LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13)

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1 LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) DISPENSA N. 9 Sommrio. Crtterizzimo l equivlenz elementre in termini di sistemi di isomorfismi przili e di giochi di Ehrenfeucht-Frïssé. 1. Giochi di Ehrenfeucht-Frïssé Voglimo sviluppre strumenti per dimostrre l ssiomtizzbilità o l non-ssiomtizzbilità finit di clssi di strutture che si pplicbile nche strutture finite. Un struttur relzionle finit è essenzilmente un bse di dti e studire quli proprietà di strutture finite sono definibili in un logic è studire quli queries (boolene) sono esprimibili in un dto linguggio di interrogzione. L Compttezz non è degut questo scopo perché non grntisce che il modello ottenuto si finito! L relzione di equivlenz elementre è qui centrle. Due strutture sono dette elementrmente equivlenti se soddisfno gli stessi enunciti. In questo cso scrivimo A B. (Si osserv che l nozione è più debole di quell di isomorfismo: se A e B sono isomorfe llor A B m il vicevers non vle. Bsti pensre un modello non-stndrd di {E : N = E}. Un tle modello è elementrmente equivlente l modello stndrd N m non isomorfo d esso). Si K un proprietà di strutture. Se esistono A e B tli che A B, A K e B / K llor K non è ssiomtizzbile. Per l nlisi dell ssiomtizzbilità finit è utile un versione limitt dell equivlenz elementre. Due strutture sono dette elementrmente equivlenti per formule di grdo l più k se soddisfno gli stessi enunciti di grdo l più k. In questo cso scrivimo A k B e dicimo che A e B sono indistinguibili d enunciti di grdo k. Qui il grdo di un formul è il numero di nnidmenti di quntifictori, ossi l misur di complessità sintttic definit come segue: il grdo di un formul tomic è 0, il grdo di ϕ ψ e ϕ ψ è il mssimo tr i grdi di ϕ e di psi, il grdo di ϕ è il grdo di ϕ, il grdo di ϕ e ϕ è il grdo di ϕ più 1. Ovvimente vle A B se e solo se A k B per ogni k N. Se un proprietà di strutture K è finitmente ssiomtizzbile, e k è il grdo dell enuncito che l ssiomtizz, non possono esistere due strutture che sono k-elementrmente equivlenti m tle che l un h l proprietà K e l ltr no. Entrmbe soddisfno l enuncito che ssiomtizz K (e llor hnno K), oppure no (e llor non hnno K). Detto ltrimenti: se per ogni bound di complessità k esistono due strutture che possono essere distinte rispetto ll proprietà K m sono indistinguibili d formule di complessità k, llor l proprietà K non è un proprietà finit del I ordine. Se K è un proprietà finitmente ssiomtizzbile reltivmente lle strutture finite, non possono esistere A, B come sopr e finite. Rissumimo quest osservzione nel seguente teorem. Teorem 1.1. Si K un clsse di strutture. Se per ogni k esistono strutture A e B tli che A K e B / K, m A k B llor K non è finitmente ssiomtizzbile. Se A e B esistono finite, llor K non è finitmente ssiomtizzbile nel finito. Come dimostrre che l condizione è soddisftt? Comincimo con il dre un crtterizzzione dell equivlenz elementre limitt in termini di proprietà di estendibilità di isomorfismo przili. Dremo poi un crtterizzzione di queste in termini di giochi (i giochi di Ehrenfeucht-Frïssé). Note preprte d Lorenzo Crlucci, 1

2 2 DISPENSA N Relzioni di Bck-nd-Forth Dimo un crtterizzzione dell equivlenz elementre limitt in termini di un proprietà di estendibilità di isomorfismi przili. L ide è un generlizzzione del Teorem di Cntor per gli ordini densi senz estremi (ogni ordine linere denso senz estremi numerbile è isomorfo (Q, <)). Due strutture relzionli A e B sono isomorfe se esiste un biiezione f d A in B tle che per ogni simbolo di relzione k posti P, per ogni 1,..., k in A, vle ( 1,..., k ) P A se e solo se (f( 1 ),..., f( k )) P B. Definizione 2.1 (Isomorfismo Przile). Sino ( 1,..., n ) scelti in A e (b 1,..., b n ) scelti in B. L mpp 1 b 1,..., n b n è un isomorfismo przile tr A e B se e solo se (1) Per ogni i, j n, i = j se e solo se b i = b j, (2) Per ogni i n, i = c A se e solo se b i = c B, (3) Per ogni relzione k-ri P, per ogni (i 1,..., i k ) in [1, n], ( i1,..., ik ) P A se e solo se (b i1,..., b ik ) P B Per le definizioni e le dimostrzioni che seguono è utile introdurre il concetto di espnsione di un struttur. Si A un struttur per un linguggio L e sino c 1,..., c n nuove costnti. Sino 1,..., n in A. Indichimo con (A, 1,..., n ) l struttur per il linguggio L c = L {c 1,..., c n } che coincide con A sul linguggio L e interpret c i in i. Se ϕ( 1,..., n ) è un formul in L con n vribili libere indichimo con ϕ c l enuncito in L c ottenuto sostituendo ogni occorrenz di i con c i. Allor vle che (A, 1,..., n ) = ϕ c A = ϕ( 1,..., n )[ 1,..., n ]. Not bene: nel linguggio L c deguto per (A, 1,..., n ) ci sono più enunciti (e in prticolre più enunciti tomici) che nel linguggio L. Definizione 2.2 (Relzione Bck-nd-Forth, Condizioni di Frïssé). Definimo per induzione un fmigli di relzioni = k su coppie di strutture. (1) A = 0 B se e solo se A e B soddisfno gli stessi enunciti tomici. (2) A = k+1 B se e solo () (Forth) Per ogni A esiste b B tle che (A, ) = k (B, b). (b) (Bck) Per ogni b B esiste A tle che (A, ) = k (B, b). Supponimo che A = 1 B, A e B strutture per L. Supponimo che A = ϕ() dove ϕ() è un formul tomic con un vribile liber. Si A tle che A = ϕ() ( ). Considerimo T A = {ψ() in L tomic con un vribile liber : A = ψ() }. Per qunto osservto sopr questo insieme coincide con {ϕ c in L {c} : (A, ) = ψ c }. L condizione A = 1 B implic che esiste b B tle che (A, ) = 0 (B, b). Dunque {ψ c in L {c} : (B, b) = ψ c } coincide con Tb B e nche con {ψ() in L tomic con un vribile liber : B = ψ ( ( b) }. Dunque B = ϕ() b). Dunque nche B = ϕ(). Abbimo ppen usto l condizione (Forth) per dimostrre come A = 1 B segue l impliczione A = ϕ() = B = ϕ(), con ϕ() formul tomic (i.e., di grdo 0) con un vribile liber. L condizione (Bck) permette nlogmente di dimostrre l impliczione B = ϕ() = A = ϕ(), con ϕ() formul tomic (i.e., di grdo 0) con un vribile liber. Vedremo sotto che questo è essenzile per dimostrre che A 1 B. Ogni formul di complessità 0 è un combinzione boolen di formule tomiche. Inoltre ogni formul di complessità k + 1 è equivlente un combinzione boolen di formule ϕ() con ϕ di complessità k: Se ϕ è un congiunzione o un disgiunzione o un negzione il risultto è ovvio. Se ϕ è ψ o ψ, ψ è di complessità k.

3 LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) 3 D questo segue che per dimostrre che A k+1 B bst dimostrre che A e B soddisfno gli stessi enunciti di tipo ψ con ψ di complessità k (il vlore delle combinzioni boolene è conservto per logic). Inoltre d quest crtterizzzione segue che se il linguggio è finito, llor per ogni k per ogni m, l insieme delle formule di complessità k con m vribili libere è finito modulo equivlenz logic. Si ricord che due formule ϕ( 1,..., m ) e ψ( 1,..., m ) sono logicmente equivlenti se e solo se = ϕ( 1,..., m ) ψ( 1,..., m ) se e solo se = ( 1 )... ( m )(ϕ( 1,..., m ) ψ( 1,..., m )). Ftto 2.3. Se L è finito, le formule di complessità k con m vribili libere sono un numero finito modulo equivlenz logic. 3. Tipi Ad ogni scelt di A, = ( 1,..., m ) in A è possibile ssocire il tipo di in A, i.e., l insieme delle formule con m vribili libere che sono soddisftte d in A. Si osserv fcilmente che il tipo di descrive l struttur (A, ) meno di isomorfismo, se A è finito, nel senso che B, b) soddisf il tipo di in A se e solo se (A, ) e (B, b) sono isomorfe. Dunque l nozione è troppo forte per i nostri scopi. Ad ogni scelt di A, = ( 1,..., m ), k 0, m 0 è possibile ssocire il k-tipo di in A, restringendo l ttenzione lle formule con m vribili libere e di grdo k. (A, ) T m k (A, ) {Fomule di complessità k con m vribili libere}. Mostrimo come ssocire d ogni k-tipo S di un m-pl un formul α S di grdo k con m vribili libere che lo descrive completmente, nel senso che, per ogni k-tipo S, per ogni A, per ogni A m, A = α S se e solo se S è il k-tipo di in A modulo equivlenz logic. Ogni k-tipo è ovvimente soddisfcibile. Ftto 3.1. Ogni k-tipo è mssimlmente consistente, reltivmente lle formule di complessità k con m vribili libere. Per m fissto, l insieme