ALFABETO. Informatica Prof. Nicola BRUNO

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1 ALFABETO In generale, ogni tipo di linguaggio (naturale o artificiale) è costruito su un alfabeto. Un alfabeto è definito come un insieme finito e non vuoto di simboli elementari. Una stringa è costituita da una sequenza qualsiasi di simboli. La stringa vuota è una stringa priva di simboli, indicata con λ (lambda). La lunghezza di una stringa è il numero di simboli nella stringa, per esempio abc = 3.

2 Alfabeto Esempi di alfabeti per i linguaggi naturali possono essere: - italiano, composto da 21 lettere; - inglese, composto da 26 lettere. Esempi di alfabeti per i linguaggi artificiali possono essere: - insieme {linea,punto} del linguaggio telegrafico; - insieme dei colori {rosso,giallo,verde} del linguaggio semaforico; - insieme delle cifre {0,1} utilizzato per il sistema di numerazione binaria.

3 LINGUAGGIO Con A * si indica l insieme di tutte le stringhe su A, inclusa la stringa vuota. Con A + si indica l insieme di tutte le stringhe su A, esclusa la stringa vuota. Un linguaggio L su un alfabeto A è un insieme di stringhe costruite su A, ovvero è un qualsiasi sottoinsieme di A * : L A * In generale, un linguaggio di programmazione è costituito, come ogni altro tipo di linguaggio, da un alfabeto con cui viene costruito un insieme di parole chiave (il vocabolario) e da un insieme di regole sintattiche (la grammatica), per l uso corretto delle parole del linguaggio.

4 Linguaggio Tipi particolari di linguaggio: L 1 = linguaggio vuoto L 2 = {λ} linguaggio formato dalla sola stringa vuota L 3 = A + L 4 = A * Per esempio, se A = {0,1}, allora A + = {0,1,00,10,01,11,000,111,..} I linguaggi sono insieme, e quindi su di essi risultano definite tutte le operazioni insiemistiche.

5 GERARCHIA DI LINGUAGGI In informatica si parla di programmazione a basso livello quando si utilizza un linguaggio molto vicino al computer, ovvero al suo funzionamento interno. La programmazione è più complessa e meno intuitiva, ma consente di sviluppare programmi più efficienti. Si parla invece di programmazione ad alto livello quando si utilizzano linguaggi più sofisticati ed astratti, slegati dal funzionamento fisico del computer. La programmazione è più naturale e rapida, ma non sempre consenta di produrre programmi efficienti. Si viene così a creare una gerarchia di linguaggi, dai meno evoluti (linguaggio macchina e assembler) a quelli più evoluti (Pascal, Cobol, Java).

6 TIPI DI LINGUAGGIO DI PROGRAMMAZIONE Possiamo raggruppare i numerosi linguaggi di programmazione esistenti (circa 2500 più o meno noti e diffusi), in base al modello astratto di programmazione adottato per il loro utilizzo.

7 Un linguaggio imperativo è caratterizzato da istruzioni che rappresentano comandi espliciti, che operano su una o più variabili. Le istruzioni vengono eseguite in un ordine prestabilito. Il programmatore ragiona in termini di assegnazione, cioè i valori delle variabili sono assegnati a partire da costanti o da altre variabili. Un linguaggio dichiarativo è basato sui concetti di funzione e relazione. Il programmatore ragiona in termini di relazioni fra entità e di valori di una funzione. Nei linguaggi logici l'istruzione è una clausola che descrive una relazione fra i dati. Non c'è un ordine prestabilito di esecuzione delle varie clausole, ma è compito dell'interprete trovare l'ordine giusto.

8 RAPPRESENTAZIONE DEL LINGUAGGIO Dopo aver definito un linguaggio L su un alfabeto A, il primo problema che bisogna risolvere è la rappresentazione del linguaggio stesso. Se L è finito, è sufficiente elencare tutte le stringhe che compongono il linguaggio. Se L è infinito, allora bisogna trovare altre soluzioni.

9 GRAMMATICA E AUTOMA 1) GRAMMATICA Un primo metodo consiste nell introduzione di un sistema generativo del linguaggio, detto grammatica. In pratica, ogni stringa del linguaggio viene costruita e strutturata in modo preciso e non ambiguo utilizzando le regole di una grammatica. Il linguaggio generato dalla grammatica G si indica con L(G) e rappresenta l insieme delle stringhe generabili da G. 2) AUTOMA Un secondo metodo consiste nell utilizzo di un sistema di riconoscimento, detto automa. In pratica, l automa accetta in input una qualsiasi stringa e risponde SI se la stringa appartiene al linguaggio associato, NO altrimenti. Il linguaggio riconosciuto dall automa M si indica con L(M) e rappresenta l insieme delle stringhe riconosciute da M.

