a w) Base ˆδ(, ɛ) = ECLOSE() Induzione ˆδ(, xa) = p δ(ˆδ(,x),a) ECLOSE(p) Esempio: ˆδ(, 5.6) per l NFA dei numeri decimali Docente: Enrico Mezzetti 28 of 31

29 Da ɛ-nfa a DFA Dato un ɛ-nfa E = (Q E, Σ, δ E,, F E ) - Costruire un DFA D = (Q D, Σ, δ D, D, F D ) - Tale che L(D) = L(E) Caratterizzazione di D - Q D = {S : S Q E e S = ECLOSE(S)} - D = ECLOSE( ) - F D = {S : S Q D e S F E } - a, δ D (S, a) = {ECLOSE(p) : p δ(t, a) per alcuni t S} Docente: Enrico Mezzetti 29 of 31

30 Esempio ɛ-nfa E Start DFA D corrispondente,1,...,9,1,...,9 4,1,...,9.,1,...,9,1,...,9 ε,+,- 1 2 ε 3 5.,1,...,9 +,- {, } { } {, } { ,1,...,9., 3, 5 } Start..,1,...,9 { 2 } { 3, 5 },1,...,9,1,...,9 Docente: Enrico Mezzetti 3 of 31

31 Euivalenza tra ɛ-nfa e DFA Th 2.22: Un linguaggio L e accettato da un ɛ-nfa E se e solo se L e accettato da un DFA Prova: Parte se Facile Parte solo se Usiamo D costruito come sopra e mostriamo per induzione su w che ˆδ E (, w) = ˆδ D ( D, w) Base w = (w = ɛ) ˆδ E (, ɛ) = ECLOSE( ) = D = ˆδ( D, ɛ) Induzione w = n + 1, w = xa e enunciato vale per x ˆδ E (, xa) = ECLOSE(p) = = p δ E (ˆδ E (,x),a) p δ D (ˆδ D ( D,x),a) p ˆδ D ( D,xa) = ˆδ D ( D, xa) ECLOSE(p) ECLOSE(p) Docente: Enrico Mezzetti 31 of 31