delle formule con m vribili e complessità k è finito modulo equivlenz logic. Un k-tipo (di dimensione m) è un sottinsieme di questo e dunque è nch esso finito modulo equivlenz logic. Ftto 3.2. Ogni k-tipo è finito modulo equivlenz logic. Si X = {ϕ 1 ( ),..., ϕ M ( )} un insieme completo di rppresentnti delle formule di complessità k in m vribili libere modulo equivlenz logic. Allor un qulunque k-tipo per un m-pl è unicmente determinto (modulo equivlenz logic) d un sottinsieme di X, ossi, per ogni A, per ogni ( 1,..., m ) in A, T m k (A, ( 1,..., m )) equivle {ϕ i1 ( ),..., ϕ is ( )} per qulche s, i 1,..., i s M. Si S = {i 1,..., i s }. Dto che tnto S qunto M s sono finiti si può rissumere in un unic formul il ftto che soddisf tutte e sole le ϕ i con i S. Per un qulunque S M definimo α S ( ) = i S ϕ i j / S ϕ j. Ovvimente nche l formul α S ( ) h complessità k. Abbimo llor che, per ogni A e per ogni ( 1,..., m ) in A, esiste un S M tle che A = α S ( ) (T m k (A, ) equivle {ϕ i : i S}). Si osserv fcilmente che, per S S, α S ( ) e α S ( ) sono mutulmente esclusivi, nel senso che A = α S ( ) implic A = α S ( ).

4 4 DISPENSA N. 9 Inoltre, ogni formul di complessità k è equivlente un disgiunzione di formule di tipo α S. Se F h complessità k, llor F è equivlente ϕ i per qulche 1 i M. M ϕ i è equivlente S t.c. i S α S. ϕ i ( ) α S ( ). Teorem 4.1. Sono equivlenti, per ogni k N, (1) A k B, e (2) A = k B. S M,i S 4. Crtterizzzione di k con = k Dimostrzione. Il cso bse è lscito per Esercizio. Dimostrimo d (1) (2). Supponimo A k+1 B. Voglimo dimostrre A = k+1 B, ossi (Forth) Per ogni A esiste b B tle che (A, ) = k (B, b) e (Bck) Per ogni b B esiste A tle che (A, ) = k (B, b). Dimostrimo (Forth). Si A, e considerimo il k-tipo di in A. Sppimo come ssocire questo tipo un formul α() di complessità k con un vribile liber, tle che A = α(). Dunque A = α(), e si osserv che α() è un enuncito di grdo k + 1. Per ipotesi llor B = α(). Dunque esiste un b B tle che B = α(b). Dunque il k-tipo di in A coincide con il k-tipo di b in B, perché vle B = α(b) se e solo se Tk 1(B, b) coincide modulo equivlenz logic con {ϕ i : ϕ i compre positivmente in α()}. Dunque {ϕ() : ϕ() di grdo k con un vribile liber e t.c. A = ϕ() } coincide con {ϕ() : ϕ() di grdo k con un vribile liber e t.c. B = ϕ() } b D questo possimo dedurre che (A, ) k (B, b). Not bene: voglimo dimostrre che (A, ) e (B, b) soddisfno gli stessi enunciti di grdo k nel linguggio deguto per queste strutture, ossi nel linguggio L deguto per A e B espnso con un nuov costnte c. Questo linguggio h più enunciti di grdo k rispetto l linguggio originrio L. In prticolre, se ϕ() è un formul di grdo k con un vribili liber nel linguggio L llor ϕ c è un enuncito di grdo k nel nuovo linguggio L c. Tutti gli enunciti di grdo k nel nuovo linguggio che contengono l costnte c si possono ottenere in questo modo dlle formule perte di grdo k con un vribile liber nel vecchio linguggio. Per enunciti di complessità k nel linguggio L di A e B l tesi (A, ) k (B, b) segue dll ipotesi A k+1 B. Per enunciti di complessità k nel linguggio L {c} l tesi segue perché il k tipo di in A coincide con il k tipo di b in B, e vle che A = ϕ() (A, ) = ϕ c. e nlogmente B = ϕ() (B, b) = ϕ c. b M bbimo visto che ( ) ( ) A = ϕ() B = ϕ(), b (per formule con un vribile liber e grdo k), e dunque per ogni enuncito E di grdo k nel linguggio espnso L c vle (A, ) = E (B, b) = E. Per ipotesi induttiv (A, ) = k (B, b). Allor possimo soddisfre l proprietà (Forth) mndndo in b. L proprietà (Bck) si dimostr nlogmente. Dimostrimo d (2) (1). Assumimo A = k+1 B e dimostrimo A k+1 B. Come già osservto bst dimostrrlo per enunciti del tipo ϕ(), dove ϕ() h complessità k (e l più un vribile liber, ). Se A = ϕ() llor esiste A tle che A = ϕ(). Come osservto, questo è vero se e solo se (A, ) = ϕ c (dove ϕ c è l enuncito ottenuto d ϕ() sostituendo un nuov costnte c). Per l proprietà (Forth) esiste un b B tle che (A, ) = k (B, b). Per ipotesi induttiv (A, ) k (B, b). Dunque (B, b) = ϕ c. Per qunto già osservto llor B = ϕ(b). Pertnto B = ϕ().