10 AUTOMA Un automa è un dispositivo astratto, utilizzato per realizzare delle computazioni. Gli automi sono utilizzati come modello nella progettazione di circuiti digitali, negli analizzatori lessicali di un compilatore, per software per la verifica di sistemi a stati finiti, come i protocolli di comunicazione, ecc. In generale, un automa è un dispositivo in grado di eseguire da solo, cioè in modo automatico, senza l intervento di una persona, una sequenza di azioni stabilite in precedenza. È dotato di particolari meccanismi per acquisire elementi in input e produrre elementi in output: durante il suo funzionamento, può assumere al suo interno stati diversi tra loro.

11 DEFINIZIONE FORMALE Un automa a stati finiti deterministico è definito come una quintupla di elementi M = (I, S, s 0, F, T) 1. alfabeto dei simboli input I = (i 1, i 2,,i n ), cioè l insieme finito dei simboli che l automa è in grado di ricevere dall esterno, riconoscendoli; 2. insieme dei possibili stati S = (s 1, s 2,,s n ) che l automa può assumere durante il suo funzionamento; 3. stato iniziale s 0 S (unico) di partenza del funzionamento dell automa; 4. insieme degli stati finali F S; 5. funzione di transizione T: S x I S, ovvero T: (s t-1, i t ) (s t ) cioè la funzione che indica lo stato successivo di transizione all istante t, in relazione di un determinato stato precedente all istante t-1 e di un determinato simbolo input all istante t.

12 FUNZIONAMENTO In generale, il funzionamento di un automa consiste nell accettare un simbolo dall esterno ed emettere un simbolo in uscita, producendo un cambiamento di stato. L automa non ha memoria, quindi la funzione di transizione T dipende solo dallo stato in cui si trova l automa e dal simbolo input in lettura in quel momento. Una stringa sarà riconosciuta dall automa se, partendo dallo stato iniziale s 0 e avendo come input la stringa, esso dopo un certo numero di transizioni di stato si troverà in uno stato finale di F. Se alla fine l automa non si trova in uno stato finale, allora la stringa sarà rifiutata. Il funzionamento di un automa può essere descritto mediante un algoritmo, mediante un grafo di transizione oppure mediante la tabella della sua funzione.

13 SCHEMA Gli aspetti che caratterizzano il funzionamento di un automa sono: 1. i simboli forniti dall esterno, che l automa sa riconoscere nel loro significato; 2. i simboli prodotti all esterno come risultato del lavoro svolto; 3. l insieme di tutti i possibili stati che l automa può assumere; 4. l insieme di tutte le possibili transizioni, da uno stato all altro. Automa M insieme dei possibili STATI S = (s 1, s 2,,s n ) funzione di transizione T S T Testina alfabeto dei simboli input I = (i 1, i 2,,i n ) i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 Nastro unidirezionale

14 AUTOMA DETERMINISTICO E NON DETERMINISTICO Tratteremo automi a stati finiti deterministici: ad ogni mossa o transizione, il nuovo stato dell automa è determinato in modo univoco in base al simbolo letto in input, ed allo stato corrente. Nel caso non determistico, invece, ad ogni transizione il nuovo stato dell automa è determinato in modo non univoco, cioè viene scelto in un insieme di possibili celle, sempre in base al simbolo letto in input, ed allo stato corrente.

15 ESPRESSIONE REGOLARE Un automa a stati finiti, espresso in maniera formale ed in forma algebrica, prende il nome di espressione regolare. Esempio di espressione regolare di un automa a stati finiti che sappia riconoscere tutte le stringhe del linguaggio formate da 0 e 1, che terminano con 01: (01)* 01 L (M) = { 01}*01 ovvero L = { tutte le stringhe che finiscono con 01}

16 Esempio 1 Descrivere un automa (finito e deterministico) che sappia riconoscere tutte e solo le stringhe binarie che contengono almeno due zeri consecutivi (per esempio, accetta e rifiuta 10110). M = (I,S,s 0,F,T) dove: I = {0,1} S = {p,q,r} p è lo stato iniziale F = {r} La funzione di transizione T è definita dalla seguente tabella:

