Automi e Linguaggi Formali

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1 Propriet dei linguggi liberi d contesto utomi e Linguggi Formli Propriet dei linguggi liberi d contesto emplificzione - CFG possono essere semplificte - e L e CFL llor l su grmmtic h un form specile Pumping Lemm per i CFL - imile l lemm per i LR - e L non e CFL il pumping lemm mostrer un contrddizione Propriet di chiusur - lcune propriet di chiusur di LR vlgono nche per CFL Propriet di decisione - Controllre lcune propriet : e.g., w L e L = - Equivlenz non e decidibile Enrico Mezzetti emezzett@mth.unipd.it Docente: Enrico Mezzetti 2 of 20 emplificzione e forme normli Esempi di semplificzione preliminre Ogni CFL (senz ε) e generto d un CFG dove tutte le produzioni sono dell form C oppure dove,, e C sono vribili, e e un simbolo terminle Form normle di Chomsky (CNF) emplificzionni preliminri per ottenerl - Eliminre i simboli inutili, che non ppiono in nessun derivzione w - Eliminre le ε-produzioni, dell form ε - Eliminre le produzioni unitrie, dell form, dove e sono vribili - Eliminre le produzioni con piu di due non-terminli come corpo imboli inutili b ε-produzioni ε b ε Produzioni unitrie F I (E) T F T F E T E + T b ε b ε [L(G) L(G) {ε}] b b b F I (E) b I Ib I 0 I 1 T F T F (E) b I Ib I 0 I 1 E T E + T T F (E) b I Ib I 0 I 1 Docente: Enrico Mezzetti 3 of 20 Docente: Enrico Mezzetti 4 of 20

2 Esempio di CNF Produzioni dell form C oppure Considerimo l CFG delle espressioni semplifict E E + T T F (E) b I Ib I 0 I 1 T T F (E) b I Ib I 0 I 1 F (E) b I Ib I 0 I 1 ggiungimo le produzioni sui terminli, b, Z 0, U 1 Ottenimo l grmmtic E EPT TMF ED I I IZ IU T TMF ED I I IZ IU F ED I I IZ IU I I I IZ IU, b, Z 0, U 1 Esempio di CNF - 2 Produzioni dell form C oppure Eliminzione corpi con piu di due non-terminli - E EPT E EC 1, C 1 PT - E T TMF E T T C 2, C 2 MF - E T F ED E T F LC 3, C 3 ER Ottenimo l grmmtic E EC 1 TC 2 C 3 I I IZ IU T TC 2 C 3 I I IZ IU F C 3 I I IZ IU I I I IZ IU, b b, Z 0, U 1 C 1 PT, C 2 MF, C 3 ED Docente: Enrico Mezzetti 5 of 20 Docente: Enrico Mezzetti 6 of 20 Propriet CNF Grmmtiche CNF producono solo lberi binri Esempio ε b bb ε bb E CF C G D D b CF C DD C D b E F G D D E D Propriet CNF - 2 Th.7.17: Dto un lbero sintttico con prodotto w conforme d un grmmtic CFG G in CNF, se l ltezz dell lbero e n, llor w 2 n 1. Prov: Per induzione sull ltezz n dell lbero. n=1 lbero costituito d un unic produzione del tipo - w = = 1 n>1 n > 1 l rdice us un produzione del tipo C - Nessun cmmino nei sottolberi, C puo vere ltezz mggiore di n 1 - Per ipotesi induttiv i prodotti dei sotto-lberi w e w C hnno lunghezz 2 (n 1) 1 = 2 n 2 - w = w + w C 2 n n 2 = 2 n 1 Docente: Enrico Mezzetti 7 of 20 Docente: Enrico Mezzetti 8 of 20

3 Pumping lemm per CFL Informlmente Informlmente In ogni string sufficientemente lung di un CFL si possono trovre due sottostringhe vicine che e possibile eliminre o ripetere (insieme), ottenendo sempre stringhe del linguggio Formlmente i L un CFL. Esiste un costnte n tle che, se z L e z n, possimo scrivere z = uvwxy con le seguenti condizioni 1 vwx n 2 vx ε 3 i 0, uv i wx i y L e l string w e sufficientemente lung, l lbero sintttico che produce w = uvwxy h un simbolo non terminle che si ripete in un cmmino dll rdice d un fogli. upponimo i = j Individuimo il sottolbero con rdice j e chimimo w il suo prodotto Individuimo il sottolbero con rdice i e chimimo vwx il suo prodotto Poiche i = j possimo rimpizzre il sottolbero di i con quello di j, ottenendo quindi uwy, che deve ncor pprtenere L. Oppure possimo rimpizzre il sottolbero di j con quello di i, ottenendo uvvwxxy, ncor genert d L. Docente: Enrico Mezzetti 9 of 20 Docente: Enrico Mezzetti 10 of 20 Prov sketch Esempio Considerimo un grmmtic in CNF G per L - upponimo che G bbi m vribili e scelgimo n = 2m - Per propriet CNF: lbero con cmmino lungo m (un occorrenz per vribile) h prodotto di lunghezz 2 m 1 - M z = 2 m cmmino di lunghezz m Esistono lmeno due derivzioni di un stess vribile (sottolbero) h = j j u w y u v w x y Considerimo L = {0 n 1 n 2 n n 1} Dto un n generico, sceglimo z = 0 n 1 n 2 n Per qulunque scomposizione di z in uvwxy, con vwx n e vx ε, vwx non puo contenere si 0 che 2 - Ultimo 0 e primo 2 sono lontni n + 1 posti Per csi: - vwx non contiene 2 vx h solo 0 e 1 uwy / L dto che h n 2, m meno di n 0 o 1 - vwx non contiene 0 nlogo u v w x y z v w x Docente: Enrico Mezzetti 11 of 20 Docente: Enrico Mezzetti 12 of 20