5 LOGICA MATEMATICA PER INFORMATICA (A.A. 12/13) 5 5. Giochi di Ehrenfeucht-Frïssé Usndo le nozioni dell sezione precedente possimo crtterizzre l relzione = k in termini di giochi due gioctori. Dti k 0, t 0, strutture A e B per un linguggio L, e t-ple (t 0) ( 1,..., t ) in A t e (b 1,..., b t ) in B t, il gioco G k su (A, ) e (B, b) è così definito. Il gioco è giocto d due gioctori, il Duplictor e lo Spoiler, che muovono come segue. Il gioco h k mosse. All moss i (1 i k), lo Spoiler sceglie un elemento in uno dei due domini. Il Duplictore risponde scegliendo un elemento nell ltro dominio. Dopo k mosse restno determinti k elementi in A, sino 1,..., k e k elementi in b corrispondenti, sino b 1,..., b k (ccoppindo quelli scelti nell stess moss). Il Duplictore vince l prtit se e solo se (c A 1,..., c A n, 1,..., t, 1,..., k ) (cb 1,..., c B n, b 1,..., b t, b 1,..., b k ), dove c 1,..., c n sono le costnti del linguggio L, è un isomorfismo przile di A in B. Il Duplictore vince il gioco se vince tutte le prtite. Si osserv fcilmente che se A e B sono isomorfe, llor il Duplictore vince il gioco (usndo l isomorfismo e il suo inverso per scegliere le risposte). Si osserv nche fcilmente che se il Duplictore vince G m (A, B) per un m > A, llor A e B sono isomorfe. Almeno un prtit del gioco definisce un isomorfismo przile con dominio ugule d A. Per definizione il Duplictore vince il gioco con 0 mosse su (A, ) e (B, b) se e solo se l mpp c A i c B i e b è un isomorfismo przile di A in B. Considerimo il cso in cui i vettori e b sono vuoti. Allor il Duplictore vince il gioco 0 mosse su A e B se e solo se l mpp χ : c A i c B i è un isomorfismo przile. Se l mpp χ è un isomorfismo przile, llor per ogni relzione R k posti in L, per ogni scelt di costnti c i1,..., c ik in L, vle A = R(c i1,..., c ik ) se e solo se B = R(c i1,..., c ik ) perché per definizione di isomorfismo przile vle (c A i 1,..., c A i k ) R A se e solo se (c B i 1,..., c B i k ) R B. Inoltre A = (c i = c j ) se e solo se strb = (c i = c j ). Dunque A e B soddisfno gli stessi enunciti tomici: il linguggio è relzionle dunque i soli termini sono le costnti e i soli enunciti tomici sono di form R(c i1,..., c ik ) con R simbolo di relzione k posti in L e c i1,..., c ik costnti in L. Ricordimo che A = 0 B vle per definizione se e solo se A e B soddisfno gli stessi enunciti tomici. Ogni enuncito di complessità 0 è un combinzione boolen di enunciti tomici e dunque A e B soddisfno gli stessi enunciti tomici se e soltnto se A 0 B. Abbimo dunque l equivlenz tr Il Duplictore vince il gioco G 0 su A, B A 0 B A = 0 B. Il cso bse è coperto e ci rest d considerre il psso induttivo, per ottenere l crtterizzzione di = k in termini di giochi G k. Il lemm seguente è semplice ed è utile mettere in relzione l vittori del Duplictore su G k (A, B) e l relzione A = k B. Lemm 5.1. Per ogni k 1, per ogni t 0, per ogni ( 1,..., t ) A t, (b 1,..., b t ) B t, sono equivlenti (1) Il Duplictore vince il gioco G k su (A, ) e (B, b). (2) Sono soddisftte le due proprietà seguenti. (2.1) Per ogni A esiste un b B tle che il Duplictore vince G k 1 su (A, ) e (B, bb), (2.2) Per ogni b B esiste un