17 Esempio (segue) M = (I, S, s 0, F, T), dove: I={0, 1} S={p, q, r} p è lo stato iniziale F={r} Tabella T: p q 0 q r 1 p p r r r 1. Lo stato iniziale è p. 2. Lo stato p significa che due zeri consecutivi non sono ancora apparsi e il simbolo precedente non è uno Lo stato q significa che due zeri consecutivi non sono ancora apparsi e il simbolo precedente era Lo stato r significa che sono apparsi due zeri consecutivi. 5. Quando M entra nello stato finale r, non ne esce più e rimane su questo stato sino alla fine dei simboli input.

18 Esempio (segue) T 0 1 Supponiamo di avere in input la stringa L automa effettua le seguenti transizioni: (p,01001) (q,1001) (p,001) (q,01) (r,1) (r, λ). p q r q r r p p r Poiché (r, λ) è una configurazione finale, la stringa input viene accettata dall automa.

19 Esempio 2 Descrivere un automa (finito e deterministico) che sappia riconoscere tutte le stringhe del linguaggio formate da 0 e 1, che terminano con 01: L (M) = { 01}*01 ovvero L = { tutte le stringhe che finiscono con 01} 1 0 s 0 0 s 1 1 s 2 0 Tabella T: 0 1 s 0 1 s 1 s 0 s 1 s 1 s 2 s 2 s 1 s 0

20 TEST 1 Descrivere un automa che riconosce il seguente linguaggio definito sull alfabeto A = {a, b, c}: L = { x {a, b, c}* : x è una stringa di a di lunghezza pari } b,c a b,c s 0 s 1 a Esempio: la stringa abbca è riconosciuta; la stringa abbcaa non è riconosciuta.

21 TEST 2 Descrivere un automa che riconosce il seguente linguaggio definito sull alfabeto A = {a, b}: L = { x {a, b}* : x è una stringa di a di lunghezza multiplo di 3 } Esempio: la stringa abbaa è riconosciuta; la stringa abbaaa non è riconosciuta.

22 TEST 3 Descrivere un automa che riconosce il seguente linguaggio definito sull alfabeto A = {a, b, c}: L (M) = {a}*. {bb}. {c}* Esempio: la stringa abbcc è riconosciuta; la stringa acbbcc non è riconosciuta.

23 MACCHINA DI TURING Nel 1936 il matematico inglese Alan Turing propose l'idea di una macchina astratta che fosse capace di eseguire ogni tipo di calcolo su numeri e simboli. Turing non costruì materialmente la sua macchina universale". D'altra parte, data la sua semplicità, una macchina di Turing può essere simulata con carta e penna: se un operatore umano può eseguire le istruzioni senza incertezze e ambiguità, allora la procedura è automatizzabile. Il metodo di programmazione di Turing essenzialmente descrive una macchina che utilizza solo alcune semplici istruzioni: elaborare su computer un problema particolare, è solo questione di dividere il problema in una serie di sottoproblemi più semplici, risolvibili appunto con semplici operazioni.

24 Macchina di Turing Per comprendere l'importanza della macchina di Turing, occorre fare una distinzione tra concetto di semplici calcolatrici e di moderni calcolatori (computer). Le calcolatrici possono eseguire un certo numero di operazioni ma non possono essere programmate, ovvero non possono accettare ed eseguire processi di calcolo articolati e complessi, definiti in base ad opportuni comandi da eseguire in modo completamente automatico. I computer sono invece programmabili, ovvero possono effettuare qualsiasi tipo di computazione, in termini di manipolazione di simboli binari, seguendo un'insieme di regole (algoritmo). Da questo modello nasce l'idea del calcolatore universale.

25 PROBLEMI DECIDIBILI ED INDECIDIBILI Turing ha studiato e definito le macchine di Turing prima che esistessero i calcolatori. Le macchine di Touring possono essere considerate come un prototipo astratto dei moderni calcolatori. In generale,esistono due classi di problemi: 1. decidibile se esiste un programma che lo possa risolvere; 2. indecidibile se non esiste alcun programma che lo possa risolvere. La computabilità di un problema è collegabile alle macchine di Turing, poiché si può dimostrare che un problema è calcolabile o decidibile se è possibile descrivere una macchina di Turing che pervenga al risultato in un numero finito di passi. I problemi per i quali non esiste alcuna macchina di Turing capace di risolverli, sono detti indecidibili.