4 ltri esempi Propriet di chiusur dei CFL I CFL non snno bbinre coppie con lo stesso numero di simboli, se le coppie sono intreccite - E.g., L = {0 i 1 j 2 i 3 j i, j 1} - Dto n, sceglimo z = 0 n 1 n 2 n 3 n Quindi vwx contiene un solo simbolo o due simboli. In ogni cso, le stringhe generte non sono in L. I CFL non snno bbinre due stringhe di lunghezz rbitrri, se sono su un lfbeto di piu di un simbolo - E.g., L = {ww w {0, 1} } - Dto n, sceglimo z = 0 n 1 n 0 n 1 n. Comunque l scomponimo, non ottenimo stringhe in L. Th.7.24: I CFL sono chiusi sotto unione, conctenzione, chiusur di Kleene e chiusur positiv (+) Prov: E sufficiente operre sulle grmmtiche: - per lunione: - per l conctenzione: - per l chiusur di Kleene: ε - per l chiusur positiv: ltri esempi... Docente: Enrico Mezzetti 13 of 20 Docente: Enrico Mezzetti 14 of 20 Chiusur rispetto ll inversione Chiusur rispetto ll intersezione Th.: e L e CF, llor lo e nche nche L R Prov: Poiche L CF, llor sr generto d G = (V, T, P, ). - Costruimo G R = (V, T, P R, ) dove P R = { α R : α P} - i puo dimostrre per induzione sull lunghezz delle derivzioni in G e in G R che (L(G)) R = L(G R ) I CFL non sono chiusi sotto l intersezione i L 1 = {0 n 1 n 2 i : n 1, i 1} CFL con grmmtic i L 2 = {0 i 1 n 2 n : n 1, i 1} CFL con grmmtic L 1 L 2 = {0 n 1 n 2 n : n 1} non e CF. Docente: Enrico Mezzetti 15 of 20 Docente: Enrico Mezzetti 16 of 20

5 Intersezione tr CFL e linguggi regolri Th.7.27: e L e CF, e R e regolre, llor L R e CF Prov: i L ccettto dl PD P = (Q P, Σ, Γ, δ P, q P, Z 0, F P ) per stto finle e R si ccettto dl F = (Q, Σ, Γ, δ, q, F ) Costruimo un PD per L R Intersezione tr CFL e linguggi regolri - 2 Formlmente P = (Q P Q, Σ, Γ, δ P, (q P, q ), Z 0, (F P F ) dove δ((q, p),, X ) = {((r, ˆδ (p, )), γ) : (r, γ) δ P (q,, X )} Per induzione su si prov che In P (q P, w, Z 0 ) (q, ε, γ) ((q P, q ), w, Z 0 ) ((q, ˆδ(p, w)), ε, γ) In P Input F stte PD stte ND ccept/ reject Input F stte PD stte ND ccept/ reject tck tck Docente: Enrico Mezzetti 17 of 20 Docente: Enrico Mezzetti 18 of 20 Differenz e complemento tr CFL e LR Problemi indecidibili per CFL Th.7.29: ino L, L 1, L 2 CFL e R regolre 1 L \ R e CF 2 L non e necessrimente CF 3 L 1 \ L 2 non e necessrimente CF Prov: (1) L \ R = L R e sppimo che R e regolre e che L R e regolre per Th.7.27 (2) e L fosse CF llor - L 1 L 2 srebbe CF - m L 1 L 2 = L 1 L 2 che non e CF (vedi esempio) (3) Σ e CFL per ogni lfbeto Σ e quindi nche Σ \ L = L srebbe CFL, in contrddizione con punto 2 Non esiste un lgoritmo in grdo di decidere i seguenti problemi - Verificre che un CFG e mbigu - Verificre che un CFL e inerentemente mbiguo - Verificre che l intersezione di due CFL e vuot - Verificre che due CFL sono uguli - Verificre che un CFL e ugule Σ Docente: Enrico Mezzetti 19 of 20 Docente: Enrico Mezzetti 20 of 20