A tle che il Duplictore vince G k 1 su (A, ) e (B, bb). Dimostrzione. Dimostrimo d (1) (2). Quest direzione è qusi ovvi per definizione. Supponimo che il Duplictore vince il gioco G k+1 su (A, ) e (B, b). All prim moss del gioco lo Spoiler può giocre un A qulunque o un b B qulunque. In entrmbi i csi il Duplictore deve essere in grdo di rispondere mntenendo l isomorfismo przile. Quindi e bb per ogni coppi (, b) scelt così è un isomorfismo przile. Inoltre il Duplictore s come rispondere d ltre k mosse del gioco, per ogni configurzione dell prim moss. Dunque per ogni coppi (, b) determint dll prim moss, il Duplictore s giocre ltre k mosse del gioco su (A, ) e (B, bb). Quindi vle (2.1). Se lo Spoiler sceglie un A, llor il Duplictore s come scegliere un b B tle che bb è un isomorfismo przile di A in B. (2.2) si dimostr nlogmente. Dimostrimo d (2) (1). Supponimo che sino soddisftte le due proprietà, per k. Dimostrimo che il Duplictore vince il gioco G k+1 su (A, ) e (B, b). All prim moss, se lo Spoiler sceglie A

6 6 DISPENSA N. 9 llor il Duplictore può scegliere b B che soddisf l condizione (2.1). Se lo Spoiler sceglie b B llor il Duplictore può scegliere A che soddisf l condizione (2.2). In entrmbi i csi bbimo che il Duplictore può vincere il gioco G k su (A, ) e (B, bb). Per definizione di gioco bbimo l tesi. 6. Crtterizzzione di = k con G k Teorem 6.1. Sono equivlenti, per ogni k 0, i due punti seguenti. (1) Il Duplictore vince il gioco G k su (A, B). (2) A = k B. Dimostrzione. Il cso bse è già dimostrto. Considerimo il cso k + 1. Dimostrimo d (1) (2). Supponimo che il Duplictore vince il gioco G k+1 su (A, B). Per il Lemm bbimo che Per ogni A esiste un b B tle che il Duplictore vince G k su (A, ) e (B, b), Per ogni b B esiste un A tle che il Duplictore vince G k su (A, ) e (B, b). Per ipotesi induttiv bbimo che Per ogni A esiste un b B tle che (A, ) = k (B, b), Per ogni b B esiste un A tle che (A, ) = k (B, b). Per definizione di = k+1 bbimo l tesi. Supponimo A = k+1 B. Se lo Spoiler muove A, per l proprietà Forth trovimo b B tle che (A, ) = k (B, b). Per ipotesi induttiv il Duplictore vince G k su (A, ) e (B, b). Se lo Spoiler muove b B, per l proprietà Bck trovimo un tle che (A, ) = k (B, b). Per ipotesi induttiv il Duplictore vince G k su ((A, ), (B, b)). Per il Lemm, le due condizioni ppen dimostrte sono equivlenti l ftto che il Duplictore vince G k+1 su A e B. Mettendo insieme i due teoremi dimostrti bbimo l equivlenz di A = k B Il Duplictore vince G k (A, B) A k B. 7. Giochi illimitti ed equivlenz elementre Se considerimo un gioco di Ehrenfeucht-Frïssé senz limite sul numero di mosse ottenimo un crtterizzzione dell relzione di equivlenz elementre. Ad ogni prtit lo Spoiler sceglie un k, e l prtit continu giocndo il gioco k mosse. Lo Spoiler vince il gioco illimitto se vince il gioco k mosse per qulche k. Il Duplictore vince il gioco illimitto se vince il gioco k mosse per ogni k. L dimostrzione che bbimo dto dimostr essenzilmente che il Duplictore vince il gioco illimitto su due strutture A, B se e solo se A B, i.e., A e B soddisfno gli stessi enunciti.

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