26 Funzionamento Una macchina di Turing (MT) è un automa a stati finiti con un nastro di input/output, su cui può leggere e scrivere. Il nastro può essere immaginato di lunghezza infinita, diviso in quadratini dette celle. Ogni cella contiene un simbolo, oppure è vuota. Una MT ha una testina che si sposta lungo il nastro leggendo, scrivendo oppure cancellando simboli nelle celle. La macchina analizza il nastro, una cella alla volta, iniziando dalla cella che contiene il simbolo più a sinistra nel nastro. Una MT fa uno spostamento in base al suo stato interno corrente, e al simbolo letto sul nastro.

27 Definizione formale Formalmente una macchina di Turing può essere descritta come una sestupla: MT= ( A, I, S, s 0, F, T) A: insieme finito simboli nastro, utilizzati dalla macchina; comprende anche il simbolo λ, che corrisponde alla cella vuota, cioè alla parte di nastro non utilizzato, e serve per indicare l assenza di simboli; I: insieme finito simboli input, I A; S: insieme degli stati della macchina; S 0 : stato iniziale; F: insieme degli stati finali della macchina F S; T: funzione di transizione, che associa ad ogni coppia (stato, simbolo di input) una terna (stato, simbolo di nastro, movimento della testina): T: S x I S x A x {L, R} ovvero T: (s t-1, i t ) ( s t, a t, m t )

28 Transizione La funzione di transizione può essere rappresentata tramite una tabella di transizione: sulle righe sono indicati i simboli che vengono letti dal nastro, sulle colonne gli stati della macchina. All incrocio tra una riga ed una colonna vengono specificati il simbolo che viene scritto in output sul nastro, lo stato successivo e il movimento della testina. In ogni istante la MT assume una configurazione che può essere definita con la quintupla: 1) simbolo letto 2) stato 3) nuovo stato 4) simbolo scritto 5) movimento della testina. Il passaggio da una configurazione a quella dell istante successivo si chiama mossa della MT. Se una TM entra in uno stato s n in cui non è definita alcuna T, allora si dice cha la TM si arresta. Analogamente, se una TM accetta una stringa, si può assumere che si arresti.

29 Operazioni Una MT può essere immaginata come un registratore a nastro, con una testina di lettura, scrittura e cancellazione. La testina possiede un indicatore che determina, per ogni mossa, lo stato in cui la macchina si trova, mentre sta leggendo il simbolo contenuto nella cella del nastro sul quale essa è posizionata. Una MT effettua le seguenti operazioni: - conserva la memoria del suo stato interno; - legge il simbolo scritto in una cella; - sovrascrive o cancella il simbolo scritto in una cella; - scorre il nastro cella dopo cella, verso destra {R} o sinistra {L}; - non effettua nessuna operazione. Definire una MT, significa specificare le regole che indichino che cosa fare in corrispondenza della combinazione di stati e di simboli letti sul nastro: in pratica, questo è l equivalente del concetto moderno di software.

30 Esempio L istruzione contenuta in tabella, descrive la seguente regola: se l indicatore di stato è in posizione 1 e la testina sta leggendo il simbolo input a, allora l istruzione consiste in: 1) cambiare lo stato della macchina a 2, 2) cancellare il simbolo nella cella corrente, 3) far avanzare la testina verso destra {R}. T: S x I S x A x {L, R} ovvero T: ( s t-1, i t ) ( s t, a t, m t ) stato iniziale legge stato finale scrive azione 1 a 2 cancella R

31 Perché utilizzare una MT. TESI DI CHURCH - TURING Intuitivamente, un problema è risolvibile quando è possibile costruire una MT in grado di eseguire un algoritmo che descrive, attraverso passi elementari, il procedimento risolutivo. Esiste quindi un collegamento tra il concetto di algoritmo e il concetto di MT, nel senso che l algoritmo è il procedimento risolto dalla MT astratta. Il termine funzione computabile indica un procedimento che trasforma i dati iniziali in dati finali. La tesi di Church-Turing afferma che: la classe delle funzioni computabili, secondo il concetto intuitivo di algoritmo, coincide con la classe delle funzioni Turingcomputabili, cioè computabili con una MT. Sulla base di questa tesi, possiamo quindi individuare all interno dell insieme di tutti i possibili problemi, il sottoinsieme dei problemi che sono computabili: sono quelli ai quali può essere associata una MT che risolve il problema. Inoltre, l algoritmo risolutivo di un problema computabile può essere identificato con la sequenza delle azioni che vengono eseguite da una MT.

32 Esempio 1 Descrivere una MT che somma una stringa di 2 A con una stringa di 4 A. La tabella di transizione conterrà le seguenti istruzioni, che non vengono necessariamente eseguite in sequenza, una dopo l'altra, ma in base allo stato della MT. stato iniziale legge scrive azione stato finale R 0 A A D R 0 R 0 - A D R 3 R 3 - A D R 2 R 2 - A D R 1 R 1 - A STOP R 0 La prima istruzione prevede che se l'automa si trova nello stato iniziale R 0 e legge la lettera A, deve riscrivere la lettera, spostarsi di una cella verso destra (D), e mantenere il suo stato interno R 0 fino a quando trova una lettera A da leggere.

33 Esempio 1 R 0 stato iniziale legge scrive azione stato finale R 0 A A D R 0 R 0 - A D R 3 R 0 R 3 - A D R 2 R 2 - A D R 1 L'automa 1. si trova nello stato iniziale R 0 2. legge la lettera A, 3. riscrivere la lettera, 4. si sposta di una cella verso destra (D), 5. mantiene il suo stato interno R 0 fino a quando trova una lettera A da leggere. R 0 R 1 - A STOP R 0 A questo punto, nello stato R 0 non legge una A ma trova una cella vuota: 1. scrive nella cella corrente una lettera A, 2. si sposta di una cella verso destra (D), 3. passa allo stato R 3.

34 Esempio 1 stato iniziale legge scrive azione stato finale 1. scrive nella cella corrente una lettera A, 2. si sposta di una cella verso destra (D), 3. passa allo stato R 3. R 0 A A D R 0 R 0 - A D R 3 R 3 - A D R 2 R 2 - A D R 1 R 1 - A STOP R 0 R 3 Nello stato R 3 non legge una A ma trova una cella vuota: 1. scrive nella cella corrente una lettera A, 2. si sposta di una cella verso destra (D), 3. passa allo stato R 2. R 2

35 Esempio 1 stato iniziale legge scrive azione stato finale Nello stato R 2 non legge una A ma trova una cella vuota: 1. scrive nella cella corrente una lettera A, 2. si sposta di una cella verso destra (D), 3. passa allo stato R 1. R 0 A A D R 0 R 0 - A D R 3 R 3 - A D R 2 R 2 - A D R 1 R 1 - A STOP R 0 R 1 Nello stato R 1 non legge una A ma trova una cella vuota: 1. scrive nella cella corrente una lettera A, 2. passa allo stato R 0, 3. si arresta. R 0

36 Esempio 2 Descrivere una MT per risolvere il seguente problema: calcolare il quoziente ed il resto della divisione di un numero intero per 2 L alfabeto dei simboli è composto dalle 10 cifre decimali con l aggiunta del simbolo vuoto λ, e il simbolo # che indica la situazione di fine input su nastro: A = {λ, #, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } L insieme I dei simboli di input è costituito dalle 10 cifre decimali e dal simbolo #. Insieme degli stati: S = {R 0, R 1, R F } Stato iniziale: R 0 Stato finale: R F Inizialmente, il nastro contiene le cifre che compongono il dividendo. Alla fine dell elaborazione, conterrà le cifre del quoziente e immediatamente alla loro destra la cifra del resto (che può essere ovviamente 0 oppure 1 ).

37 Esempio 2 La funzione di transizione effettua le seguenti operazioni: (R 0, cifra pari) (R 0, cifra pari / 2, DESTRA) (R 1, cifra pari) (R 0, (cifra pari + 10) / 2, DESTRA) (R 0, cifra dispari) (R 1, cifra dispari / 2, DESTRA) (R 1, cifra dispari) (R 1, (cifra dispari + 10) / 2, DESTRA) (R 1, #) (FINE, 1, DESTRA) (R 0, #) (FINE, 0, DESTRA) La MdT opera scandendo le cifre del dividendo a partire da quella più significativa (più a sinistra) e scrivendo al posto di ogni cifra il quoziente della cifra diviso 2, tenendo conto dell eventuale resto precedente. Gli stati R 0 e R 1 servono a ricordare rispettivamente le situazioni con resto uguale a 0 oppure uguale a 1.